重难点11碰撞中的守恒

1．如图所示，质量分别为m₁和m₂的小球A、B在光滑水平面上分别以速度v₁、v₂同向运动，并发生对心碰撞，碰后B被右侧墙壁原速率弹回，又与A碰撞，再一次碰撞后两球都静止，则第一次碰后A速度的大小为(　　)
说明: figure

A．

B．

C．

D．

【答案】C
【详解】
设小球A、B第一次碰后速度的大小分别为v₁′和v₂′，由动量守恒定律得
m₁v₁+m₂v₂=m₁v₁′+m₂v₂′
两个小球再一次碰撞时
m₁v₁′-m₂v₂′=0
得
v₁′=

故选C。
2．一机枪架在湖中小船上，船正以1 m/s的速度前进，小船及机枪总质量M=200kg，每颗子弹质量为m=20 g，在水平方向机枪以v=600 m/s的对地速度射出子弹，打出5颗子弹后船的速度可能为（　　）
A．1.4 m/s B．2 m/s C．0.8 m/s D．0.5 m/s
【答案】C
【详解】
若子弹射出方向与船前进的方向在同一直线上，则子弹、机枪和小船组成的系统动量守恒，取船前进的方向为正方向，若子弹向船前进的方向射出，则有
Mv₀=（M－5m）v′+5mv
解得
v₁′=

=0.7 m/s
若子弹向船前进的反方向射出，则有
Mv₀=（M－5m）v′-5mv
解得
v₂′=

=1.3 m/s
当子弹对地的速度方向与船原来的速度方向的夹角θ在0°<θ<180°内，可见船速应在0.7~1.3 m/s之间。
故选C。
3．如图所示，光滑水平面上有质量为

足够长的木板，木板上放一质量为m、可视为质点的小木块。第一次使小木块获得向右的水平初速度

，木板静止，第二次使木板获得向右的水平初速度

。木块静止。两次运动均在木板上留下完整划痕，则两次划痕长度之比为（　　）
说明: figure

A．

B．

C．

D．

【答案】A
【详解】
木块从开始到相对长木板静止的过程中，木块和木板系统水平方向动量守恒，取向右为正方向，则有

解得

根据能量守恒定律有

解得划痕长度

同理可求，当木板的初速度为

时的划痕长度。两次划痕长度之比为

。
故选A。
4．A、B两物体在光滑水平面上沿同一直线运动，如图所示为A追上B发生碰撞前后的

图线，由图线可以判断碰撞前后A的动能改变量大小

与B的动能改变量大小

之比为（　　）

A．3：2 B．4：3 C．5：4 D．1：1
【答案】D
【详解】
A追上B发生碰撞前后的

图线，所以碰前

，

；碰后

，

，根据动量守恒定理

解得：

则

故选D。
5．如图所示，光滑水平面上静止放置着一辆平板车A，车上有两个小滑块B和C，A、B、C三者的质量分别是3m、2m、m。B、C与车之间的动摩擦因数均为μ。开始时B、C分别从平板车的左、右两端同时以大小相同的初速度v₀相向滑行。已知滑块B、C没有相碰且最后都没有脱离平板车，则（　　）
说明: figure

A．当滑块C的速度为零时，滑块B的速度也为零
B．最终车的速度大小为

C．整个运动过程中，系统产热最多为

D．整个运动过程中，B的加速度不变
【答案】C
【详解】
B．A、B、C组成的系统所受合外力为零，系统动量守恒，最终三者相对静止，设最终系统的速度为v，以向右为正方向，由动量守恒定律得

解得

故B错误；
A．以水平向右为正方向，设A、B、C三者开始运动时的加速度分别为a₁、a₂、a₃，由牛顿第二定律得

，

开始A、B、C的速度分别为0、v₀、-v₀，①若A、B先共速，设A、B经过时间t₁共速，则有

解得

②若B、C先共速，设B、C经过时间t₂共速，则有

解得

从上面分析可以看出t₁＜t₂，所以①情况成立，即A、B先共速，A、B共速后一起向右做减速运动，C继续向左做减速运动，C速度减为零后反向向右做加速运动，最终A、B、C速度相等，三者相对静止一起向右做匀速直线运动，因此C速度为零时B的速度向右不为零，故A错误；
C．由能量守恒定律可知，系统损失的动能转化为内能，则有

故C正确；
D．开始B相对A滑动时的加速度大小

AB共速后一起做减速运动，B的加速度大小

故D错误。
故选C。
6．小车静止在光滑水平面上，站在车上的人练习打靶，靶装在车上的另一端，如图所示。已知车、人、枪和靶的总质量为M（不含子弹），每颗子弹质量为m，共n发，打靶时，枪口到靶的距离为d。若每发子弹打入靶中，就留在靶里，且待前一发打入靶中后，再打下一发。则以下说法正确的是（　　）
说明: figure

