重难点15重力场电场磁场的组合

1．如图所示为一种质谱仪示意图，由加速电场、静电分析器和磁分析器组成.若静电分析器通道中心线的半径为R，通道内均匀辐射电场在中心线处的电场强度大小为E，磁分析器有范围足够大的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外。一质量为m、电荷量为q的粒子从静止开始经加速电场加速后沿中心线通过静电分析器，由P点垂直边界进入磁分析器，最终打到胶片上的Q点.不计粒子重力，下列说法中正确的是（　　）

A．极板M比极板N电势低
B．加速电场的电压

C．直径

D．若一群粒子从静止开始经过上述过程都落在胶片上同一点，则该群粒子具有相同的电荷量
【答案】B
【详解】
A．因为粒子在加速电场中受到得电场力向右，所以电场线方向向右，则M板为正极，M板的电势高于N板电势，故A错误；
B．在加速电场中，由动能定理得

粒子在静电分析器中做圆周运动，电场力提供向心力，由牛顿第二定律得

解得

故B正确；
C．粒子在磁分析器中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得

解得

P、Q两点间的距离为
eqId20325b1b1d5846c2b5b827d052c61063

故C错误；
D．若一群离子从静止开始经过上述过程都落在胶片上同一点，则粒子做圆周运动的直径相等，根据P、Q的表达式可知，粒子的比荷相等，故D错误。
故选B。

2．在光滑绝缘的水平面上建有如图所示的平面直角坐标系Oxy，在二、三象限的y=L和y=-L区域中，存在平行于y轴且与y轴正向相反的匀强电场；在一、四象限的正方形区域abcd内存在竖直向下的匀强磁场，正方形的边长为2L，坐标原点O为ab边的中点。一质量为m的绝缘不带电小球甲，以速度v₀沿x轴正向做匀速运动，与静止在坐标原点的带正电小球乙发生弹性正碰（碰撞时间很短），乙球的质量为2m，带电量为q，碰撞前后电量保持不变，甲、乙两球均可视为质点，且m、q、L、v₀均为已知，sin53°=0.8，cos53°=0.6。（　　）

A．碰撞后甲球的速度大小为

B．两球碰后，若乙球恰从d点离开磁场则乙球在磁场中的运动时间

C．要使两球再次相碰，磁感应强度必须大于

D．要使两球再次相碰，电场强度和磁感应强度大小必须满足

【答案】ACD
【详解】
A．甲与乙碰撞过程根据动量守恒有

根据机械能守恒有

解得碰撞后甲的速度为

（负号表示向左）
乙的速度为

选项A正确；
B．碰撞后，乙球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，恰从d点离开磁场，则由几何知识得：

解得

根据向心力公式得

解得磁感应强度

设圆心角为

，则

即

则乙球在磁场中的运动时间
eqId4b27b9ae798241b89cd9229383121293

选项B错误；
CD．要使两球再次相碰，乙球应从

边界离开磁场，即圆运动半径必须满足

又

解得

在磁场中运动的时间

乙球进入第二象限的电场做类平抛运动，则
eqId6376b1d06016429aaec98b0a615b1dde

对甲球，设经过时间

与乙球碰撞，发生的位移为

两球再次相碰，需满足

联立以上各式解得

选项CD正确。
故选ACD。
3．如图所示，在x轴上方的空间存在竖直向下的匀强电场，在x轴下方的空间存在垂直于

平面向外的匀强磁场，电场强度、磁感应强度的大小均未知。一质量为m、电荷量为q（

）的粒子从y轴上

处的P点以初速度

垂直y轴向右射出，刚进入磁场时的速度方向与x轴正方向夹角为

。已知粒子恰好能回到y轴上的P点。不计粒子重力。
(1)求匀强电场的电场强度的大小；
(2)求粒子从P点射出到第一次回到P点所经历的时间；
(3)若改变匀强磁场的磁感应强度大小，将粒子在P点以不同初速度

垂直y轴向右射出，要使粒子均能回到y轴上的P点，求匀强磁场的磁感应强度大小。

【答案】(1)

；(2)

；(3)

【详解】
(1)粒子在第一象限的匀强电场中做类平抛运动，运动轨迹如图所示

设粒子水平方向的位移为x，可得

解得

(2)分析可知，要使粒子能回到y轴上的P点，粒子的轨迹应如图所示

粒子刚进入磁场的速度为

粒子在磁场中做匀速圆周运动，设圆半径为R，运动的弧长为S，可得

解得粒子在磁场中运动的时间为
eqIdd46c7861220243f2bd6566073ff4d23a

联立得

(3)分析可知，要使粒子均能回到y轴上的P点，粒子的轨迹应如图所示

设粒子刚进入磁场时的速度方向与x轴正方向夹角为

，则可知

则粒子刚进入磁场时的速度

粒子在磁场中做匀速圆周运动，设圆半径为

，则可知

解得

4．如图，在y＞0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E；在y＜0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场。一个氕核

和一个氘核

先后从y轴上y＝h点以相同的动能射出，速度方向沿x轴正方向。已知

进入磁场时，速度方向与x轴正方向的夹角为60°，并从坐标原点O处第一次射出磁场。

的质量为m，电荷量为q。不计重力。求：
(1)

第一次进入磁场的位置到原点O的距离；
(2)磁场的磁感应强度大小；
(3)

第一次离开磁场的位置到原点O的距离。

【答案】(1)

h；(2)

；(3)

