重难点16重力场电场磁场的复合

1．如图所示，空间中存在水平方向的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向左，磁场方向垂直纸面向里。一带电小球恰能以速度v₀沿与水平方向成30°角斜向右下方做匀速直线运动，最后进入一轴线沿小球运动方向且固定摆放的一光滑绝缘管道（管道内径略大于小球直径），下列说法正确的是（）

A．小球带负电
B．磁场和电场的大小关系为

C．若小球刚进入管道时撤去磁场，小球将在管道中做匀加速直线运动
D．若小球刚进入管道时撤去电场，之后小球的机械能大小不变
【答案】D
【详解】
A．经分析，洛伦兹力不做功，重力做正功，而小球动能不变，电场力一定做负功，小球带正电，A错误；
B．仅当支持力为零，电场力、重力、洛伦兹力三力平衡时，有
qE=qv₀Bsin30°
即

B错误；
C．因为电场力、重力、洛伦兹力三力平衡时，电场力和重力的合力与洛伦兹力方向相反，说明合力和速度方向垂直，撤去磁场后，重力和电场力合力不做功，支持力不做功，则小球仍沿杆做匀速直线运动，C错误；
D．撤去电场，只有重力对小球做功，小球的机械能不变，D正确。
故选D。
2．如图所示，下端封闭、上端开口、高

内壁光滑的细玻璃管竖直放置，管底有质量

，电荷量的绝对值

的小球，整个装置以

的速度沿垂直于磁场方向进入磁感应强度

，方向垂直纸面向内的匀强磁场，由于外力的作用，玻璃管在磁场中的速度保持不变，最终小球从上端管口飞出。g取

。下列说法中正确的是（　　）

A．小球带负电 B．洛伦兹力对小球做正功
C．小球在玻璃管中的运动时间等于

D．小球机械能的增加量为

【答案】C
【详解】
A．小球从上端管口飞出，所以进入磁场时，小球收到的洛伦兹力向上，根据左手定则，小球带正电，A错误；
B．洛伦兹力不做功，小球能量的增加是由于外力做功的结果，B错误；
C．对小球，水平分速度提供竖直分洛伦兹力，根据牛顿第二定律得

根据

解得

C正确；
D．小球从上端管口飞出，重力势能增量为

，初速度为零，因为动能还有增量，即机械能增量大于0.5J，D错误。
故选C。
3．如图所示，带电平行板中匀强磁场方向水平垂直纸面向里，某带电小球从光滑绝缘轨道上的a点自由滑下，经过轨道端点P进入板间后恰能沿水平方向做直线运动。现使小球从较低的b点开始下滑，经P点进入板间，在板间的运动过程中（　　）

A．其电势能将会增大
B．其机械能将会增大
C．小球所受的洛伦兹力的大小将会减小
D．小球的速度将减小
【答案】A
【详解】
根据题意分析得，小球从P点进入平行板间后做直线运动，对小球进行受力分析可得小球共受到三个力作用且合力为零。因为重力方向竖直向下，则可知电场力F和洛伦兹力

方向相同，都竖直向上。若小球从较低的b点开始下滑，则小球到达P点的速度将会变小，所以洛伦兹力

也会变小，导致三个力的合力竖直向下，而小球从P点进入时的速度方向在水平方向上，所以小球会偏离水平方向向下做曲线运动，故电场力做负功，电势能增加，机械能减小。水平方向速度不变，但竖直方向的速度增加，所以速度将会增大，导致洛伦兹力也会增大。
故选A。
4．一个带正电的小球，如果在某空间中存在匀强电场和匀强磁场，其方向可以自己设定，下述对小球的运动状态的描述正确的是（　　）
A．小球如果在此空间中受洛沦兹力的作用做直线运动，则其可能做匀加速直线运动
B．给小球一水平初速，小球在此空间中可能做平抛运动
C．给小球一水平初速，不管电场、磁场方向如何，小球不可能做平抛运动
D．小球在此空间一定不能做匀速率圆周运动
【答案】C
【详解】
A．若小球能在洛伦兹力存在的情况下做匀加速直线运动，则随着速度的增加，洛伦兹力的大小也增加，此时洛伦兹力比与速度方向垂直，故不能保持匀加速直线运动，故A错误；
BC．若小球能够做平抛运动，必然存在一个方向大小不变的加速度，即存在一个方向大小不变的力，但小球做平抛运动时，合速度方向不断发生改变，此时洛伦兹力方向也不断发生改变，故小球无法做平抛运动，故B错误，C正确；
D．当小球所受重力与电场力相互抵消，此时给小球一个初速度，小球在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，故D错误；
故选C。

5．如图所示，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ是竖直平面内三个相同的半圆形光滑轨道，K为轨道最低点，Ⅰ处于匀强磁场中，Ⅱ和Ⅲ处于匀强电场中，三个完全相同的带正电小球a、b、c从轨道最高点自由下滑至第一次到达最低点K的过程中，下列说法正确的是（　　）