A．待打完n发子弹后，小车应停在最初的位置
B．待打完n发子弹后，小车应停在射击之前位置的左方
C．在每一发子弹的射击过程中，小车所发生的位移相同，大小均为

D．在每一发子弹的射击过程中，小车所发生的位移不相同
【答案】C
【详解】
子弹、枪、人、车系统水平方向不受外力，水平方向动量一直守恒，子弹射击前系统总动量为零，子弹射入靶后总动量也为零，故仍然是静止的；设子弹出口速度为v，车向右运动速度大小为v′，根据动量守恒定律，有

子弹匀速前进的同时，车向右匀速运动，故

联立解得

，

故车向右运动距离为

每颗子弹从发射到击中靶过程，车均向右运动

，故n颗子弹发射完毕后，小车向右运动

由于整个系统动量守恒，初动量为零，故打完n发后，车静止不动，故C正确，ABD错误。
故选C。
7．光滑圆弧轨道AB与水平轨道BC相切于B点，一质量为m的物块甲从圆弧轨道上的A点由静止下滑，在水平轨道上滑行的最大距离为s。在B点放置另一质量为3m的物块乙后，再把质量为m的物块甲从A点由静止释放，已知甲，乙两物块与水平轨道间的动摩擦因数相同，两物块均可视为质点，则两物块碰撞后粘连在一起继续向右运动的最大距离为（　　）
说明: figure

A．4s B．

C．

D．

【答案】D
【详解】
由动能定理可知，对甲下滑的过程有

对甲在水平轨道上滑行时有

两物块碰撞时有

两物块粘连后在水平轨道上滑行时有

解得

故选D。
8．如图所示，小球A质量为m；B为

圆弧面的槽，质量为M，半径为R，其轨道末端与水平地面相切。水平地面有紧密相挨的若干个小球，质量均为m，右边有一固定的弹性挡板。现让小球A从B的最高点的正上方距地面高为h处静止释放，经B末端滑出，与水平面上的小球发生碰撞。设小球间、小球与挡板间的碰撞均为弹性正碰，所有接触面均光滑，则（　　）
说明: figure

A．经过足够长的时间后，原来水平面上的小球都将静止，而A和B向左做匀速运动
B．整个过程，小球A与B组成的系统水平方向动量守恒
C．整个过程，小球A机械能守恒
D．经过足够长的时间后，所有小球和物体B都将静止
【答案】A
【详解】
C．从小球A和B开始接触至滑到B末端的过程，A、B系统机械能守恒，故C错误；
B．小球A与地面若干小球的碰撞以及其他小球间的碰撞皆为弹性碰撞，因质量相等，故速度交换。最终小球A动量等大反向，再去追B，而B在此过程中一直做匀速运动，故A、B系统水平方向动量不守恒，故B错误；
AD．每次和A作用后B都加速，而A减速，经过足够长的时间后，A球返回向左运动时速度小于B，不再能追上B，故最终A和B向左做匀速运动，原来水平面上的小球都将静止在原处，故A正确，D错误。
故选A。
9．如图所示，光滑水平面上A球向右运动与静止的B球发生正碰，A球碰撞前后速率之比为4：1。碰后A、B球均向右运动滑上光滑斜面，沿斜面上升的最大高度之比为1：4，已知斜面与水平面平滑连接，两球质量分别为m_A、m_B，碰撞前后两球总动能分别为E_k₁、E_k₂，则（　　）
说明: figure

A．m_A：m_B =4：3 B．m_A：m_B =2：3 C．E_k₁：E_k₂=16：7 D．E_k₁：E_k₂=16：13
【答案】BC
【详解】
光滑水平面上A球向右运动与静止的B球发生正碰，根据动量守恒和能量守恒有

，

碰撞前后两球的总动能为

，

A球碰撞前后速率之比为4：1。沿斜面上升的最大高度之比为1：4，解得
m_A：m_B =2：3，E_k₁：E_k₂=16：7
故选BC。
10．如图所示，水平光滑地面上停放着一辆质量为M的小车，其左侧有半径为R的四分之一光滑圆弧轨道AB，轨道最低点B与水平轨道BC相切，整个轨道处于同一竖直平面内。将质量为m的物块(可视为质点)从A点无初速释放，物块沿轨道滑行至轨道末端C处恰好没有滑出。设重力加速度为g，气阻力可忽略不计。关于物块从A位置运动至C位置的过程中，下列说法正确的是（　　）
说明: figure

A．小车和物块构成的系统动量守恒
B．物块与小车组成的系统机械能减少
C．物块运动过程中的最大速度为

D．小车运动过程中的最大速度为

【答案】BD
【详解】
A．物块沿圆弧轨道AB下滑的过程中，系统处于失重状态，加速度方向竖直向下，则系统在竖直方向受到的合外力不为零，则系统动量不守恒，A错误；
B．质量为m的物块从A点无初速释放，物块沿轨道滑行至轨道末端C处，水平轨道BC存在摩擦，物块与小车组成的系统机械能减少，B正确；
C．如果小车固定不动，物块到达水平轨道时速度最大，由机械能守恒定律得

解得

现在物块下滑时，小车滑动，小车获得了动能，则物块的速度小于

，C错误；
D．物块到达B点时小车速度最大，设为v₂，此时物块的速度大小为v₁．小车与物块组成的系统在水平方向动量守恒，物块沿圆弧轨道AB下滑的过程中，以向右为正方向，由动量守恒定律得