（

－1）h
【详解】
(1)

在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示，在电场中由运动学公式有

s₁＝v₁t₁①
h＝

a₁t₁²②

进入磁场时速度在y轴方向的分量大小为
v₁tan θ₁＝a₁t₁③
联立以上各式得
s₁＝

h④
(2)

在电场中运动时，由牛顿第二定律有
qE＝ma₁⑤
进入磁场时速度的大小为
v＝

⑥
在磁场中运动时由牛顿第二定律有

⑦
由几何关系得
s₁＝2R₁sin θ₁⑧
联立以上各式得
eqId1fab86fd14ed4023a9102c1cabfe0578

⑨
(3)

与

初动能相等

(2m)

v₂²＝

mv₁²⑩

在电场中运动时有
qE＝2ma₂⑪
s₂＝v₂t₂⑫
h＝

a₂t₂²⑬
进入磁场时
v₂tan θ₂＝a₂t₂⑭
v′＝

⑮
qv′B＝2m

⑯
联立以上各式得
s₂＝s₁，θ₂＝θ₁，R₂＝

R₁⑰
所以

第一次离开磁场的出射点在原点左侧，设出射点到入射点的距离为s₂′，由几何关系有
s₂′＝2R₂sin θ₂⑱
联立④⑧⑰⑱式得，

第一次离开磁场时的位置到原点O的距离为
s₂′－s₂＝

(

－1)h⑲
5．如图所示，极板A、B间有

的加速电场，加速电场的右侧有电压可调的偏转电场U₁，且上极板C带正电，S₂O为偏转电场的中线。偏转电场的极板长为

，间距为

。最右侧紧靠偏转电场的是宽度为

的匀强磁场区域，磁感应强度为

（边界上也有磁场）、该磁场上下足够长。现有比荷为

的质子（重力不计），从小孔S₁飘入加速电场，被加速后经S₂沿偏转电场中线飞入偏转电场。已知：

，

。试回答下列问题：
(1)质子飞入偏转电场的初速度v₀；
(2)若偏转电压

，求质子离开磁场时的位置与O点间的距离；
(3)为使质子能进入磁场（即能离开偏转电场），所加偏转电压U₁的最大值；
(4)若保证质子能进入磁场，且从磁场的左边界离开磁场区城，求质子在磁场中运动的最长时间（计算结果保留2位有效数字）。

【答案】(1)

；(2)4cm；(3)

；(4)

【详解】
(1)质子在电场中加速，根据动能定理有

(2)粒子沿虚线进入磁场，洛伦兹力提供向心力

解得半径为
r=2cm
质子在磁场中轨迹为半圆，则距离O点距离为
y=2r=4cm
(3)质子在电场中偏转，运动的距离为间距的一半，根据动能定理可知

在下极板边缘处分解速速得

=37°
解得

(4)经计算得：从极板下边缘进入磁场的质子，会从磁场右边界F离开，不满足题目要求，

故：设此时轨道半径为R，则
R（1+sin

）=3.2
且
Rcos

=2
故
cos

=0.9
即

=26°
故最长时间为

s
6．如图所示，真空中有一个半径

的圆形磁场区域，与x轴相切于坐标原点O，磁感应强度

，方向垂直于纸面向外，在圆形磁场区域的右侧有一水平放置的正对平行金属板M、N，板间距离为

，板长

，板间中线

的反向延长线恰好过磁场圆的圆心

。若在O点处有一粒子源，能均匀的向磁场中各个方向源源不断地发射速率相同、比荷为

且带正电的粒子，粒子的运动轨迹在纸面内。已知一个沿y轴正方向射入磁场的粒子，恰能沿直线

方向射入平行板间。不计重力、阻力及粒子间的相互作用力，求：
（1）粒子入射的速度

的大小；
（2）若已知两平行金属板间电场强度

，则从M、N板右端射出平行板间的粒子数与从O点射入磁场的总粒子的比值

。
（3）若平行板足够长，且在平行板的左端装上一挡板（图中未画出），挡板正中间

处有一小孔，恰能让单个粒子通过，且在两板间加上沿y轴负方向的匀强电场E和垂直

平面向里的匀强磁场

，要使粒子能从两极板间射出。求电场强度E的大小范围。（提示：带电粒子在复合场中的运动可以看成匀速直线运动和匀速圆周运动的合运动）

【答案】（1）

；（2）

；（3）

【详解】
（1）由题意可知，沿y轴正向射入的粒子运动轨迹如解图所示

（2）沿任一方向射入磁场的粒子，其运动轨迹都是半径为r的圆，所有粒子出磁场后都沿x正方向运动。恰能从N板左端射入平行板间的粒子的运动轨迹如解图曲线Ⅰ所示

则

所以从N板左端射入的粒子从O点射出时与y轴的夹角为

；
同理可得，从M板左端射入的粒子从O点射出时与y轴的夹角为

；
所以射入板间的粒子占射入磁场粒子的比例为

能射出电场的粒子其偏移量
eqIda18e58b5cc4d41cb992d784f85f6e9ba

所以恰好有一半粒子射出，得

（3）令

①当

时，有

②当

时，有

粒子以

作匀速圆周运动

若要粒子能射出

，则可得

③当

时，有

粒子以

作匀速圆周运动

若要粒子能射出

，则可得

即

7．如图所示，在直角坐标系内，

射线（O为顶点）与y轴夹角为30°，

与y轴所围区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，

与x轴之间存在匀强电场，方向沿x轴负方向。一个带电粒子经加速电压U加速后，以与

平行的速度从N点进入磁场，

间距为

，带电粒子从

上的某点A（图中未画出）垂直于

离开磁场，从x轴上的某点C（图中未画出）垂直于x轴离开电场，不计粒子的重力。求∶
(1)带电粒子的电性及比荷；
(2)带电粒子在第一象限中的运动时间；
(3)匀强电场的电场强度。