A．在K处球a速度最大 B．在K处球b对轨道压力最大
C．球b需要的时间最长 D．球c机械能损失最多
【答案】C
【详解】
ABC．对a小球受力分析可知

所以

对b球受力分析可得

解得

对c球受力分析可知

解得

由于a球在磁场中运动，磁场力对小球不做功，整个过程中小球的机械能守恒；c球受到的电场力对小球做正功，到达最低点时球的速度大小最大，对轨道压力最大，b球受到的电场力对小球做负功，到达最低点时的速度的大小最小，所以b球的运动的时间也长，AB错误C正确；
D．c球受到的电场力对小球做正功，到达最低点时球的速度大小最大，所以c球的机械能增加，D错误。
故选C。
6．如图所示，一质量为m＝0.10 g、带电荷量q＝1.6×10^－³ C的带负电滑块(可看作质点)以初速度v₀＝5 m/s由水平面上的A点向右滑动，到达C点后恰好能通过半径为R＝0.5 m的光滑半圆轨道的最高点D，已知水平轨道AC与半圆轨道相切于C点，整个装置处在垂直纸面向里、磁感应强度B＝0.50 T的匀强磁场中，重力加速度g＝10 m/s²，则(　　)

A．滑块运动到最高点D时的速度大小为1.25 m/s
B．滑块运动到最高点D时的速度大小为

m/s
C．滑块从C运动到D的过程中，机械能不守恒
D．滑块从A到C的过程中克服阻力做的功为2×10^－⁴ J
【答案】D
【解析】
AB、因滑块恰好能通过光滑半圆轨道的最高点D，在D点由竖直向下的重力和竖直向上的洛伦兹力的合力提供向心力，即

，代入数值得v＝1 m/s，故AB错误；
C、滑块从C到D的过程中，洛伦兹力时刻与速度方向垂直，不做功，只有重力做功，机械能守恒，故C错误；
D、滑块从C到D的过程中，由机械能守恒定律知

，即

，滑块从A到C的过程中，由动能定理知克服阻力做的功为

，即

，故D正确；
【点睛】粒子在磁场中做匀速圆周运动，由重力和洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出在最高点的速度，滑块从C到D的过程中，洛伦兹力时刻与速度方向垂直，不做功，只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律求出C点速度，由动能定理求出滑块从A到C的过程中克服阻力做的功．
7．如图，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上（与纸面平行），磁场方向垂直于纸面向里。三个质量相等的小球，分别带上不等量的正电荷，电荷量分别为

、

。已知在该区域内，a在纸面内向右做匀速直线运动，b在纸面内做匀速圆周运动，c在纸面内向左做匀速直线运动，三球速度大小相等，下列选项正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】A
【详解】
由题意可知，a球在纸面内向右做匀速直线运动，对a球受力分析可知，a球受到竖直向上的电场力

，竖直向上的洛伦兹力

，竖直向下的重力mg；由球a受力平衡可得

其中

，

联立以上两式解得

b球受力分析可知，b球受竖直向上的电场力

，竖直向下的重力mg，指向圆心的洛伦兹力。由于b球做匀速圆周运动，所以b球的合外力只由洛伦兹力提供，所以重力和电场力的合力为零，得

其中

联立以上两式解得

对c球进行受力分析可知，c球受竖直向上的电场力

，竖直向下的洛伦兹力

，竖直向下的重力。由于c球向左做匀速直线运动，即受力平衡，得

其中

，

联立以上两式解得

所以

所以A项正确，故选A。

8．如图所示，整个空间存在垂直纸面向里的匀强磁场，

为一水平线。一带电小球从a点由静止释放，部分运动轨迹如图中曲线所示，b为整段轨迹的最低点。下列说法正确的是（　　）

A．轨迹

为一段抛物线
B．小球经过b点后一定能到

水平线
C．小球到b点时速度一定最大，且沿水平方向
D．小球在b点时受到的洛伦兹力与重力大小相等
【答案】BC
【详解】
A．小球受到重力和洛仑兹力作用，且洛仑兹力逐渐增大，小球受的不是恒力，轨迹不可能是抛物线，选项A错误；
B．小球受到的洛仑兹力不做功，只有重力做功，小球机械能守恒，故小球在到b点后一定能到ac水平线，故选项B正确；
C．b为最低点，重力做功最多，应用动能定理可知速度最大，速度沿切线方向，选项C正确；
D．小球做曲线运动，在b点有竖直向上的向心力，洛仑兹力大于重力，选项D错误；
故选BC。
9．如图所示，匀强电场方向水平向右，电场场强大小为

，匀强磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为

，现有一质量为

带正电的粒子以某一速度与磁场方向垂直，与电场成45°角射入复合场中，带电粒子恰好能做匀速直线运动。已知重力加速度大小为

，则带电粒子的电荷量和射入速度大小分别是（　　）

A．带电粒子的电荷量

B．带电粒子的电荷量

C．射入速度大小是

D．射入速度大小是

【答案】AC
【详解】
小球在电场、磁场、重力场的复合场中做直线运动，一定做的是匀速直线运动，对小球受力分析，由力的平衡可知

联立解得

，

故BD错误，AC正确。
故选AC。
10．如图所示，套在足够长的绝缘直棒上的小球，其质量为m，带电荷量为

，小球可在棒上滑动，将此棒竖直放在水平向右的匀强电场和水平向右的匀强磁场中，电场强度

，磁感应强度为B，小球与棒间的动摩擦因数为

，小球由静止开始沿棒下落，设小球带电荷量不变，重力加速度大小为g，下列关于小球运动的说法正确的是（　　）

A．小球下落的加速度不变 B．小球沿棒下落的最大加速度为

C．小球沿棒下落的最大速度为

D．小球沿棒下落过程中受到的最大洛伦兹力为

【答案】BC
【详解】
A．下落过程中，对小球由牛顿第二定律得

小球向下加速运动，速度不同，加速度不同，故A错误；
B．速度达到最大值前，速度增加，故加速度减；当速度达到最大值时，加速度为零，之后小球以最大速度沿棒匀速运动，故当速度等于零时，加速度最大，为

