重难点09机械能守恒的三种表达方式

1．我国羽毛球运动员林丹是羽毛球史上第一位集奥运会、世锦赛、世界杯、苏迪曼杯、汤姆斯杯、亚运会、亚锦赛、全英赛、全运会及多座世界羽联超级系列赛冠军于一身的双圈全满贯选手，被誉为中国羽毛球一哥如图所示是林丹在某次羽毛球比赛中跃起击球的动作，击球过程中由静止竖直向上跳起假设林丹与球拍重心上升的高度为h，在最高点将羽毛球以原来的速度大小v0斜向上击回已知林丹与球拍总质量为M，羽毛球质量为m，重器力加速度为g，不计空气阻力.则下列说法正确的是（　　）

A．林丹在整个起跳过程中机械能守恒
B．林丹在起跳过程中地面对他的支持力做功为Mgh
C．林丹在起跳过程中林丹与球拍重力势能的增加量为Mgh
D．林丹击球过程中球拍对羽毛球做功为
2．如图所示，建筑工地上载人升降机用不计质量的细钢绳跨过定滑轮与一电动机相连，通电后电动机带动升降机沿竖直方向先匀加速上升后匀速上升。摩擦及空气阻力均不计。则（　　）

A．升降机匀加速上升过程中，升降机底板对人做的功等于人增加的动能
B．升降机匀加速上升过程中，升降机底板对人做的功等于人增加的机械能
C．升降机匀速上升过程中，升降机底板对人做的功小于人增加的机械能
D．升降机上升的全过程中，升降机拉力做的功大于升降机和人增加的机械能
3．摄制组在某大楼边拍摄武打片，要求特技演员从地面飞到屋顶。如图所示，若特技演员质量m=50kg，导演在某房顶离地H=12m处架设了轮轴（轮与轴有相同的角速度），轮和轴的直径之比为3：2（人和车均视为质点，且轮轴直径远小于H），若轨道车从图中A前进到B，在B处时，速度v=10m/s，绳BO与水平方向的夹角为53°，则由于绕在轮上细钢丝的拉动，使演员由地面从静止开始向上运动。在车从A运动到B的过程中（g取10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6）（　　）

A．演员上升的高度为3m
B．演员最大速度为8m/s
C．以地面为重力势能的零点，演员最大机械能为2400J
D．钢丝在这一过程中对演员做功为4275J
4．如图，劲度系数为100 的轻弹簧下端固定于倾角的光滑斜面底端，上端连接物块Q，Q同时与平行于斜面的轻绳相连，轻绳跨过定滑轮O与套在光滑竖直杆上的物块P连接，图中O，B两点等高，间距d=0.3m。初始时在外力作用下，P在A点静止不动，A、B间距离h=0.4m，此时轻绳中张力大小为50N。已知P的质量为0.8kg，Q的质量为5kg。现将P由静止释放（不计滑轮大小及摩擦，取g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6），下列说法正确的是（）

A．P上升至B点时，弹簧的压缩量为0.2m
B．P上升至B点时，绳拉力等于40N
C．P上升至B点的过程中，Q的加速度先增大后减小
D．P上升至B点的过程中，轻绳拉力对其所做的功为8J
5．如图所示，质量均为m的A、B小球分别用长为L的轻绳悬挂在O点。初始时绳OA与竖直方向成53°，绳OB与竖直方向成37°，重力加速度为g。（，）若给A、B球垂直于纸面的水平初速度，使它们可以在各自所在水平面内做匀速圆周运动，则它们运动时所具有的机械能的差值EA–EB（　　）

A．0 B． C． D．
6．如图所示，两光滑且平行的固定水平杆位于同一竖直平面内，两静止小球、分别穿在两杆上，两球间拴接一竖直轻弹簧，弹簧处于原长状态。现给小球一个水平向右的初速度，两杆足够长，则在此后的运动过程中（　　）

A．、组成的系统动量不守恒
B．、组成的系统机械能守恒
C．弹簧最长时，其弹性势能为
D．的最大速度是
7．物体A和B的质量分别为2kg、3kg，系在一根不计质量不可伸长的细绳两端,绳子跨过固定在倾角为30°的斜面顶端的定滑轮上，开始时把物体B拉到斜面底端,这时物体A离地面的高度为0.8m,如图所示。从静止开始放手让它们运动，斜面光滑足够长，且始终保持静止(g取10m/s2)。下列说法正确的是（）