由机械能守恒定律得

联立解得

D正确。
故选BD。
11．如图，半径为

的光滑曲面轨道固定在平面内，下端出口处在水平方向上。一质量为

的平板车静止在光滑的水平地面上，右端紧靠曲面轨道，木板车上表面恰好与曲面轨道下端相平。一质量为

的小物块从曲面轨道上某点由静止释放，该点距曲面下端的高度为

，小物块经曲面轨道下滑后滑上木板车，最终恰好未从不板车的左端滑下。已知小物块可视为质点，与木板车间的动摩擦因数

，重力加速度

，则说法正确的是（　　）
说明: figure

A．小物块滑到曲面轨道下端时对轨道的压力大小为18N
B．木板车加速运动时的加速度为

C．木板车的长度为1m
D．小物块与木板车间滑动过程中产生的热量为6J
【答案】ACD
【详解】
A．小物块沿曲面下滑过程机械能守恒，则有

解得

在轨道最下端由牛顿第二定律得

解得

由牛顿第三定律知小物块对轨道的压力大小为

A项正确；
B．小物块滑上平板车后对平板车后对平板车由牛顿第二定律得

解得

B项错误；
D．由动量守恒定律得

由能量守恒定律得

联立解得小物块与平板车间滑动过程中产生的热量为

D项正确；
C．又

解得平板车的长度为

C项正确。
故选ACD。
12．如图，质量为M的小车静止在光滑水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一圆弧光滑圆弧，BC较是长为

的水平粗糙轨道，两段轨道相切于B点。一质量为m的滑块在小车从A总由静止开始沿轨道滑下，然后滑人BC轨道，最后恰好停在C点，已知小车质量M=m，滑块与轨道BC间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则（　　）

A．小车和滑块组成的系统动量守恒
B．滑块运动过程中，最大速度为

C．滑块运动过程中对小车的最大压力为mg
D．滑块从B到C运动过程中，小车的位移为

【答案】BD
【详解】
A．在水平方向上，小车和滑块组成的系统所受合外力为零，因此在这一方向上，小车和滑块动量守恒。故A错误；
B．滑块刚滑到

点时速度最大，取水平向右为正方向，由动量守恒定律和机械能守恒分别得

解得

故B正确；
C．滑块刚滑到

点时速度最大，对小车的压力最大，由合力提供向心力得

解得

故C错误；
D．滑块从B到C运动过程中，系统动量守恒，由人船模型得

又

解得

故D正确。
故选BD。
13．如图所示，在光滑的水平面上放有两个小球A和B，其质量m_A>m_B，B球上固定一轻质弹簧。A球以速率v去碰撞静止的B球，则（　　）
说明: figure

A．A球的最小速率为零
B．B球的最大速率为

C．当弹簧压缩到最短时，B球的速率最大
D．两球的动能最小值为 eqId37f60e80e0864cfcb89a9b775cfa920a

【答案】BD
【详解】
ABC．A球与弹簧接触后，弹簧被压缩，弹簧对A球产生向左的弹力，对B球产生向右的弹力，故A球做减速运动，B球做加速运动，当B球的速度等于A球的速度时弹簧的压缩量最大，此后A球继续减速，B球速度继续增大，弹簧压缩量减小，当弹簧恢复原长时，B球速度最大，A球速度最小，此时满足动量守恒和能量守恒

解得

，

因为

可知A球的最小速率不为零，当弹簧恢复原长时，B球最大速率为

，故AC错误，B正确；
D．两球共速时，弹簧压缩最短，弹性势能最大，故此时两球动能最小，根据动量守恒和能量守恒有

联立可得

故D正确。
故选BD。
14．如图甲所示，一滑块随足够长的水平传送带一起向右匀速运动，滑块与传送带之间的动摩擦因数

。质量

的子弹水平向左射入滑块并留在其中（该过程时间极短），取水平向左的方向为正方向，子弹在整个运动过程中的

图象如图乙所示，已知传送带的速度始终保持不变，滑块最后恰好能从传送带的右端水平飞出，

。下列说法正确的是（　　）
说明: figure

A．传送带的速度大小为

B．滑块的质量为

C．滑块向右运动过程中与传送带摩擦产生的热量为

D．若滑块可视为质点且传送带与转动轮间不打滑，则转动轮的半径R为

【答案】CD
【分析】
根据题中“子弹水平向左射入滑块并留在其中”、“水平传送带”可知，本题考查动量守恒与传送带相结合问题，应用动量守恒定律、牛顿第二定律、摩擦做功等知识分析计算。
【详解】
A．子弹射入滑块并留在其中，滑块（含子弹）先向左做减速运动，然后向右加速，最后向右匀速，向右匀速运动的速度大小为