故B正确；
C．当加速度等于零时，速度最大，解得

故C正确
D．速度最大时，洛伦兹力最大，解得

故D错误。
故选BC。
11．如图所示，倾角为θ的粗糙绝缘斜面上等间距的分布着A、B、C、D四点，间距为l，其中BC段被打磨光滑，A点右侧有垂直纸面向里的匀强磁场。质量为m的带负电物块从斜面顶端由静止释放，已知物块通过AB段与通过CD段的时间相等。下列说法正确的有（　　）

A．物块通过AB段时做匀减速运动
B．物块经过A、C两点时的速度相等
C．物块通过BC段比通过CD段的时间短
D．物块通过CD段的过程中机械能减少了

【答案】BCD
【详解】
A．根据通过AB段和通过CD段的时间相等，在BC段是做匀加速直线运动，所以在AB和CD段不可能做匀速运动，速度变化，所受的洛伦兹力就会发生改变从而导致摩擦力的改变，所以在AB段和CD段不可能做匀减速运动，选项A错误；
B．由时间相等和位移相等，推出AB段的运动和CD段的运动应该是一个完全一样的过程，所以v_A=v_C，选项B正确；
C．由于AB段的运动和CD段的运动完全一致，可得出v_B=v_D，v_A=v_C，位移也相同，但是CD段是在做一个加速度减小的减速运动的，所以CD段所用的时间更多，选项C正确；
D．对AC段列动能定理

所以AB段摩擦力做功

又AB段和CD段运动完全一样，所以CD段摩擦力做功也为W_f，即机械能减少了2mglsinθ，选项D正确。
故选BCD。
12．如图所示为一个质量为m．电荷量为＋q的圆环，可在水平放置的足够长的粗糙细杆上滑动，细杆处于磁感应强度为B的匀强磁场中，不计空气阻力，现给圆环向右的初速度v₀，在以后的运动过程中，圆环运动的速度图像可能是下列选项中的（）

A．

B．

C．

D．

【答案】AD
【详解】
A．由左手定则可知，圆环所受洛伦兹力竖直向上，带电圆环在磁场中受到向上的洛伦兹力，当重力与洛伦兹力相等时，圆环将做匀速直线运动，故A正确；
BC．当重力大于洛伦兹力时，水平方向受摩擦力作用，做减速运动，根据牛顿第二定律得加速度为

随着速度的减小，加速度增大，直到速度减为零后静止，所以其v-t图象的斜率应该逐渐增大，故BC错误；
D．当洛伦兹力大于重力时，水平方向受摩擦力作用，做减速运动，根据牛顿第二定律得加速度为

随着速度的减小，加速度减小，直到

时，加速度为零，则圆环最后将做匀速直线运动，故D正确。
故选AD。
13．如图所示，绝缘材料做成的轨道ACDE固定于竖直平面内，AC段水平，CDE段为半径R=0.4m的半圆轨道，整个装置处在匀强磁场中，磁感应强度大小为B=0.5T，方向与轨道平面垂直。有一个质量为m=1.0×10^-4kg，带电量为q=+1.5×10^-3C，可视为质点的小滑块，以v₀=5m/s的初速度从C点开始进入半圆轨道，小滑块恰好能通过E点水平飞出，一段时间后小滑块通过与E点等高的F点（图中未标出）。若运动过程中小滑块带电量不变，取重力加速度为g=10m/s²。下列说法正确的是（　　）

A．小滑块通过E、F两点时的速度大小相等
B．小滑块通过E点时的速度大小为2m/s
C．从C到E小滑块克服摩擦力做的功为4.0×10^-4J
D．从C到D小滑块损失的机械能小于2.0×10^-4J
【答案】AC
【详解】
A．小滑块从E点到等高的F点，重力做功为零，洛伦兹力不做功，则由能量关系可知，通过E、F两点时的动能相同，即速度大小相等，选项A正确；
B．小滑块恰好能通过E点水平飞出

则
v_E=1m/s
选项B错误；
C．从C到E小滑块克服摩擦力做的功为

解得
W_f=4.0×10^-4J
选项C正确；
D．从C到D小滑块的速度大于从D到E的速度，可知从C到D滑块对轨道的压力大于从D到E对轨道的压力，则从C到D滑块受到的摩擦力大于从D到E受到的摩擦力，则从C到D损失的机械能大于2.0×10^-4J，选项D错误。
故选AC。
14．如图所示，在竖直平面内，y≥0区域存在水平向左的匀强电场，y＜0区域存在竖直向上的匀强电场，电场强度大小均为E；在y＜0区域还同时存在垂直于xoy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。长为L的绝缘轻绳一端固定于点P（

，

），另一端连接一带正电的小球，比荷大小为

。现将小球由C点静止释放，释放时绳恰好伸直且与y轴平行，小球运动到O点瞬间将绳烧断。不计空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)小球刚释放瞬间的加速度大小a；
(2)小球刚到达O点时的速度大小v；
(3)小球从O点开始到第四次到达x轴（不含O点）所用的时间t。

【答案】(1)

g；(2)

；(3)

【详解】
(1)由题意可知
mg=Eq
则C点时小球的合力大小为

根据牛顿第二定律F=ma有
a=

g
(2)设小球匀加速到D点（绳子拉直）时速度大小为v₀，由运动学公式有

垂直于绳方向的分速度为
v₁=v₀cos45°
从D到O的过程，由动能定理可知

解得

(3)由几何关系可知，微粒通过O点时速度与横轴夹角为45°。进入横轴下方后，由于重力与电场力等大、反向，所以微粒做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律可知