A．物体A落地的速度为4m/s
B．物体B沿斜面上滑的最大距离为0.96m
C．物体A落地前，斜面受到地面水平向右的摩擦力，大小为30N
D．物体A落地前，斜面受到地面支持力不变，大小为50N
8．如图所示，两个圆弧轨道固定在水平地面上，半径R相同，甲轨道由金属凹槽制成，乙轨道由金属圆管制成，均可视为光滑轨道。在两轨道右侧的正上方分别将质量均为m的金属小球A和B由静止释放，小球距离地面的高度分别用hA和hB表示，已知重力加速度为g，对于下述说法中正确的是（　　）

A．若hA＝hB=2R，则两小球都恰能沿轨道运动到最高点
B．若hA＝hB=2R，则两球运动到轨道圆心左侧等高位置时，对轨道的压力大小都为2mg
C．若A小球恰能到达甲轨道最高点，则恰好可以落回圆轨道上
D．若使小球沿轨道运动并从最高点飞出，A小球在hA≥ ，B小球在hB>2R的任意高度均可
9．如图所示，一轻绳跨过光滑且可看作为质点的定滑轮，轻绳一端系着质量为M的物块，另一端系着一个质量为m的圆环，圆环套在竖直的光滑细杆上。已知细杆与定滑轮的水平距离为d=0.6m，初始时细线与竖直杆的夹角 =37°，现在由静止释放两物体，下列说法中正确的是（　　）

A．释放之后圆环和物块组成的系统机械能守恒
B．若M= m，当细线与细杆垂直时，圆环的速度为v=2m/s
C．若M=2m，圆环运动区间的长度为1.6m
D．为保证圆环在初始位置上方运动，物块与圆环的质量之比应该满足
10．如图所示，在倾角为30°的固定斜面上，质量为2kg小滑块从a点由静止下滑，到b点时接触轻弹簧。滑块滑至最低点c后，又恰好被弹回到a点。已知ab=2m，bc=0.8m，取g=10m/s2，下列说法正确的是（　　）

A．滑块滑到b点时动能最大
B．弹簧的最大弹性势能为56J
C．从c到b弹簧的弹力对滑块做了28J的功
D．整个过程中滑块和弹簧组成的系统机械能守恒
11．如图所示，质量为m的物块A放置在光滑水平桌面上，右侧连接一固定于墙面的水平轻绳，左侧通过一倾斜轻绳跨过光滑轻质定滑轮与一竖直轻弹簧相连。现将质量为m的钩码B挂于弹簧下端，当弹簧处于原长时，将B由静止释放，当B下降到最低点时（未着地），A对水平桌面的压力刚好为零。轻绳不可伸长，弹簧始终在弹性限度内，物块A始终处于静止状态。以下判断正确的是（　　）

A．在B从释放位置运动到最低点的过程中，B的机械能守恒
B．在B从释放位置运动到速度最大的过程中，B克服弹簧弹力做的功等于B机械能的减少量
C．物块A右侧轻绳所受拉力的最大值为
D．物块A左侧轻绳与桌面夹角为30°
12．如图所示，竖直平面上固定着两根足够长的平行导槽，质量为的形管恰好能在两导槽之间自由滑动（可锁定），质量为的小球沿水平方向，以初速度从形管的一端射入，从另一端射出，已知小球的半径略小于管道半径，不计一切摩擦，下列说法，正确的是（　　）

A．当形管被锁定时，小球在点处对轨道的压力大小为
B．当形管被锁定时，小球从形管飞出的过程中小球动量变化量的大小为，方向水平向右
C．当形管解除锁定时，小球的机械能守恒
D．当形管解除锁定时，小球运动到形管圆弧部分的最左端时的水平速度大小为
13．一根足够长的圆管倾斜固定在地面上，与水平面倾角，管内有一劲度系数为轻质弹簧，弹簧上下端分别连有质量可以忽略的活塞和质量为的光滑小球（小球直径略小于管径），已知活塞与管壁间的最大静摩擦力，弹簧从自然长度开始伸长的过程中平均弹力为，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，。当弹簧处于自然长度时由静止释放小球，在小球第一次运动到最低点的过程中，下列说法不正确的是（）