，则传送带的速度大小为

，故A错误；
B．子弹未射入滑块前，滑块向右的速度大小为

，子弹射入滑块瞬间，子弹和滑块的速度变为向左的

；子弹射入滑块瞬间，内力远大于外力，系统动量守恒，以向左为正，据动量守恒得

即

解得滑块的质量

故B错误；
C．滑块（含子弹）先向左做减速运动时，据牛顿第二定律可得

解得滑块向左运动的加速度大小

滑块（含子弹）先向左做减速运动，再向右做加速运动，滑块向右加速的加速度大小

向右加速的时间为

滑块（含子弹）相对传送带的位移

运动过程中与传送带摩擦产生的热量

故C正确；
D．滑块最后恰好能从传送带的右端水平飞出，则

解得转动轮的半径

故D正确。
故选CD。
15．如图所示，一质量为M的长直木板放在光滑的水平地面上，木板左端放有一质量为m的木块，木块与木板间的动摩擦因数为μ，在长直木板右方有一竖直的墙。使木板与木块以共同的速度v₀向右运动，某时刻木板与墙发生弹性碰撞（碰撞时间极短），设木板足够长，木块始终在木板上，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
说明: figure

A．如果M=2m，木板只与墙壁碰撞一次，整个运动过程中摩擦生热的大小为

B．如果M=m，木板只与墙壁碰撞一次，木块相对木板的位移大小为

C．如果M=0.5m，木板第100次与墙壁发生碰撞前瞬间的速度大小为 eqId0ba6470aff584e26b764200ef28f929f

D．如果M=0.5m，木板最终停在墙的边缘，在整个过程中墙对木板的冲量大小为1.5mv₀
【答案】ACD
【详解】
A．木板与墙发生弹性碰撞，碰撞后速度等大反向，如果

，合动量方向向左，则木板只与墙壁碰撞一次，最后二者以速度v向左做匀速直线运动，
取向左为正，根据动量守恒定律可得

解得

整个运动过程中摩擦生热的大小为

故A正确；
B．如果M=m，木板与墙壁碰撞后，二者的合动量为零，最后木板静止时木块也静止，木板只与墙壁碰撞一次，
根据能量关系可得

解得木块相对木板的位移大小为

；
故B错误；
C．如果

，木板与墙发生弹性碰撞，碰撞后速度等大反向，碰撞后二者的合动量方向向右，第一次共速后的速度为v₁，取向右为正，根据动量守恒定律可得

解得

所以共速前木板没有与墙壁碰撞，二者以共同速度v₁匀速运动，木板第二次与墙壁碰撞时的速度为v₁；
同理可得，木板与墙壁第二次碰撞后达到共速的速度为

木板第3次与墙壁碰撞时的速度为

以此类推，木板第100次与墙壁碰撞的速度为

故C正确；
D．如果M=0.5m，木板最终停在墙的边缘，全过程根据动量定理可得，在整个过程中墙对木板的冲量大小为

故D正确；
故选ACD。
16．如图，长度l₀=0.9m的木板a静止于光滑水平面上，左端与固定在墙面上的水平轻弹簧相连，弹簧的劲度系数k=15N/m；木板左端放有一质量m₀=1.2kg的小物块（可视为质点），质量m=0.4kg的足够长木板b与a等高，静止于水平面上a的右侧，距离b右侧x₀处固定有挡板c。某时刻小物块以速度v₀=9 m/s向右开始运动，a向右运动到最远时恰好与b相遇但不相撞，在a某次到达最远处时，物块刚好离开a滑到b上，此过程中物块的速度始终大于木板a的速度，b与挡板c碰撞时无机械能损失，物块与a、b之间的动摩擦因数均为μ=0.5。不计空气阻力，g=10m/s²。
(1)证明：物块在木板a上滑动过程中，a做简谐运动；
(2)若b与c碰撞前物块和b已达共速，求x₀满足的最小值；
(3)在b与c发生第5次碰撞后将c撤走，求b的最终速度。
说明: figure

【答案】(1)见解析；(2)

；(3)

【详解】
(1)木板

受到的合外力，取向右为正方向

令

则有

即

在弹簧伸长

时处于平衡位置，在该位置附近做简谐运动；
(2)可知木板

做简谐运动的振幅

对物块从开始运动至滑离木板

，根据动能定理则有

解得

物块在长木板

滑动，根据动量守恒定律则有

解得

对长木板

，根据动能定理则有

解得

(3)

与

第一次碰撞后到第二次碰撞前，根据动量守恒定律则有

解得

与

第二次碰撞后到第三次碰撞前，根据动量守恒定律则有

解得

与

第五次碰撞后到物块与

共速运动

即

最终以

的速度匀速向右运动
17．如图所示，LMN是竖直平面内固定的光滑轨道，MN水平且足够长，LM下端与MN相切。质量为2kg的小球B与一轻弹簧相连，并静止在水平轨道上，质量为4kg的小球A从LM上距水平轨道高为h=0.45m处由静止释放，在A球进入水平轨道之后与弹簧正碰并压缩弹簧但不粘连．设小球A通过M点时没有机械能损失，重力加速度为g（g取10m/s²）。求：
(1)A球与弹簧碰前瞬间的速度大小v₀；
(2)弹簧的最大弹性势能E_P；
(3)A、B两球最终的速度v_A、v_B的大小。
说明: figure