由几何对称性可知，粒子通过O点后，经过

圆周运动后第一次经过横轴且与横轴成45°斜向右上进入第一象限。则

圆周运动的时间

而后，粒子在第一象限中做匀变速直线运动经过
v=at
t₂=2t
eqId3b81d5865061483889287b05e6f00d43

斜向左下45°第二次经过横轴，然后粒子经过

匀速圆周运动后，斜向左上45°第三次经过横轴，所用时间t₃

根据运动合成与分解的知识可知，第四次经过横轴的时间等于竖直上抛的时间

所以，从通过O点开始到第四次经过横轴的时间是
t=t₁+t₂+t₃+t₄
eqId7470e91077be473cb9f7595dbfa67f8a

15．如图所示，足够大平行板MN、PQ水平放置，MN板上方空间存在叠加的匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，电场方向与水平成

角斜向左上方（图中未画出），电场强度大小

；两板间也存在方向垂直纸面向外的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，磁感应强度大小和电场强度大小也为B和E。现有一质量为m、电量为q的带正电小球，在MN板上方电磁场中沿直线运动，并能通过MN板上的小孔进入两板间。
(1)求小球刚进入平行板时的速度v大小和方向；
(2)若小球进入两板间后，经过t时间撤去板间电场，小球恰好能做匀速直线运动且不与PQ板碰撞，求两板间距离d应满足的条件以及时间t。

【答案】(1)

，方向与AB成

角斜向下；(2)

，

【详解】
(1)带正电的小球能在电磁场中沿直线运动，可知一定是匀速直线运动，受力平衡，因电场力

方向沿左上方与水平成

角，重力mg竖直向下，可知电场力与重力夹角为

，其合力大小为mg。如图所示

则满足

解得

方向与MN成

角斜向下。
(2)依题知

故小球在两板间做匀速圆周运动。由牛顿第二定律

得

且

如图示位置撤去电场

由

可做匀速直线运动。由几何关系得

且

16．如图所示，在竖直平面内的坐标系xOy的第一象限与第四象限内有一条垂直于x轴的虚线MN、MN与x轴的交点为D。在y轴与虚线MN之间有匀强电场与匀强磁场，电场方向竖直向上，场强大小为E₁；x轴上方的磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B₁，x轴下方的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B2，B₁ = 2B₂。在第二象限内有水平向右的匀强电场，场强大小为E₂。一个质量为m、电荷量为 + q的带电液滴从P点由静止释放，恰经过原点O进入第四象限后，开始做匀速圆周运动。已知P点坐标为（- 3d，4d），B₁ =

（g为重力加速度），液滴通过O点后穿过x轴一次，最后垂直于MN射出磁场，sin37° = 0.6，cos37° = 0.8。求：
(1)场强E₁、E₂的大小；
(2)虚线MN与y轴的距离；
(3)液滴从P点释放到离开磁场的时间。

【答案】(1)E₂ =

；(2)6d；(3) eqIda905c560bd23475c9619a8763a490da1

【详解】
(1)液滴在第一、四象限内做匀速圆周运动电场力与重力大小相等、方向相反，故有
E₁q =mg
则
E₁=

在第二象限，液滴在P点由静止释放后沿直线运动，设液滴进入磁场时速度方向与x轴成α角则
tanα=

解得
α= 53°
合力必沿PO方向，所以
tanα=

解得
E₂=

(2)设液滴经过O点时的速度大小为v，则
3E₂qd + 4mgd =

mv²
解得
v=

液滴在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示

在x轴下方磁场中有
qvB₂=m

可得
R₂= 3d
同理可解得液滴在x轴上方磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径
R₁=

d
所以虚线MN与y轴的距离
x= 2R₂sin53° + R₁sin53° = 6d
(3)液滴在第二象限的加速度
a=

液滴在第二象限的运动时间
t₁=

= 2

液滴在x轴上方磁场中做匀速圆周运动的周期
T₁=

液滴从P点移动到离开磁场的时间
t=t₁ +

= (4 +

)

17．如图所示，在无限长的竖直边界

和

间有匀强电场，同时该区域上、下部分分别有方向垂直于

平面向内和向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为

和

，

为上下磁场的水平分界线，在

和

边界上，距

高

处分别有

、

两点，

和

间距为

，质量为

，带电荷量为

的小球（可视为质点）从

点垂直于

边界射入该区域，在两边界之间做匀速圆周运动，重力加速度为

。
(1)求电场强度的大小和方向；
(2)要使粒子不从

边界飞出，求粒子入射速度的最小值；
(3)若粒子能经过

点从

边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值。

【答案】(1)

，方向竖直向下；(2)

；(3)

，

【详解】
解：(1)小球在磁场中做匀速圆周运动，电场力与重力平衡，即
mg=qE
解得

电场力的方向竖直向上，电场强度方向竖直向下。
(2)粒子运动轨迹如下左图所示，设粒子不从NS边飞出的入射速度最小值是v_min，对应的粒子在上、下区域的轨道半径分别为r₁、r₂，圆心的连线与NS夹角为φ，小球在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得

解得粒子轨道半径

则有

由几何知识得

解得

(3)小球运动轨迹如上右图所示，设粒子入射速度为v，粒子在上、下区域轨道半径分别为r₁、r₂，粒子第一次经KL时，距K点为x，由题意可知
3nx=1.8h（n=1、2、3⋯）