A．当小球运动到最低点时，弹簧的弹性势能为
B．小球先做加速度减小的加速运动，再做加速度增大的减速运动直到静止
C．弹簧的最大伸长量为
D．活塞克服摩擦力做功大小为
14．直角形轻杆可绕着O点为轴在竖直平面内无摩擦地自由转动，连接A球的短杆长为l，A球质量为2m，连接B球的长杆长为2l，B球质量为m。开始时，短杆竖直，长杆水平，两球处于静止状态，如图所示。现由静止释放，下列说法正确的是（）

A．在向下摆动90o的过程中，B球机械能增加，A球机械能减小
B．在向下摆动180o的过程中，杆对A球做的功为
C．在摆动过程中B球的最大速度为
D．两球刚好可以在竖直平面内做完整的圆周运动
15．如图所示，钉子A、B相距，处于同一高度。细线的一端系有质量为M的小物块、另一端终过A固定于B。质量m=5kg的小球固定在细线上C点，B、C间的线长为。用力F坚直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC与水平方向的夹角为。撤去F后，小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零，然后向下运动。忽略一切摩擦，重力加速度为g 。下列说法正确的是（　　）

A．撤去F后，小球做变速直线运动
B．物块的质量M=6kg
C．撤去F的瞬间，小球的加速度为g
D．小球向下运动到最低点时，物块M所受的拉力大小为 mg
16．如图所示，跨过同一高度处的光滑定滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B，A套在光滑水平杆上，B被托在紧挨滑轮处，细线与水平杆的夹角为30°，定滑轮离水平杆的高度h，不计空气阻力。当B由静止释放后，以下说法正确是（　　）

A．B物体到最低点前，A速度始终大于B的速度
B．B物体到最低点前，A速度始终小于B的速度
C．A物体最大速度大小为
D．A物体最大速度大小为
17．如图所示，左侧为一个固定在水平桌面上的半径为R的半球形碗，碗口直径AB水平，O点为球心，碗的内表面及碗口光滑．右侧是一个足够长的固定光滑斜面，一根不可伸长的轻质细绳跨过碗口及竖直固定的轻质光滑定滑轮，细绳两端分别系有可视为质点的小球m1和物块m2，且m1>m2．开始时m1恰在A点，m2在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接m1、m2的细绳与斜面平行且恰好伸直，C点是圆心O的正下方。当m1由静止释放开始运动，则下列说法中正确的是（　　）

A．在m1从A点运动到C点的过程中，m1与m2组成的系统机械能守恒
B．当m1运动到C点时，m1的速率是m2速率的倍
C．m1不可能沿碗面上升到B点
D．m2沿斜面上滑过程中，地面对斜面的支持力始终保持恒定
18．如图所示，一个半径为的半球形的碗固定在桌面上，碗口水平，点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的．左侧是一个足够长的固定光滑斜面，斜面倾角45°。一根不可伸长的轻质细线跨在碗口上，线的两端分别系有可视为质点的小球和物块，且m1=2m2。开始时m1恰在点，在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接、的细线与斜面平行且恰好伸直，点是圆心的正下方。当m1由静止释放开始运动，则下列说法中正确的是（　　）

A．在沿碗面下降过程中，与组成的系统机械能守恒
B．当运动到点时，物块的速率是
C．能够沿碗面上升到点
D．沿斜面上滑过程中，地面对斜面的支持力始终保持恒定
19．如图所示，小物块套在固定竖直杆上，用轻绳连接后跨过小定滑轮与小球相连，开始时物块与定滑轮等高。已知小球质量是物块质量的2倍，杆与滑轮间的距离为d，重力加速度为g，绳及杆足够长，不计一切摩擦。现将物块由静止释放，在物块向下运动的过程中，下列说法正确的的是（　　）

A．刚释放时物块的加速度为0
B．物块重力的功率先增大后减小
C．物块下降的最大距离为
D．物块速度最大时，绳子的拉力一定小于物块的重力
20．两根固定直杆组成字形，如图所示，两杆夹角为30°，其中杆竖直，杆光滑。轻弹簧的一端固定在点，另一端连接质量为的小球套在杆上，某时刻，小球从静止开始自点沿杆下滑，到达点时弹簧恢复原长，越过点后继续下滑。已知垂直于，垂直于，，弹簧原长为，取。则以下说法正确的是（　　）