【答案】(1) 正电，

；(2)

；(3)

【详解】
(1)磁场方向垂直纸面向外，粒子垂直于

离开磁场，则所受洛伦兹力在速度方向的右侧，可知粒子带正电画出运动轨迹，由几何关系可得

在磁场中由牛顿第二定律可得

在电场中加速可得

联立式解得

(2)由(1)可得粒子进入磁场时的速度为

此后进入电场，当出射方向和x轴垂直时，可知粒子在x方向的分速度减为零，沿y轴方向可视为做匀速直线运动。垂直

出射时，与竖直方向夹角为60°

在磁场中做匀速圆周运动，运动路径为四分之一圆周，在磁场中的运动时间

从

上的出射点到O点的距离为

则在电场中的运动时间为

在第一象限中运动的总时间为
eqId96d767586bd54b17bd59d95c087d977d

(3)在x方向上做匀减速运动

垂直出射，x方向速度恰好减到0

联立可得

8．如图所示，在xoy平面内，第一象限中有匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向，在x轴的下方有匀强磁场，方向垂直于纸面向里，有一个质量为m，电荷量为q的带负电的粒子（不计重力），从y轴上的P点以初速度

垂直于电场方向进入电场。经电场偏转后，沿着与x轴正方向成

进入磁场，并能垂直于y轴进入第三象限。求：
(1) p点离坐标原点的距离y；
(2)匀强磁场的磁感应强度；
(3)粒子从P点开始到离开磁场所用的时间t。

【答案】（1）

；（2）

；（3）

【详解】
（1）粒子运动轨迹如图所示

电子经过A点的速度大小

电子从P到A过程，由动能定理得

解得

（2）由几何知识可得，电子在磁场中的轨道半径

电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得

解得

（3）电子从P到A的过程，加速度为

时间为

从A到C再到D，由洛伦兹力提供向心力

解得

周期为

由几何知识得：电子在磁场中运动过程速度的偏向角为270°，则电子在磁场中运动的时间为

粒子从P点开始到离开磁场所用的时间t

9．如图所示装置中，区域Ⅰ和Ⅲ中分别有竖直向上和水平向右的匀强电场，电场强度分别为E₁和E₂；Ⅱ区域内有垂直向外的水平匀强磁场，磁感应强度为B。一质量为m、带电量为q的带负电粒子（不计重力）从左边界O点正上方的M点以速度v₀水平射入电场，经水平分界线OP上的A点（图中未画出）与OP成60°角射入Ⅱ区域的磁场，并垂直竖直边界CD进入Ⅲ区域的匀强电场中。求：
(1)粒子在Ⅱ区域匀强磁场中运动的轨道半径；
(2)O、M间的距离；
(3)粒子从M点出发到第二次通过CD边界所经历的时间。

【答案】(1)

；(2)

；(3)

【详解】
(1)粒子到达A点的速度
v=

解得
v=2v_o
又
qvB=

解得
R=

(2)根据牛顿第二定律，有
qE₁=ma₁
又
v_otan60^o=a₁t₁
解得
t₁= eqId335627f38e244b42af04b0d5d7b0ac5f

OM间距
L=

(3)由

得

又
qE₂=ma₂
得
t₃=2

，
因此
t=t₁+t₂+t₃= eqId4cc32786256f4af18c0eff71a8421fb3

10．如图所示，在平面直角坐标系

的第Ⅱ、Ⅲ象限内放置着两个带有等量异种电荷的带电平行板，板间电压为U，间距为

，平板内部存在着垂直于坐标平面向外的匀强场，磁感应强度大小为

；第Ⅰ、Ⅳ象限内存在半径为L的圆形匀强磁场，磁场圆心在

点，磁场方向垂直于坐标平面向里，在第Ⅰ象限内纵坐标

的区域内存在方向沿着y轴负方向的匀强电场。现有一电荷量为

，质量为m的粒子，从

处以水平速度沿x轴正方向射出，恰好从坐标原点O进入磁场，然后从

点射出磁场进入电场区域且恰好未穿出电场。（粒子重力可忽略不计）求：
(1)平行板的上极板带何种电荷，圆形区域内磁场的磁感应强度大小；
(2)第Ⅰ象限

的区域内匀强电场的场强大小；
(3)粒子从

处开始沿x轴正方向运动到再次回到x轴所用时间。

【答案】(1)负电荷，

；(2)

；(3)

【详解】
(1)带电粒子运动示意图如下图所示

由于粒子带正电荷，向右做匀速直线运动，由左于定则知粒子所受洛伦兹力竖直向下，根据受力平衡，粒子所受电场力竖直向上，因此，该平行板中的电场是竖直向上，上极板带负电荷，由平衡条件，得