解得

，n<3.5
即n=1时

n=2时

n=3时

18．如图所示，半径R＝3.6m的

光滑绝缘圆弧轨道，位于竖直平面内，与长L＝5m的绝缘水平传送带平滑连接，传送带以v＝5m/s的速度顺时针转动，传送带右侧空间存在互相垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度E＝20N/C，磁感应强度B＝2.0T，方向垂直纸面向外。a为m₁＝1.0×10^-3kg的不带电的绝缘物块，b为m₂＝2.0×10^-3kg、q＝1.0×10^-3C带正电的物块。b静止于圆弧轨道最低点，将a物块从圆弧轨道顶端由静止释放，运动到最低点与b发生弹性碰撞（撞撞过程中b的电量不发生变化），碰后立即撤去a。碰后b先在传送带上运动，后离开传送带飞入复合场中，最后落在地面上的P点，落地时速度方向与水平面成60°斜向左下方(如图)。已知b物块与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.1。（g取10m/s²，a、b均可看做质点）求：
(1)物块a运动到圆弧轨道最低点时的速度及对轨道的压力；
(2)物块b离开传送带时的速度；
(3)从b开始运动到落地前瞬间，b运动的时间。

【答案】(1)6m/s，0.02N；(2)5m/s；(3)3.2s
【详解】
(1)由动能定理

可得
v₀=6m/s
在B点，根据牛顿第二定律有

可得
F_N=0.02N
由牛顿第三定律可得物块对轨道压力
F′_N=- F_N =-0.02N
方向竖直向下
(2)a与b弹性碰撞，则有：

联立可得

故b做加速运动；
由

解得
x=4.5m<L
即b以v=5m/s的速度离开传送带飞进复合场
(3)b开始运动后：又因为

所以有

解得
R=5m

可得
t₁=1s
L-x=vt₂
可得
t₂=0.1s
圆周运动的周期

可得

故

19．如图所示，在平面直角坐标系中，

是

的角平分线，x轴上方存在水平向左的匀强电场，下方存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，两电场的电场强度大小相等。一质量为m、带电荷量为+q的质点从

上的M点由静止释放，质点恰能沿

运动而通过O点，经偏转后从x轴上的C点进入第一象限内并击中

上的D点（C、D均未画出）。已知

，匀强磁场的磁感应强度大小为

，重力加速度g取10

。求：
(1)两匀强电场的电场强度E的大小；
(2)

的长度L；
(3)质点从M点出发到击中D点所经历的时间

【答案】(1)

；(2)

或

；(3)

或

【详解】
(1)质点在第一象限内受重力和水平向左的电场力作用，沿

做匀加速直线运动，所以有

解得

(2)质点在x轴下方，重力与电场力平衡，质点做匀速圆周运动，从C点进入第一象限后做类平抛运动，其轨迹如图所示。

则有

由运动学规律知

设粒子从C点运动到D点所用时间为

，由类平抛运动规律知

联立解得

或

(3)质点从M到O做匀加速直线运动有

得

或

质点做匀速圆周运动有

质点做类平抛运动有

得

质点从M点出发到击中D点所经历的时间为

或

20．如图所示，半径为R的

光滑绝缘圆形轨道固定在竖直面内，以圆形轨道的圆心O为坐标原点，沿水平直径方向建立x轴，竖直方向建立y轴。y轴右侧存在竖直向下范围足够大的匀场强电场，电场强度大小为

，第二象限存在匀强电场（方向与大小均未知)。不带电的绝缘小球a质量为M，带电量为+q的小球b质量为m，a球从与圆心等高的轨道A处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的b球正碰，碰撞后b球恰好能通过轨道最高点C，并落回轨道A处，小球落回A处时的速度大小与小球离开最高点C时速度大小相等，重力加速度为g，小球b的电量始终保持不变。试求：
(1)第一次碰撞结束后，小球a的速度大小；
(2)第二象限中电场强度E₂的大小和方向。

【答案】(1)

；(2)

，水平向右
【详解】
（1）设小球a滑动到最低时速度为v，由机械能守恒定律得

设a、b小球在B点碰撞后的速度分别为v₁、v₂，b球过最高点速度为v_c，由动量守恒定律得

由动能定理得

在C点，由牛顿第二定律得

联立解得

（2）要让b小球落回A处时的速度大小与小球离开最高点C时速度大小相等，电场力qE₂与mg的合力应垂直于AC边斜向下，把运动沿CA方向与垂直CA方向分解，CA方向做匀速直线运动，垂直CA方向做匀减速运动，如图所示

则有

由几何关系得，设小球b从C运动到A点时间为t，CA长

小球b垂直CA方向加速度大小为a，有

解得

。小球从C到A受到的合力

由几何关系电场力大小为

则

方向水平向右。
21．如图甲所示，直角坐标系

位于竖直平面内且x轴沿水平方向，其第二象限内有一对平行金属板A、B，两板相距为d，两板之间有方向平行于板面并垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为

，第一象限某一矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为

，第四象限存在一未知电场。第三象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为

，在竖直方向存在交变电场，将一个倾角为

的滑绝缘斜面放置在此空间中。已知大量带电量均为

的带电粒子从平行金属板左侧沿x轴正方向以相同的速度

飞入平行金属板A、B之间，稳定后，某一质量为m的带电离子能沿平行金属板中心线射出，经过第一象限的磁场偏转后进入第四象限未知电场做匀减速直线运动，恰好沿斜面进入第三象限，此时粒子速度为0，且此后一直在第三象限内运动，取带电粒子刚进入斜面时为