【答案】(1) v₀=3m/s；(2) E_P=6J；(3) v_A=1m/s，v_B=4m/s
【详解】
(1)设A球质量m₁，A球下滑的过程，由机械能守恒得

代入数据可解得v₁=3m/s。
(2)设B球的质量为m₂，A球进入水平轨道之后与弹簧正碰并压缩弹簧过程，A、B两球组成的系统动量守恒，当A、B相距最近时，两球速度相等，弹簧的弹性势能最大，设此时A、B的速度为v₁，由动量守恒得
m₁ v₀=( m₁+ m₂) v₁
由能量守恒可得弹簧的弹性势能

联立方程，代入数据可解得

。
(3) 当A、B相距最近时，两球速度相等之后，由于弹力作用，B将加速，A将减速，它们将相互远离，当弹簧恢复原长时，设A、B的速度分别为v_A、v_B，之后A、B分离，这也就是它们的最终速度，由动量守恒可得
m₁ v₀= m₁v_A+ m₂ v_B
再根据能量守恒可得

联立两式，代入数据可解得
v_A=1m/s，v_B=4m/s
18．如图所示，用长为

的不可伸长的轻绳将质量为

的小球C悬挂于O点，小球C静止。质量为

的物块A放在质量也为

的木板B的右端，以共同的速度的

，沿着光滑水平面向着小球滑去，小球与物块发生弹性正碰，物块与小球均可视为质点，且小球C返回过程不会碰到物块A，不计一切阻力，重力加速度

。求：
(1)碰后瞬间小球C的速度大小；
(2)若物块与木板间的动摩擦因数为0.1，木板B至少要多长，物块A才不会从长木板的上表面滑出。
说明: figure

【答案】(1)

；(2)

【详解】
(1)设物块质量为

，小球质量为

，由于发生弹性正碰，则由动量守恒得

由机械能守恒得

解得

，

(2)此后物块加速，木板减速，物块刚好和木板共速时，物块运动到木板左端，设木板质量为

，共速速度为

，由动量守恒得

由能量守恒得

解得

19．如图所示，AB为足够长的光滑斜面，斜面底端B处有一小段光滑圆弧与水平面BE平滑相连，水平面的CD部分粗糙，其长度L=1m，其余部分光滑，DE部分长度为1m，E点与半径R=1m的竖直半圆形轨道相接，O为轨道圆心，E为最低点，F为最高点。将质量m₁=0.5kg的物块甲从斜面上由静止释放，如果物块甲能够穿过CD区域，它将与静止在D点右侧的质量为m₂=1kg的物块乙发生弹性正碰，已知物块甲、乙与CD面间的动摩擦因数均为μ=0.25，且物块均可看成质点，g取10m/s²。
(1)若物块乙被碰后恰好能通过圆轨道最高点F，求其在水平面BE上的落点到E点的距离x；
(2)若物块甲在斜面上释放的高度h₀为11.5m，求物块乙被碰后运动至圆心等高点时对轨道的压力F_N大小；
(3)用质量m₃=1kg的物块丙取代物块甲（甲和丙材料相同），为使物块丙能够与物块乙碰撞，并且碰撞次数不超过2次，求物块丙在斜面上释放的高度h应在什么范围？（已知所有碰撞都是弹性正碰，且不考虑物块乙脱离轨道后与物块丙可能的碰撞）
说明: figure

【答案】(1)2m；(2)80N；(3)0.25m<h≤0.75m或h>1.25m
【详解】
(1)物块乙恰好过最高点，向心力完全由重力提供

得

物块乙通过最高点后做平抛运动：竖直方向

水平方向

可得，物块乙在水平轨道上的落点到E点的距离为

(2)设物块甲与物块乙碰前速度为v₀，由动能定理可知

得

物块甲与乙发生完全弹性正碰，动量守恒并且机械能守恒

得

设乙物块通过圆心等高点时的速度为v₃，根据机械能守恒，则

设物块乙运动至圆心等高点时对轨道的压力大小为F_N，得

根据牛顿第三定律，物块乙对轨道的压力

方向水平向右。即物块乙对轨道的压力大小为80N。
(3)要使物块丙能够与物块乙碰撞

即

因为质量相等的两个物体发生弹性碰撞，丙和乙交换速度，物块乙滑到圆弧上返回后，第2次与物块丙发生弹性正碰，交换速度。要使物块丙不再与物块乙发生碰撞

即

如果物块丙与物块乙发生碰撞后，物块乙获得速度v₄，在半圆形轨道上运动高度超过O点等高点，则物块乙将脱离圆轨道，不再与物块丙发生碰撞

即

丙与乙碰前速度设为v₅，则有

在物块丙下滑至与物块乙碰前，由动能定理列式

得

综上

或

20．如图所示，一“U型槽”滑块，由两个光滑内表面的

圆孤形槽

、

和粗糙水平面

组合而成，质量

，置于光滑的水平面上，其左端有一固定挡板

，另一质量

的物块从

点正上方距离

水平面的高度

处自由下落，恰好从

相切进入槽内，通过

部分进入圆弧槽

。已知“U型槽”圆弧的半径

，水平轨道部分BC长

，物块与“U型槽”水平轨道间的动摩擦因数

，重力加速度

。
(1)求物块第一次经过

点对“圆弧型槽

”的压力

；
(2)求物块从“型槽”