又有

联立，解得

带电粒子从原点O进入磁场，从

点射出磁场，由几何关系知，做匀速圆周运动的轨迹半径为

在圆形磁场内，有

联立方程，得圆形磁场内磁感应强度为

(2)带电粒子恰好未穿出电场，根据动能定理，可得

将

代入上式，得

(3)在极板间运动的时间为

粒子在圆形磁场中的运动周期

，可得

则在圆形磁场中运动的总时间为

粒子在平行边界电场中向上运动过程，有

联立，可得

在平行边界电场中运动的总时间为

再次回到x轴所用总时间为

11．如图所示，在平面直角坐标系

内，圆形区域半径为

，在

点与

轴相切且关于

轴对称。bc是圆形区域与

轴平行的一条直径，图中虚线是一条过b点的切线，虚线上方有沿

轴负方向的匀强电场，场强大小未知；圆形区域内有垂直

平面向外的匀强磁场；某带正电粒子，质量为

，带电量为

，以速度

从

点垂直

轴进入电场中，然后从b点进入磁场，最后从c点离开磁场。已知a点纵坐标

，带电粒子的重力忽略不计。求：
(1)匀强电场的电场强度

；
(2)匀强磁场的磁感应强度

(3)粒子从

点运动到达

轴的时间。

【答案】(1)

；(2)

；(3)

【详解】
(1)带电粒子在电场中做类平抛运动，设运动时间为t，则

解得

(2)粒子进入磁场时的速度方向与竖直方向夹角的正切值

所以

由半径和速度方向的垂直关系可知，粒子的圆弧轨迹所对应的圆心即是O点，所以粒子做圆周运动的半径

运动速度

由洛仑兹力提供向心力得

解得

(3)粒子的运动过程可分为三段：电场中的类平抛、磁场中的匀速圆周、离开磁场后的匀速直线，运动的总时间
eqId0385bcb60a094232bba3c729f3bd1ecb

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直角三角形区域ABC内存在垂直纸面向里的匀强磁场B₁，线段CO=OB=L，θ=30°；第三象限内存在垂直纸面的匀强磁场B₂（图中未画出），过C点放置着一面与y轴平行的足够大荧光屏CD；第四象限正方形区域OBFE内存在沿x轴正方向的匀强电场。一电子以速度v₀从x轴上P点沿y轴正方向射入磁场，恰以O点为圆心做圆周运动且刚好不从AC边射出磁场；此后电子经第四象限进入第三象限，经过y轴时速度方向与y轴负方向成60°角，最后到达荧光屏时速度方向恰好与荧光屏平行。已知电子的质量为m、电荷量为e，不计电子的重力，求：
(1)P点距O点的距离d；
(2)电子在电场中的运动时间t；
(3)第三象限内的磁感应强度B₂的大小。

【答案】(1)

；(2)

；(3)

或

【详解】
(1)电子在区域

内以

点为圆心做匀速圆周运动，在

点与

相切，其运动轨迹如图：

在

中，根据几何知识有
d=

(2)电子从

点进入电场做类平抛运动，设电子从

边离开且在电场中运动的时间为

，在

方向上有

根据运动学规律有

解得

(3)电子在第三象限运动时速度

做匀速圆周运动有两种情况
①若磁场方向垂直于纸面向里，设其做匀速圆周运动的轨道半径为

，圆心在

，根
据几何知识有

洛伦兹力提供向心力

解得

②若磁场方向垂直于纸面向外，设其做匀速圆周运动的轨道半径为

，圆心为

，根据几何知识有

根据牛顿第二定律有

解得

13．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，等腰三角形ABC区域内左半部分有方向垂直纸面向外磁感应强度大小B₁=1T的匀强磁场，右半部分有方向垂直x轴向下的匀强电场，边界上有磁场或电场。在x轴OA段上的P点（图中未画出）有一粒子源（大小可忽略），能垂直x轴在纸面内以速度v₀（未知）向磁场射人质量m=2.4×10^-7 kg。电荷量q=1×10^-5 C的带正电粒子。粒子源射出的粒子恰好不从磁场的AC边界射出且垂直于y轴射人电场，也恰好不从电场的BC边界射出。已知A、B、C三点的坐标分别为（-3 m，0）、（3 m，0）和（0，4 m），不计粒子受到的重力。求：
(1)P点的坐标和粒子射入磁场的速度大小U₀；
(2)匀强电场的电场强度大小E；
(3)粒子在磁场和电场中运动的总时间t_总。

【答案】(1) （-2.4 m，0）；100m/s；(2)

；(3)

【详解】
(1)粒子在磁场和电场中的运动轨迹如图所示

由几何关系可知

粒子在磁场中运动的轨道半径

所以P点的坐标为（-2.4 m，0）
粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有

解得

(2)粒子在电场中运动时，其运动轨迹恰好与BC相切，由几何关系可知

解得

(3)粒子在磁场中运动

圆周，用时

解得

粒子在电场中沿电场方向做初速度为0的匀加速运动，则

解得

所以粒子在磁场和电场中运动的总时间

14．如图1所示，水平直线MN上方有竖直向下的匀强电场，场强

，MN下方有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B随时间t周期性变化的规律如图2所示，规定垂直纸面向外为磁场正方向，在

时，将一带正电的粒子从电场中的O点处由静止释放，在

时通过MN上的P点进入磁场，经过一段时间后，粒子最终打在足够大的挡板上。已知挡板位于P点左侧且垂直于MN，挡板与P点间的距离为100cm；粒子的比荷

，不计粒子的重力；计算中取

。
(1)求粒子从P点进入磁场时速度的大小；
(2)在

至

时间内，求粒子运动的轨道半径和周期；
(3)求粒子从O点出发运动到挡板所需的时间。

【答案】(1)3×10⁴m/s；(2)20cm；4×10^-5s；(3)1.3×10^-4s。
【详解】
(1)电荷在电场中做匀加速直线运动，则
qE=ma
v₀=at₁
解得