A．小球沿杆下滑过程中，在点弹簧的弹性势能最小
B．小球从点运动到点的过程中，机械能守恒
C．小球达到点时，速度为
D．小球达到点时，重力的瞬时功率为
21．如图所示，在竖直平面内，一内壁光滑、半径为的四分之一细圆管与水平面平滑连接于点，的右侧平滑连接倾斜光滑轨道，轨道和光滑圆轨道在点相切，竖直，点是圆的最高点。一质量为的小球压缩轻弹簧到点锁定，解除锁定后小球进入圆管（小球的直径略小于细圆管的直径），在点与细圆管上管壁有的相互作用力。已知的长度为，轨道的长度为、圆轨道的半径为，小球与轨道的动摩擦因数为0.5，倾斜光滑轨道的斜面倾角为，重力加速度为，、。
（1）求小球压缩到点时弹簧的弹性势能；
（2）改变小球的质量，将小球压缩到点锁定，解除锁定后小球从点水平飞出，恰好击中点。求小球运动到点的速度大小和改变后滑块的质量。

22．将传感器安装在蹦极运动员身上，可以测量出运动员在不同时刻下落的高度及速度，如图甲所示。运动员及所携带装备的总质量为，弹性绳原长为。运动员从蹦极台自由下落，根据传感器测到的数据，得到如图乙所示的速度—位移图像。（取）
(1)运动员下落过程中受到的空气阻力是否能忽略不计？写出你的理由。
(2)运动员下落过程中最大动能是多少？指出该位置运动员受力的特点。
(3)简述运动员下落过程中的运动情况。
(4)运动员下落过程中动能最大时和落到最低点时，绳的弹性势能分别是多少？

23．滑板运动是一项惊险刺激的运动，深受青少年的喜爱。图中ABCD为滑板的运动轨道，AB和CD是两段光滑的圆弧，水平段BC的长度L=5m。一运动员从P点以v0=6m/s的初速度下滑，经BC后冲上CD轨道，达到Q点时速度减为零。已知运动员连同滑板的质量m=70kg，h=2m，H=3m，g取10m/s2。求：
（1）运动员第一次经过B点和C点的速度vB、vC；
（2）滑板与BC之间的动摩擦因数μ；
（3）运动员最后静止的位置与B点之间的距离x。

24．如图所示，一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O1、O2和质量mB=m的小球B连接，另一端与套在光滑直杆上质量mA=m的小物块A连接，已知直杆两端固定，与两定滑轮在同一竖直平面内，开始使小物块静止在直杆的C点，此时轻绳与水平面的夹角θ=30°，直杆与定滑轮O1、O2的竖直距离为L，重力加速度为g，设直杆足够长，小球B运动过程中不会与直杆相碰。现将小物块从C点由静止释放，试求：
(1)小物块从C点刚运动到的D点时，轻绳与杆的夹角α=530，求该过程B下落的高度h及小物块A在D点时其速度vA的大小；
(2)运动过程中小物块A的最大速度vm？（已知：sin53°=0.8，cos53°=0.6）

25．如图所示，水平地面上左侧有一质量为mC=2kg的四分之一光滑圆弧斜槽C，斜槽末端切线水平，右侧有一质量为mB=3kg的带挡板P的木板B，木板上表面水平且光滑，木板与地面的动摩擦因数为μ=0.25，斜槽末端和木板左端平滑过渡但不粘连。某时刻一质量为mA=lkg的可视为质点的光滑小球A从斜槽项端静止滚下，重力加速度为g=10m/s2，求：
(1)若光滑圆弧斜槽C不固定，圆弧半径为R=3m，且不计斜槽C与地面的摩擦，求小球滚动到斜槽末端时斜槽的动能；
(2)若斜槽C固定在地面上，小球从斜槽末端滚上木板左端时的速度为v0=lm/s，小球滚上木板上的同时，外界给木板施加大小为v0=lm/s的水平向右初速度，并且同时分别在小球上和木板上施加水平向右的恒力F1与F2，且F1=F2=5N。当小球运动到木板右端时(与挡板碰前的瞬间) ，木板的速度刚好减为零，之后小球与木板的挡板发生第1次相碰，以后会发生多次磁撞。已知小球与挡板的碰撞都是弹性碰撞且碰撞时间极短，小球始终在木板上运动。求：
①小球与挡板第1次碰撞后的瞬间，木板的速度大小；
②小球与挡板第1次碰撞后至第2020次碰撞后瞬间的过程中F1与F2做功之和。