点分离后能到达的距离水平面的最大高度

；
(3)当“U型槽”的速度最大时，求物块的速度

，最终物块的运动达到稳定状态，求物块在

部分运动的总路程

。

【答案】(1)

；(2)

；(3)

；

【详解】
(1)物块由静止到第一次过

点，槽静止不动，对物块由机械能守恒

在

点

对槽的压力

(2)物块从

点离开“U型槽”时“U型槽”的速度为

，对物块和槽组成的系统，由水平方向的动量守恒

物块从

点到离“U型槽”后的最高点，对物块和槽组成的系统，由能量守恒

联立解得

(3)当物块从“U型槽”

时的速度最大时，由水平方向的动量守恒和能量守恒

解得

方向水平向左

最终物块与“U型槽”相对静止，由能量守恒

物块在

部分运动的总路程

21．如图甲所示，半径

的光滑

圆弧轨道固定在竖直平面内，B为轨道的最低点，B点右侧的光滑水平面上紧挨B点有一静止的小平板车，平板车质量

，长度

，小车的上表面与B点等高，距地面高度

。质量

的物块（可视为质点）从圆弧最高点A由静止释放。取

，试求：
(1)物块滑到轨道上的B点时对轨道的压力大小；
(2)若解除平板车的锁定，物块与平板车上表面间的动摩擦因数

，物块仍从圆弧最高点A由静止释放，求物块落地时距平板车右端的水平距离；
(3)若锁定平板车并在上表面铺上一种特殊材料，其动摩擦因数从左向右随距离均匀变化，如图乙所示，求物块滑离平板车时的速率。
说明: figure

【答案】(1)30N；(2)0.2m；(3)1m/s
【详解】
(1)顶端滑到B点，根据动能定理

在B点，根据牛顿第二定律

代入数据解得

由牛顿第三定律滑到轨道上的B点时对轨道的压力

(2)物块与平板车组成的系统动量守恒，物块滑到平板车右端时

代入数据解得

物块平抛运动的时间

物块落地时距平板车右端的水平距离为

(3)物块在平板车上滑行时摩擦力做功

根据动能定理

代入数据解得

22．如图所示，水平地面上左侧有一质量为m_C=2kg的四分之一光滑圆弧斜槽C，斜槽末端切线水平，右侧有一质量为m_B=3kg的带挡板P的木板B，木板上表面水平且光滑，木板与地面的动摩擦因数为μ=0.25，斜槽末端和木板左端平滑过渡但不粘连。某时刻一质量为m_A=lkg的可视为质点的光滑小球A从斜槽项端静止滚下，重力加速度为g=10m/s²，求：
(1)若光滑圆弧斜槽C不固定，圆弧半径为R=3m，且不计斜槽C与地面的摩擦，求小球滚动到斜槽末端时斜槽的动能；
(2)若斜槽C固定在地面上，小球从斜槽末端滚上木板左端时的速度为v₀=lm/s，小球滚上木板上的同时，外界给木板施加大小为v₀=lm/s的水平向右初速度，并且同时分别在小球上和木板上施加水平向右的恒力F₁与F₂，且F₁=F₂=5N。当小球运动到木板右端时(与挡板碰前的瞬间) ，木板的速度刚好减为零，之后小球与木板的挡板发生第1次相碰，以后会发生多次磁撞。已知小球与挡板的碰撞都是弹性碰撞且碰撞时间极短，小球始终在木板上运动。求：
①小球与挡板第1次碰撞后的瞬间，木板的速度大小；
②小球与挡板第1次碰撞后至第2020次碰撞后瞬间的过程中F₁与F₂做功之和。
说明: figure

【答案】(1)

；(2) ①

，②

【详解】
(1)设小球滚动到斜槽末端时，

与

的速度大小分别为

、

，

与

水平方向动量守恒，则

与

系统机械能守恒，则

解得斜槽动能

(2) ①小球滚到木板上后，小球与木板的加速度大小分别为

与

，则有

木板开始运动到速度第一次减为零时用时为

，则有

小球第一次与挡板碰前瞬间速度为

另设第一次碰完后小球与木板的速度分别为

、

，

与

动量守恒，则

与

系统动能不变，则

联立解得

②由题可知，第一次碰撞后，小球以

沿木板向左匀减速运动再反向匀加速，木板以

向右匀减速运动，木板速度再次减为零的时间

小球的速度

此时，小球的位移

木板的位移

即小球、木板第二次相碰前瞬间的速度与第一次相碰前瞬间的速度相同，以后小球、木板重复前面的运动过程；则第一次碰撞与第2020次碰撞后瞬间，小球与木板总位移相同，都为