(2)电荷在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力

解得

在t=1×10^-5s至2×10^-5s时间内，B₁=0.15T时，半径

周期

(3)当B₂=0.30T时，半径

周期

故电荷从t=0时刻开始做周期性运动，其运动轨迹如图所示。

从t=0到t₂=4×10^-5s时间内，电荷先沿直线OP运动t₁，再沿大圆轨迹运动

，紧接着沿小圆轨电荷从P点开始的运动周期T=6×10^-5s，且在每一个T内向左沿PM移动s₁=2r₁=40cm，电荷到达挡板前经历了2个完整周期，沿PM运动距离s=2s₁=80cm，最后d-s=20cm内电荷正好运动

垂直撞击挡板。
则电荷从O点出发运动到挡板所需的时间
t_总=t₁+2T+

解得
t_总=1.3×10^-4s
15．人类研究磁场的目的之一是为了通过磁场控制带电粒子的运动，某控制带电粒子运动的仪器原理如图所示，区域PP′M′M内有竖直向下的匀强电场，电场场强为E=1×10³V/m，宽度为d=0.05m，长度为L=0.40m；区域MM′N′N内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B=2.5×10^-2T，长度也为L=0.40m，磁场宽度足够。比荷为

的带正电的粒子以水平初速度从P点射入电场。边界MM′不影响粒子的运动，不计粒子重力。
(1)若带电粒子以水平初速度v₀=8×10⁵m/s从P点射入电场后，求粒子从PP′M′M区域射出的位置；
(2)当带电粒子射入电场的水平初速度为多大时，粒子只进入磁场一次就恰好垂直P′N′边界射出。

【答案】(1) P′下方，0.0125m；(2)

【详解】
(1)假设粒子以水平速度从P点射入电场后，做类平抛运动从M′M边界飞出，由牛顿第二定律可得

竖直方向由位移公式可得

联立解得t=1×10^-6s
水平方向做匀速运动
x=v₀t=0.8m
x=0.8m＞L=0.4m所以假设不成立，粒子从P′M′边射出，假设粒子从P′点下方y处射出

联立可得

=0.0125

(2)同第一问原理可得：粒子在电场中做类平抛运动的水平位移
x=v₀t
即在t=1×10^-6s粒子进入磁场时，垂直边界的速度
v_y=at
设粒子进入磁场时的速度与磁场边界之间的夹角为α，则粒子进入磁场时的速度

在磁场中由牛顿第二定律可得

得

分情况讨论，第一种情况粒子第一次进入磁场后，垂直边界M′N′从磁场射出，如图1所示必须满足

联立解得

得

第二种情况，粒子第一次进入磁场后，垂直边界P′M′从电场射出，如图2所示，必须满足

联立解得

得

16．如图所示，平行金属板MN水平放置，板间距为d，板长为

，板间接有恒定电压，两板间电场可看做匀强电场，且两板外无电场。紧邻金属板右侧有垂直纸面向里的匀强磁场，边界线为CD．线状离子源均匀发射出大量比荷为k的粒子，粒子以相同的速度由板的左侧进入板间，粒子速度方向与板平行，若有50%的粒子能从板间射出，不计粒子间的相互作用及粒子重力。
(1)求两极板所加电压U的大小；
(2)射出的粒子经磁场偏转后能全部回到板间，求磁感应强度B的最小值。

【答案】(1)

；(2)

【详解】
解：(1)粒子在板间做类平抛运动，有

解得

(2)如图所示，设粒子以速度v进入磁场，速度偏转角为

，

则

由几何关系

由以上各式解得

17．如图所示，在平直角坐标系

的第Ⅰ象限内有沿

轴正方向的匀强电场，质量为

、电荷量为

的带电粒子，在

轴上坐标为

的

点，以大小为

的速度沿

轴正方向射入电场，从

轴上坐标为

的

点进入处在第四象限内垂直于坐标平面向里的有界匀强磁场（图中未画出），

为磁场边界上一点。粒子出磁场后速度沿

轴负方向，并经过

轴的位置坐标为

。不计粒子的重力，求：
(1)匀强电场的电场强度

的大小；
(2)匀强磁场的磁感应强度

的大小；
(3)若有界磁场为圆形，且圆与

轴相切于

点，则圆面积多大。

【答案】(1)

；(2)

；(3)

【详解】
(1)粒子在电场中做类平抛运动，则

根据牛顿第二定律有

解得

(2)设粒子从

点进入磁场时的速度为

，则

解得

设

与

轴正方向的夹角为

，则

解得

设粒子在磁场中做圆周运动的半径为

，根据几何关系

解得

根据牛顿第二定律

解得

(2)设粒子从圆形有界磁场的出射点为

点，圆形有界磁场的半径为

，粒子做圆周运动的圆心为

，磁场圆的圆心为

，根据几何关系可知，

将

连线垂直平分，由于

和

均沿竖直方向，即

和

平行。
根据三角形全等可知

因此圆形有界磁场的面积

18．如图所示，xOy坐标平面的第一象限内，下方为匀强电场，上方为匀强磁场B₁，边界如图所示，其中匀强电场E=1000V/m，方向沿y轴正向，大小为B₁=1T的匀强磁场垂直纸面向里，第二象限中存在B₂=2T的匀强磁场，方向垂直纸面向里。现有大量比荷为