时刻，电场变化如图乙所示，电场方向竖直向上为正，场强大小为

，已知

的大小数值上等于

，且题中d、

、

、q、m、

、

为已知量，不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用，则
（1）求稳定后两金属板之间的电势差

；
（2）求带电粒子在第一象限磁场中做圆周运动的半径

；
（3）求第一象限内磁场的最小面积与斜面倾角

的函数关系式；
（4）若带电粒子在第

内恰好没有离开斜面，

后电场变为垂直斜面向上的匀强电场，电场大小变为

，并在斜面末端安装一垂直斜面的荧光屏

。已知小球在电场变化后的

内打在荧光屏上，且与C点的距离为

，求

末带电粒子与斜面底端C点的距离L（计算结果用角度关系表示）。

【答案】（1）

；（2）

；（3）

；（4）

【详解】
（1）粒子在第二象限的两板间沿直线运动，则满足

解得

（2）粒子在第一象限的矩形磁场中做匀速圆周运动，则
eqIda1e978cd876d4392b1ca6a7b2c76fbff

解得

（3）第一象限的矩形磁场的最小面积
eqId164e55b7a2aa46e791e4534e03c5205e

（4）在19s之前电场和磁场共存时粒子没有离开斜面，粒子在刚进入第三象限后在电场的作用下加速，电场加速度后粒子在只有磁场存在的情况下做匀速圆周运动，则由

可得

代入数据解得

；说明粒子在磁场单独存在的情况下做一个完整的匀速圆周运动，然后继续电场加速，磁场完整圆周运动的情形，当粒子即将脱离斜面时，则垂直斜面方向一定满足

在19s时电场的大小和方向均改变，则将粒子的速度分解为沿斜面运动的

和

，则有

粒子的

的速度受到的洛伦兹力和电场力平衡，做沿斜面的匀速直线运动，

的速度做只受洛伦兹力的匀速圆周运动，而运动了

打在屏幕上，因此运动了

圆周，根据条件可得圆周运动在斜面和垂直斜面的位移相同，因此总位移为做圆周运动的半径加匀速直线的位移，即

22．如图所示，在边长为L的正方形

区域内存在图示方向的匀强电场，正方形的内切圆内存在垂直纸面向里的匀强磁场。现有一质量为m、带电量为

的粒子从

边中点e以速度

沿内切圆直径

射入场区，粒子恰沿直线从

边的中点f射出场区。保持粒子入射位置及速度大小、方向均不变，仅撤去磁场，粒子射出电场时速度偏向角

。已知

，不计粒子重力。
(1)求仅撤去磁场时粒子在电场内运动的时间

及电场强度E的大小；
(2)若保持粒子入射位置及速度大小、方向均不变，仅撤去电场，求粒子在磁场中的运动时间。

【答案】(1)

；

；(2)

【详解】
(1)当只有电场时，粒子做类平抛运动，设粒子出电场时沿电场方向分速度为

速度偏向角的正切值

沿初速度方向

沿电场力方向

可得

可知粒子一定是从c点射出电场，可得

加速度

沿电场方向分速度

可得

(2)设磁场的磁感应强度大小为B，当电场和磁场共存时粒子做直线运动，则

当只存在磁场时粒子做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得

粒子运动轨迹如图所示

由几何关系可知偏转角

满足

粒子在磁场内运动周期

粒子在磁场内运动时间

23．如图所示，两块水平放置、相距为d的长金属板接在电压可调的电源上。两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的长为2d的矩形匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，将喷墨打印机的喷口靠近下板上表面（墨滴与下极板恰好没接触），从喷口连续不断沿水平方向喷出质量均为m、带相等电荷量为+q的墨滴。调节电源电压至某值时，墨滴在电场区域恰能沿水平向右做匀速直线运动，并进入电场、磁场共存区域运动，不考虑边缘效应，重力加速度为g。求：
(1)墨滴在电场区域恰能沿水平向右做匀速直线运动时，极板两端电压U为多大？
(2)要使进入电场、磁场共存区域的墨滴打不到上极板，水平速度v₀的值。

【答案】(1)

；(2)

或

【分析】
(1)根据电场力和重力平衡求出电压。
(2)墨滴垂直进入电磁场共存区域，重力仍与电场力平衡，墨滴做匀速圆周运动，根据墨滴恰好打不到上极板，通过几何关系得出墨滴的轨道半径，结合带电墨滴在磁场中运动的半径公式求出墨滴进入磁场后恰好不打到上板的右端时水平速度v₀的取值。
【详解】
(1)墨滴在电场区域做匀速直线运动，有

得

(2)进入电场、磁场共存区域后，重力与电场力平衡，磁场力做匀速圆周运动的向心力

墨滴进入磁场后恰好不打到上板，轨迹与上板刚好相切时，如图轨迹①，由几何关系得半径

由此可得

墨滴进入磁场后恰好不打到上板的右端时，如图轨迹②

由几何关系得
（R₂-d）²+（2d）²=R₂²
得

由此可得

因此，水平速度v₀的取值

或

24．如图所示，xOy坐标系位于竖直平面内，在x＜0的区域内存在电场强度大小

（g为重力加速度）、方向沿y轴正方向的匀强电场和磁感应强度大小为B、方向垂直坐标平面向外的匀强磁场；在x＞0的区域内存在电场强度大小E₂＝2E₁、方向沿y轴正方向的匀强电场．某时刻，在第三象限的N