则此过程

与

做功之和

联立解得

23．如图所示，abc是光滑的轨道，其中ab水平，bc为与ab相切的位于竖直平面内的半圆轨道，半径R=0.30m。质量m=0.20kg的小球A静止在轨道上，另一质量M=0.60kg、速度v₀=5.5m/s的小球B与小球A正碰。已知相碰后小球A经过半圆的最高点c落到轨道上距b点为

处，重力加速度g取10m/s²，求：碰撞结束时，小球A和B的速度大小。
说明: figure

【答案】6m/s，3.5m/s
【分析】
根据平抛运动的规律可求得A球在c点的速度，根据机械能守恒可求得A球碰后的速度，再结合碰撞过程动量守恒求得B球碰后的速度。
【详解】
小球A从轨道最高点飞出后做平抛运动，水平方向有
L＝v_ct
竖直方向有

联立可得
v_c＝

设A球被碰后的速度为v_A，从b到c的过程，由机械能守恒可得

设B球碰后的速度为v_B，B球与A球碰撞过程，由动量守恒
Mv₀＝mv_A＋Mv_B
联立上述各式，代入数据可解得A、B球碰后的速度分别为
v_A＝6m/s，v_B＝3.5m/s
24．如图所示，一个由半径

的

光滑圆弧轨道和长

的粗糙直轨道BC组成的物体ABC固定在水平面上，一可以自由滑动的长木板紧靠在C端处于静止状态，长木板的上表面与轨道BC等高，滑块P、

（可视为质点

静止在B处，滑块P、Q间夹有少量炸药，引爆后物体P恰好能上升到A点，物体Q向右运动滑上长木板。已知P质量为

，Q质量

，长木板质量为

，物体Q与BC间动摩因数

，Q与长木板上表面间动摩擦因数为

，长木板下表面和地面光滑。求：
(1)炸药引爆后P和Q获得的总机械能；
(2)若要滑块Q恰好不滑离木板，求长木板的长度L；
(3)当木板的长度为第(2)问中的长度，若在距长木板右端s米处静止停放一质量

的小车M，小车上表面由一个半径

光滑

圆弧曲面和光滑水平直轨道组成，直轨道与圆弧轨道相切且同长木板上表面等高，长木板碰到小车前瞬间被制动

木板的速度在极短时间内减为零

，求滑块Q滑上小车M后上升的最大高度。
说明: figure

【答案】(1)96J；(2)1.8m；(3)见解析
【详解】
(1)对P由机械能守恒定律得

解得

炸药爆炸瞬间系统动量守恒，则得

解得

则炸药引爆后P和Q获得的总机械能为

；
(2)Q从B到C，由运动学公式得

解得

Q与长木板作用过程中动量守恒，则

解得

由能量守恒得

木板的长度为

(3)①若在共速后撞上

，则

与

水平方向动量守恒，假设上升的最大高度不超过圆弧最高点，则有

由能量守恒定律得

解得

则刚好到达圆弧轨道最高点
②若还没有共速前已经撞上，则由动能定理得

解得

最终

、

水平方向动量守恒

解得

则由能量守恒定律得

解得

25．如图所示，一内壁光滑的环形细圆管固定在水平桌面上，环内间距相等的三位置处，分别有静止的小球A、B、C，质量分别为

、m₂＝m₃＝m，大小相同，它们的直径小于管的直径，小球球心到圆环中心的距离为R，现让A以初速度v₀沿管顺时针运动，设各球之间的碰撞时间极短，A与B相碰没有机械能损失，B与C相碰后结合在一起，称为D。求：
（1）A和B第一次碰后各自的速度大小；
（2）B和C相碰结合在一起后对管沿水平方向的压力大小（与A碰撞之前）；
（3）A和B第一次相碰后，到A和D第一次相碰经过的时间。
说明: figure

【答案】（1）

（负号表示逆时针方向）；

；（2）

；（3）

【详解】
(1)设A、B碰后速度分别为

、

，根据弹性碰撞双守恒有

①

②
由①②得

（负号表示逆时针方向）③

④
(2)设B、C碰后结合为D的速度为

，则由动量守恒，有

⑤

⑥
在B、C碰撞后与A碰撞之前，管道对D水平方向上的支持力为

⑦
由牛顿第三定律知D对管道水平方向上的压力为

⑧
(3)A、B碰撞后，B经时间t₁与C相碰，再经时间t₂，D与A相碰
eqId884ecda95a4c44e9abd98aa815f92791

⑨

⑩

由⑨⑩

得A和B第一次相碰后，到A和D第一次相碰经过的时间

26．如图所示，光滑平台AB左端墙壁固定有一个轻弹簧，弹簧右侧有一个质量为m的小物块。紧靠平台右端放置一个带挡板的木板，木板质量m₁=1kg，上表面长度L=0.5m，物块与木板上表面、木板与地面的动摩擦因数均为μ=0.2，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知弹簧被压缩至O点时弹性势能为E_p0=3J，重力加速度取10m/s²。物块与木板右端挡板发生的碰撞为完全非弹性碰撞。
(1)若m=2kg，利用外力使物块向左压缩弹簧至O点，然后由静止释放，求最终木板向右滑行的距离x。
(2)若仅改变物块质量m，其他条件不变，仍旧将物块压缩到O点由静止释放，问m为多大时木板向右滑行的距离最大？求出这个最大距离。
说明: figure