=2×10³C/kg的粒子，从x轴上由静止释放，经电场加速后进入B₁区域，最终到达y轴，且所有粒子均垂直穿过y轴。求：
(1)第一象限内匀强电场和匀强磁场B₁的边界曲线应满足的方程；
(2)y轴上y_P=2m处存在P点，经过P点时粒子的最大速度v_m；
(3)能够经过题(2)中P点的所有粒子，其释放点的横坐标满足的条件。

【答案】(1)y=x²；(2)

；(3)y+nx=2，（n=0，1，2………）
【详解】
(1)设边界坐标（x，y）

解得

代入数据可得方程
y=x²
(2)粒子在右边磁场中运动的半径为R₁，在左边磁场中运动的半径为R₂，则

要使过P点的速度最大轨迹如图中1所示

即
y=2，x=

可得

(3)若要粒子能过P点，释放的横坐标为x则轨迹如图中2所示，
即
y+nx=2，（n=0，1，2………）
即满足
x²+nx=2
粒子过P点
19．如图所示，在纸面上的矩形ABCD区域内，对角线BD以上的区域有电场强度大小为E、方向平行于AD向下的匀强电场，对角线BD以下的区域有方向垂直纸面的匀强磁场（图中未画出），AD边长为L、AB边长为2L。一带电粒子以大小为v₀的初速度从A点沿AB方向进入电场，从对角线BD的中点P进入磁场，并从DC边上的M点垂直于DC边离开磁场。不计粒子所受重力。求：
（1）粒子的比荷

；
（2）粒子到达P点时速度v的大小和方向；
（3）磁场的磁感应强度大小B。

【答案】（1）粒子的比荷

为

；
（2）粒子到达P点时速度v的大小为

，速度与水平方向的夹角为

；
（3）磁场的磁感应强度B的大小为

，方向垂直纸面向外。
【分析】
（1）带电粒子进入电场做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为0的匀加速直线运动，到达P点后，水平位移是竖直位移的

倍，抓住这一关系求出粒子的比荷；
（2）在竖直方向上做匀变速运动，根据运动学公式求出竖直方向速度，到P点时速度为

求出速度，方向根据两分速度的关系求出夹角；
（3）作出进入磁场的轨迹图，确定出圆心，根据几何关系得出半径，根据洛伦兹力提供向心力，通过半径公式，求出磁感应强度B的大小，根据洛伦兹力的方向确定出磁场的方向。
【详解】
（1）粒子的运动轨迹如图所示

设粒子在电场中从

点运动到

点的时间为

，粒子沿

方向做匀速直线运动，有

粒子在电场中运动的加速度大小为

粒子沿

方向做初速度为零的匀加速直线运动，有

解得

(2)设粒子到达

点时沿

方向的速度大小为

，有

经分析可知

解得

，
设粒子到达

点时的速度方向与

的夹角为

，有

解得

；
(3)由几何关系可知，粒子在磁场中运动的过程中转过的圆心角为45°，
设粒子在磁场中做圆周运动的半径为

，有

粒子所受洛伦兹力提供其做圆周运动所需的向心力，有

解得

【点睛】
本题重点考查带电粒子在匀强电场中的类平抛和匀强磁场中的匀速圆周运动，以及运用数学知识解决物理问题的能力。
20．如图所示，一个质量为

带电荷量

的带电微粒（不计重力），从贴近左侧板的位置

由静止开始经宽为

，电压为

加速电场加速后经

，从偏转电压为

（未知）、板间距和板长均为

的偏转电场左侧正中间位置水平射入两平行金属板间，偏转电场右侧是区域足够大垂直纸面向里的匀强磁场。
(1)若微粒能射入右侧匀强磁场区域，求

的最大值；
(2)满足(1)条件且

取最大值时，微粒经磁场运动后射出磁场时偏转电场正好反向（

大小不变），微粒恰能经

返回到初始位置

，求磁感应强度

的大小；
(3)求(2)问情景下微粒从

到第一次返回

所需的时间？

【答案】(1)

；(2)

；(3)

【详解】
(1)经电场加速

偏转电场作类平抛

(2)要能返回

，则磁场中的圆周的圆心必在偏转电场中心线的延长线上，又

最大时偏转电场飞出时的偏转角为45°
所以

，

又

所以

(3)微粒从

经偏转电场类平抛从下极板边缘进入磁场，从上极板边缘返回电场，经类平抛逆过程回到

，依题意有

21．如图所示，在xoy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内存在电场强度大小E=10V/m、方向沿x轴负方向的匀强电场；在第Ⅱ、Ⅲ象限内存在磁感应强度大小B=1T、方向垂直xoy平面向外的匀强磁场。一个比荷

的带正电粒子在x轴上横坐标x=0.08m处的P点以v₀=16m/s的初速度沿y轴正方向开始运动，不计带电粒子所受的重力。求：
(1)带电粒子开始运动后第一次通过y轴时距O点的距离

；
(2)带电粒子运动的周期t。

【答案】(1)y₁= 0.16m；(2)