点以大小为v₀的初速度沿x轴负方向射出质量为m、带电荷量为+q的小球甲，小球甲从y轴上的P点（图中未画出）进入y轴右侧的电场，最终恰好以沿x轴正方向的速度经过x轴上的Q₁点（图中未画出）．小球所带的电荷量不影响电场的空间分布．（结果均用B、m、q、v₀四个物理量中的量表示）
（1）求P点到O点的距离．
（2）求E₁和B大小的比值．
（3）如果在P点静止放置一质量为m、不带电的小球乙，小球甲运动到P点时与小球乙相碰，碰撞时间极短，碰撞过程电荷量不变，碰后两小球结合成一个整体，求结合体从P点运动到与Q₁点在同一竖直线上的Q₂点（图中未画出）的时间．

【答案】（1）

；（2）

；（3）

．
【详解】
（1）对小球甲在x＜0的区域内受力分析有:
qE₁＝mg
可知小球甲所受的电场力与重力平衡，洛伦兹
力使小球甲在y轴左侧做匀速圆周运动，轨迹
半径

，
又N点的坐标为

，
小球甲运动轨迹的圆心在x轴负半轴上，且小
球甲运动

个圆周后到达P点，运动轨迹如图
所示：

小球甲在P点的度方向与y轴负方向的夹角
α＝45°，
故

；
（2）小球甲进入y轴右侧的场电场后，对小球甲
受力分析得
qE₂﹣mg＝ma，
解得a＝g，方向竖直向上，
根据题意可知，小球甲在y轴右侧的运动轨迹
恰好与x轴相切，则在沿y轴方向有

，
又

，
联立解得

（3）小球甲、乙在P点相碰，设碰后结合体的速
度大小为v，由动量守恒定律得

在y轴右侧的电场中，对结合体有

所以结合体在y轴右侧做匀速直线运动，由运
动学规律可知OQ₁＝2OP
根据几何关系有

又PQ₂＝vt
解得结合体从P点运动到Q₂点的时间

．
25．如图所示，在水平虚线下方区域内分布着互相垂直的匀强电场和匀强磁场，电场的电场强度大小E=1V/m、方向水平向左，磁场的磁感应强度大小B=0.1T，方向垂直于纸面向里。在该区域上方的某点A，以初速度

水平向右抛出一带正电的小球，小球进入该区域后恰好做直线运动，取重力加速度大小g=10m/s²，不计空气阻力。求：
(1)A点距该虚线的高度h；
(2)小球的比荷

。

【答案】(1)

；(2)

【详解】
(1)小球进入电磁叠加场后受力分析如图所示，

由受力特点可知小球做匀速直线运动，设速度v与水平夹角为

，有

由平抛规律可知

联立解得

(2)由竖直方向的平衡有

而

联立解得

26．如图所示，在空间建立直角坐标系，坐标轴正方向如图所示。空间有磁感应强度为B=1T，方面垂直于纸面向里的磁场，II、III、IV象限（含x、y轴）有电场强度为E=2N/C，竖直向下的电场。光滑

圆弧小管道（管的直径略大于B球直径），圆心O'，半径为R=4m，小圆管底端位于坐标轴原点O。质量为m=1kg，带电q₁=-1C的小球A从O'处水平向右飞出，经过一段时间，正好运动到O点。质量为m₂=2kg，带电q₂=2C的小球B从小圆管顶端（与圆心等高处）静止释放，与A同时运动到O点并发生完全非弹性碰撞，碰后生成小球C。小球A、B、C均可视为质点，所在空间无重力场作用。
(1)小球A在O'处的初速度为多大；
(2)碰撞完成后瞬间，小球C对圆管轨道的压力；
(3)小球C从O点飞出后的瞬间，将磁场方向改为竖直向上。分析C球在后续运动过程中，又回到y轴时离O点的距离。

【答案】(1) 2m/s (2) 压力为3N，方向向下 (3)

（n=1、2、3。）
【详解】
(1)A从O'飞出后，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动

洛伦兹力提供向心力

解得

(2)设B滑到O点的速度为v_B，由动能定理

解得

A、B在O点发生完全非弹性碰撞，设碰后生成的C球质量为m_c，

，速度为v₁，
由动量守恒定律

得

在碰后瞬间，C球做圆周运动，设轨道对C支持力为N，C球带电量

解得
N=3N
由牛顿第三定律可得压力为3N，方向向下；
(3)C球从轨道飞出后，受到竖直向下的电场力和垂直纸面向外的洛伦兹力，在电场力作用下，C球在竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，在水平方向做匀速圆周运动，每隔一个周期T，C球回到y轴上。由