【答案】(1)0.11m；(2)

时，

【详解】
(1)物块滑上木板时

，木板静止，设物块离开弹簧时的速度为v₀，与木板碰撞前的速度为v₁，碰后的速度为v₂

解得

对物块和木板，由动能定理

解得

(2)由以上各式解得
eqIdb777154be9b442c380e2f417e243c168

令

当

x最大
与

联立，解得

，最大距离为

当

时x有最大值，

27．如图所示，光滑平台与水平传送带

（

为传送带的左端，

为传送带的右端）相切于

点，质量

的小滑块

静置于

点，传送带以速率

逆时针方向运行。现将质量

的小滑块

轻放在

的中点，

到达

处与

发生弹性碰撞（碰撞时间极短）。

碰撞后瞬间传送带改为以速率

顺时针方向运行。已知

与传送带间的动摩擦因数

两点间的距离

，取重力加速度大小

均视为质点。
(1)证明

碰撞前瞬间

的速度大小即为

；
(2)求

碰撞后瞬间

的速度大小

和

的速度大小

；
(3)求

在传送带上滑动过程中系统因摩擦产生的总热量

。

【答案】(1)见解析；(2)2m/s，1m/s；(3)0.65J
【详解】
(1)

被放在

的中点后，先在传送带上向左加速滑动，设

在传送带上滑动的加速度大小为

，根据牛顿第二定律有

设

到达

点前已经与传送带达到共同速度，则

在传送带上向左加速滑动的时间为

在传送带上向左加速滑动的位移大小为

解得

因

假设成立，故

在传送带上向左加速滑动时间

后与传送带相对静止以速率

水平向左做匀速直线运动，

碰撞前瞬间

的速度大小即为

。
(2)经分析可知，碰撞后瞬间

的速度不为零、方向水平向左，设

碰撞后瞬间

的速度方向也水平向左，以水平向左为正方向，根据动量守恒定律有

根据能量守恒定律有

解得

即

碰撞后瞬间

的速度大小为

、方向水平向右。
(3)由(1)可得

碰撞前，传送带相对

的位移大小为

该过程中系统因摩擦产生的热量为：

设

碰撞后，

在传送带上向右加速滑动至速率为

的过程中的位移大小为

，有

解得

因

假设成立，故

向右加速滑动至速率为

后与传送带相对静止以速率

水平向右做匀速直线运动，

在传送带上向右加速滑动的时间为

碰撞后，传送带相对

的位移大小为

该过程中系统因摩擦产生的热量为

又

解得

28．如图所示，木块A（可视为质点）、木板B、C质量都为

，木块A与“L”型木板B右端的距离为

，A与B板右端碰撞时没有机械能损失。其中AB间的动摩擦因数

，BC间的动摩擦因数

，地面光滑。

时刻木块A以

初速度向右运动、同时木板B以

初速度向左运动、C的速度为零。木板B、C都足够长，

。求：
（1）ABC因摩擦而产生热量Q多少？
（2）AB碰前B板的速度

；
（3）从

时刻到ABC共速所需的时间t。
说明: figure

【答案】（1）

；（2）

，向左；（3）

【详解】
（1）设向右为正方向，全过程，以ABC为系统，由动量守恒定律得

解得

ABC因摩擦而产生热量

解得

（2）A向右减速运动与B碰前

解得

方向向左
B向左减速运动

解得

方向向右
C向左加速运动

解得

方向向左
BC达到共速，速度为

，时间为

解得

方向向左

假设AB碰撞前以

、

加速度做匀变速运动，到碰撞时间为

（舍）

假设正确，此时

故BC共速时恰好BA相碰，故AB碰前B的速度

方向向左
（3）AB碰

解得

碰后，B向右匀减速，加速度大小仍为

，方向向左，A、C都为：速度向左

，加速度向右大小仍为

，ABC同时达到共速，时间为

，共速时速度大小为

，向右

从开始到共速所需的时间

29．如图所示，一平板小车静止在光滑水平面上，质量均为m的物体A、B分别以2v₀和v₀的初速度，沿同一直线同时同向水平滑上小车，刚开始滑上小车的瞬间，A位于小车的最左边，B位于距小车左边

处。设两物体与小车间的动摩擦因数均为μ，小车的质量也为m，最终物体A、B都停在小车上。求：
(l)最终小车的速度大小是多少?方向怎样？
(2)若要使物体A、B在小车上不相碰，刚开始时A、B间的距离

至少多长？

【答案】(1) v₀，方向水平向右；(2)

【详解】
(1)设小车最终的速度是v，由动量守恒可得

解得

方向水平向右
(2)A、B同时滑上小车后，它们均做匀减速直线运动。当B减速到与小车的速度相同时，B与小车相对静止，此后A继续做匀减速直线运动，B与小车做匀加速直线运动，直至它们达到相同的速度v₀，设刚开始时A、B间的距离l， B与小车相对静止时的共同速度是v_B1，此时A的速度是v_A1，由运动学知识和动量守恒可得