【详解】
(1)粒子在电场中做类平抛运动，设运动时间为t₁

解得

(2)粒子第一次进入磁场时，沿x轴方向的速度大小为

设粒子进入磁场时的速度方向与y轴的夹角为θ

解得

粒子在磁场中的运动时间为
eqIdc4aaa3a4b27a42399ce333ac6795a7b8

解得

粒子返回电场后经过t₃时间速度大小变为v₀，方向竖直向上，根据对称性，t₃=t₁
带电粒子运动的周期t

22．如图所示，在平面直角坐标系xoy的第二象限内有平行于y轴的匀强电场，电场强度大小为E，方向沿y轴负方向。在第一、四象限内有一个半径为R的圆，圆心坐标为（R，0），圆内有方向垂直于xoy平面向里的匀强磁场。一带正电的粒子（不计重力），以速度为v₀从第二象限的P点，沿平行于x轴正方向射入电场，通过坐标原点O进入第四象限，速度方向与x轴正方向成

，最后从Q点平行于y轴离开磁场，已知P点的横坐标为

。求：
（1）带电粒子的比荷

；
（2）圆内磁场的磁感应强度B的大小；
（3）带电粒子从P点进入电场到从Q点射出磁场的总时间。

【答案】（1）

；（2）

；（3）

【详解】
（1）由水平方向匀速直线运动得
2h=v₀t₁
竖直向下的分速度

由竖直方向匀加速直线运动知
v_y=at₁
加速度为

根据以上式解得

（2）粒子进入磁场的速度为v，有

粒子运动轨迹如图所示

由几何关系得，粒子在磁场中作匀速圆周运动的轨道半径为
r=R
由洛伦兹力提供向心力可知

解得

（3）粒子在磁场中运动的时间为

粒子在磁场中运动的周期为

，粒子在电场中运动的时间为

粒子运动的总时间

代入数据得

23．如图所示，平面直角坐标xOy的第一象限内存在着有界匀强磁场和匀强电场直线y=d与y轴相交于P点，磁场分布在x轴与直线y=d之间，方向垂直纸面向里；电场分布在直线y=d上方，电场强度为E，方向竖直向下质量为m、电荷量为q的带正电荷的粒子从坐标原点O垂直磁场方向射入，射入时的速度大小为v₀，方向与x轴正方向成60°，并恰好从P点离开磁场。(不计粒子的重力)
(1)求磁场的磁感应强度大小B；
(2)若将磁感应强度大小变为

，其他条件不变，求∶
①粒子能达到的纵坐标的最大值y_m；
②粒子在第一象限内运动的时间t。

【答案】(1)

；(2) ①

；②

【详解】
(1)粒子磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图

由牛顿第二定律可得

根据粒子在磁场中运动的轨迹，由几何关系可得

联立解得

(2)①磁感应强度大小变为

后，粒子的道半径变为

运动轨迹如图所示

粒子进入电场时速度沿y轴正方向，粒子从进入电场到速度减为0的过程，由动能定理可得

解得

粒子能达到的纵坐标的最大值

解得

②由几何关系可知粒子在第一次磁场内运动的圆心角为

，运动的时间

粒子在电场内先向上减速为零，再向下加速，设进入电场到离开电场运动的时间

，取向上为正，向动量定理可得

解得

粒子从电场进入磁场仍做匀速圆周运动，设运动时间为

，根据对称性可知

粒子在第一象限内运动的时间

解得

24．如图所示，宽度为

两平行竖直边界

间有一水平匀强电场，

右侧有一半径为

的圆形匀强磁场区域，

为圆心，磁场方向垂直纸面向里。一质量为

、电荷量为

的粒子在边界

上的

点由静止释放，经电场加速后，以速度

沿轴线

进入磁场区域，最终从磁场区域边界上

点离开磁场，且

。不计粒子重力。
(1)求匀强电场的电场强度

的大小；
(2)求匀强磁场的磁感应强度

的大小；
(3)若在圆形磁场右侧还存在着另一个矩形磁场区域，其一条边平行于

，磁场方向垂直于纸面所在平面，粒子经过该磁场偏转后恰好又能回到

点，求矩形磁场的最大磁感应强度及对应的最小面积。

【答案】(1)

；(2)

；(3)

；

【详解】
(1)粒子在电场中加速，由动能定理

得

(2)粒子在磁场中做匀速圆周运动，由几何关系得，粒子做圆周运动的半径
R₁＝rtan60°＝

由牛顿第二定律

得

(3)如图，粒子出圆形磁场区域后在dj间做匀速直线运动，在j点进入矩形磁场做圆周运动，图示为符合题意的最小圆半径R₂和对应的最小矩形磁场区域efgh

由几何关系可知

在矩形磁场区域运动的半径

设矩形磁场区域最大磁感应强度为B_m，由

得

最小磁场区域面积
S＝（R₂+ R₂cos30°）×2R₂＝

代入R₂得最小面积

25．如图所示，在xoy平面第Ⅱ象限内有一长

，宽为

的长方形区域，存在方向垂直xoy平面向里、大小

的匀强磁场。一离子源从长方形顶角处沿左边界竖直向上射入磁场，其速度大小从

到

连续变化。在y轴右侧宽度

的区间内存在沿x方向的匀强电场。在这群离子中，以速度为

入射的粒子打在

处，不计重力和粒子间的相互作用。求：
(1)离子比荷

；
(2)这群离子仅经过磁场偏转直接通过y轴上的区间范围；
(3)若经过

处的离子恰能返回y轴，现仅将粒子源水平向右移动0.04m，其它条件不变，求返回y轴的离子的速度大小范围。

【答案】(1)

；(2)

；(3)