26．如图所示，质量M＝1kg的长木板静止在水平地面上，右端固定一轻质微型弹簧，用质量为m＝0.5 kg的物块压缩弹簧并固定，此时弹簧的弹性势能为6 J，木板右端距离竖直墙L＝34 cm。某时刻释放弹簧，使得物块和木板瞬间获得一定的速度，之后木板与竖直墙发生弹性碰撞，碰撞时间极短。已知木板和地面间的动摩擦因数μ1＝0.1，物块和木板间的动摩擦因数μ2＝0.3，重力加速度g取10m/s2，运动过程中物块始终在木板上。求：
(1)释放弹簧后的瞬间物块和木板的速度大小；
(2)把物块看作质点，不考虑弹簧的长度，则木板的最小长度约为多少；（结果保留2位小数）
(3)木板停止运动时，其右端距离竖直墙多远。（结果保留2位小数）

27．如图所示，长为L＝0.64 m的细线一端固定在O点，另一端系一可视为质点的质量m＝1 kg的小球。拿起小球将细线拉直从细线与水平方向成θ＝30°的位置无初速度释放，小球运动到O点正下方P点时细线恰好被断开，小球做平抛运动，然后恰好从M点沿切线进入固定在水平面上的光滑圆弧轨道MNE。已知P点相对圆弧轨道最低点N的高度H＝1 m，M、N两点间的高度差为h＝0.55 m。重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力。求：
(1)细线能承受的最大弹力；
(2)圆弧轨道MN的半径。

28．目前，滑板运动受到青少年的追捧。如图是某滑板运动员在一次表演时的一部分赛道在竖直平面内的示意图，赛道G的左侧光滑，FG为圆弧赛道，半径R=9.0m，G为最低点并与水平赛道CD位于同一水平面，AB、EF平台的高度都为h=1.8m。C、D、G处平滑连接。滑板a和b的质量均为m=5 kg，运动员质量为M=45kg。表演开始，运动员站在滑板b上，先让滑板a从B点静止下滑，随后运动员与b板一起从B点静止下滑。滑上CD赛道后，运动员从b板跳到同方向运动的a板上，与a板一起以6.9 m/s的速度从D点沿DE赛道上滑后冲出赛道，落在FG赛道的P点，沿赛道滑行，经过G点时，运动员受到的支持力FN=661.25N。（滑板和运动员的所有运动都在同一竖直平面内，计算时滑板和运动员都看作质点，取g=10m/s2）
(1)滑到G点时，运动员的速度是多大？
(2)若滑板与赛道G的右侧间的动摩擦因数为（式中L为离G端的距离），则滑板最终停在离G点多远处？
(3)从表演开始到运动员滑至G的过程中，系统的机械能改变了多少？

29．如图所示，竖直面内固定一倾角为α=30°的足够长光滑斜面，其上端滑轮的顶端与一个固定的半径R=1m的光滑圆弧轨道最高点M在同－水平线上，圆弧轨道的圆心角θ=60°，圆心O与圆弧最低点C的连线竖直。可视为质点的A、B两球质量分别为mA=1kg，mB=3kg，用足够长的跨过滑轮及M点的不可伸长的细绳相连，A球的另一侧与一固定在斜面底端挡板处的弹簧相连，弹簧的劲度系数k=10N/m。起初用手托住B球在M点，细绳恰好伸直但无拉力，不计一切摩擦及滑轮质量，斜面上的细绳、弹簧与斜面平行，之后无初速度释放B球且细绳始终绷紧，g=10m/s2，求：
(1)初始状态弹簧的形变量；
(2)B球到达圆弧轨道最低点时，弹簧的形变量及A、B两球速度的比值；
(3)B球到达圆弧轨道最低点时，A球的速度大小。

30．如图所示，倾角为θ=53°的光滑斜面底端固定一劲度系数为100N/m的轻弹簧，弹簧上端连接质量为5kg的物块Q，Q与平行斜面的轻绳相连，轻绳跨过轻质光滑定滑轮O与套在光滑竖直杆上的质量为0.8kg的物块P连接，图中O、B两点等高，间距d=0.3m。初始时在外力作用下，P在A点静止不动，A、B间距离h=0.4m，此时轻绳中张力大小为50N。现将P由静止释放，取g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：
(1)P上升至B点时的速度大小；
(2)P上升至B点的过程中，Q克服轻绳拉力做的功。

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