及

解得C球圆周运动周期

C球竖直方向加速度

C球回到y轴时坐标

代入数据解得

（n=1、2、3。）
27．如图所示的竖直平面内，竖直分界线

左侧存在竖直向上的匀强电场，电场场强为

，右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，电场强度为

，左侧区域有一段半径为

的光滑绝缘圆弧轨道

与分界线

交于

点，

两点等高，

点为圆弧最高点，另有一段足够长的光滑绝缘直轨道与圆弧相切与

点，直轨道与水平面成

角。右侧区域有一个半径也为

的圆圈，圆心

与

两点等高。电量为

可视为质点的带电小球从绝缘直轨道上距

点

处由静止释放，小球能够沿着左侧轨道运动，经过

点后在右侧区域做匀速圆周运动。若小球再次回到左侧区域后的运动不考虑，重力加速度未知。
（1）求带电小球的重力及经过

点时对轨道的压力；
（2）若带电小球从直轨道上距

点的距离为

的两个地方由静止释放，小球在右侧区域的圆周轨迹都恰好和圆圈相切，求

间的距离

；
（3）若第（2）问中释放点距

点较近的距离为

，求小球质量与右侧区域磁感应强度的平方之比

。

【答案】（1）

，

，方向竖直向上；（2）

；（3）

【详解】
（1）带电小球在右侧区域做匀速圆周运动，故有

对小球从释放到

点的过程，根据动能定理得

设在

点轨道对小球的作用力大小为

，对小球，有

解得

根据牛顿第三定律知，小球经过

点时对轨道的压力大小为

，方向竖直向上。
（2）设带电小球从距

点

远处释放，到达

点处的速率为

，由动能定理得

故两次释放距离和进入右侧区域的速度满足

由于

，故

在右侧电磁场中，根据洛伦兹力提供向心力，得

其中

表示小球做圆周运动的半径
所以两次半径之比

由图中几何关系和余弦定理得

联立解得

解得

（3）把

代入

，可得

与第2问分析同理可得

联立解得

28．如图所示，水平地面上方有水平向右的匀强电场，竖直放置的光滑绝缘圆弧轨道固定在地面上，轨道末端C点与圆心O的连线和竖直直径的夹角为

，轨道右侧竖直虚线MN和PQ间还有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小

。一带电小球（看做质点）自最高点A水平向左进入轨道，小球的质量m=0.3kg，带电量

，小球沿着轨道圆周运动至C点的过程中，和轨道间的最小压力

，小球离开轨道后立即进入MN右侧有磁场的区域，在MN和PQ间恰好做直线运动，运动至和A 点等高的D点离开磁场区域，又经过一段时间落在地面上。已知重力加速度g =10m/s²，求：
(1)小球运动至轨道末端C点时的速度大小；
(2)圆弧轨道的半径；
(3)小球最后落地时的速度大小。

【答案】(1)10m/s；(2)0.6m；(3)

【详解】
(1)小球在MN和PQ间只能做匀速直线运动，且带正电，沿着运动方向则有

可得匀强电场的电场强度

垂直运动方向则有

解得小球在磁场中的速度，即在轨道末端时的速度

(2)小球在轨道上运动至等效最高点时

自等效最高点至等效最低点（C点）

可得圆弧轨道的半径

(3)小球离开磁场后，竖直方向则有

落地时竖直分速度

又有

可得小球离开磁场到落地的时间

落地时水平速度

落地时速度

29．如图甲所示，竖直面MN的左侧空间中存在竖直方向的匀强电场（上、下及左侧无边界）．一个质量为m、电荷量为q、可视为质点的带正电小球，以水平初速度

沿PQ向右做直线运动，Q位于MN上，若小球刚经过D点时（t=0），在电场所在空间叠加如图乙所示随时间做周期性变化、垂直纸面向里的匀强磁场，使得小球再次通过D点时与PQ连线成90°角，已知D、Q间的距离为2L，

小于小球在磁场中做圆周运动的周期，忽略磁场变化造成的影响，重力加速度为g。求：
（1）电场强度E的大小和方向；
（2）

与

的比值；
（3）小球过D点后做周期性运动，则当小球运动的周期最大时，求出此时磁感应强度

的大小及运动的最大周期

。

【答案】（1）

，竖直向上；（2）3π:2；（3）

，

【详解】
（1）不加磁场时，小球沿直线PQ做直线运动，有
qE=mg
解得
E=

电场强度的方向竖直向上。
（2）小球能再次通过D点，其运动轨迹如下图所示

设半径为r，做圆周运动的周期为T，则

，

解得

（3）当小球运动周期最大时，其运动轨迹应与MN相切，如下图所示

由几何关系得2R=2L由牛顿第二定律得

解得
B₀=

30．在竖直平面内建立一平面直角坐标系xoy，x轴沿水平方向，如图甲所示。第一象限有一竖直向下的匀强电场，第二象限内有一水平向左的匀强电场，第一象限场强大小为第二象限场强大小的一半。处在第三象限的某种发射装置（图中没有画出）竖直向上射出一个质量为m、电荷量为-q（q>0）的带电粒子（可视为质点），该粒子以初速度v₀从-x上的A点沿y轴正方向进入第二象限，并从+y上的C点沿x轴正方向进入第一象限，C点粒子动能为A点粒子动能的4倍。重力加速度为g。试求：
(1)OC距离L以及第二象限匀强电场的电场强度E的大小；
(2)若第一象限同时存在按如图乙所示规律变化的磁场，磁场方向垂直于纸面（以垂直纸面向外的磁场方向为正方向，图中B₀，T₀均为未知量），并且在t=

时刻粒子由C点进入第一象限，且恰好能通过同一水平线上的D点，速度方向仍然水平，且CD=

OC．若粒子在第一象限中完成一个完整圆周运动的周期与磁场变化周期相同，求交变磁场变化的周期T₀的大小；
(3)若第一象限仍同时存在按如图乙所示规律变化的磁场（以垂直纸面向外的磁场方向为正方向，图中B₀，T₀均为未知量），调整磁场变化的周期，让粒子在t=0时刻由C点进入第一象限，且恰能通过x轴上F点，且OF=

OC，求交变磁场的磁感应强度B₀的大小应满足的条件。