至

【详解】
(1)由题意可知

根据洛伦兹力提供向心力

代入数据解得

(2)粒子运动轨迹如图所示

由图根据几何关系可得

经磁场偏转，离子落在y轴的区间范围为

(3)以速度v运动的离子落在y处，有

粒子运动的半径为

根据几何关系有

根据动能定理

联立并代入数据解得

粒子向右移动0.04m后，有

根据几何关系可得

粒子运动半径为

根据

速度为

当半径为

时，可得速度为

可见返回y轴的离子的速度范围为

至

26．图所示，在平面直角坐标系xoy内，第一象限的等腰直角三角形MNP区域内存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，y＜0的区域内存在着沿y轴正方向的匀强电场。一质量为m，电荷量为q的带电粒子从电场中Q（-2h，-h）点以速度v₀水平向右射出，经坐标原点O射入第一象限，最后以垂直于PN的方向射出磁场。已知MN平行于x轴，N点的坐标为（2h，2h），不计粒子的重力，求：
(1)电场强度的大小E和磁感应强度的大小B；
(2)粒子在磁场中运动的时间；
(3)若将磁感应强度大小改为B₁，使得粒子刚好不能从PN射出磁场，求B₁的大小。

【答案】(1)

，

；(2)

；(3)

【详解】
(1)粒子在电场中运动过程，有

，

联立解得

粒子从

点射出时

所以粒子射入磁场时，速度大小

方向垂直

，且从

中点射入。

即轨迹圆心，有几何关系得

由

得

(2)粒子在磁场中的运动的周期

粒子在磁场中的运动时间

(3)如图，当粒子刚好从

边射出时，由几何关系

得

由

得

27．如图所示，在直角坐标系中，在第三象限有一平行x轴放置的平行板电容器，板间电压U=200V。现有一质量m=1.0×10^－¹⁰kg，带电荷量q=＋1.0×10^－⁸C的粒子(不计重力)，从下极板处由静止开始经电场加速后通过上极板上的小孔，垂直x轴从A点进入第二象限的匀强电场中，电场方向水平向右。粒子在电场中从B点与y轴成45°进入第一象限，第一象限中有向外的匀强磁场，粒子随后垂直经过x轴上的C点，已知OC=(2＋2

)m。求：
(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r；
(2)匀强电场场强E的大小；
(3)匀强磁场B的大小。

【答案】(1)

；(2)200V/m；(3)1T
【详解】
(1)粒子的运动轨迹如图所示

设离子在磁场中做匀速圆周运动的圆心为点O＇，由题意可知

，设

，由几何关系可知

解得

(2)设粒子飞出极板的速度为v₀，由动能定理

解得

粒子从A点运动到B点的过程，粒子做类平抛运动

由牛顿第二定律得

解得

(3)洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得

由平抛过程可知

可得

28．在平面坐标系第Ⅰ象限内有沿x轴负方向的匀强电场，虚线PQ为在同一平面内的竖直直线边界，在第Ⅱ、Ⅲ象限内虚线PQ与y轴之间有垂直坐标平面向里的大小为B的匀强磁场。C、D两个水平平行金属板之间的电压为U。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子（不计粒子重力）从靠近D板的S点由静止开始做加速运动，从x轴上

处的A点垂直于x轴射入电场，粒子进入磁场时速度方向与y轴正方向

，不计粒子的重力。要使粒子不从PQ边界射出，求：
(1)粒子运动到A点的速度大小

；
(2)匀强电场的场强大小E；
(3)虚线PQ与y轴之间磁场的最小宽度d。

【答案】(1)

；(2)

；(3)

【详解】
（1）设粒子运动到M点的速度大小为

，由动能定理得

可得粒子运动到A点的速度大小：

（2）设粒子进入磁场的速度为v，粒子在电场中竖直方向做匀速运动，水平方向做匀加速运动：

根据动能定理：

解得匀强电场的场强大小：

将

代入解得：

（3）带电粒子进入磁场中洛伦兹力提供向心力，设圆周运动的半径为r，则有：

当粒子运动的轨迹刚好与边界PQ相切时，粒子不从PQ边界射出，虚线PQ与y轴之间磁场的最小宽度：

解得：

将

代入解得：

29．如图甲所示，空间存在垂直纸面向里的有界匀强磁场区域，磁感应强度大小为

，虚线

、

为其竖直边界，圆弧

为其半圆边界，圆心为

，半径为

，

、

与圆心

共线，

。在边界左侧平行于竖直边界放置一平行板电容器MN，极板N上有一粒子源，可产生比荷为

、带负电、初速度为零的粒子。极板M上有一小孔，粒子源、小孔和

点正对，粒子可通过

点垂直边界

射入磁场区域。现将电容器MN接入如图乙所示的正弦交变电源，粒子在平行极板间加速时间极短，不计粒子间的相互作用及粒子的重力。求：
(1)电压为峰值时进入极板间的粒子在磁场中运动的半径；
(2)粒子在磁场中运动的最短时间及这些粒子从极板N发射的时刻（最短时间保留一位有效数字）。

【答案】(1)2m；(2)

；

或

，（

）
【详解】
(1)电压为峰值时，粒子在电场中加速，由动能定理可得：

粒子垂直进入磁场后做匀速圆周运动，由圆周运动规律可得

解得

(2)过

点做圆弧

的切线

（

为切点），由题意可知，粒子沿以

为弦的圆弧在磁场中运动时所用时间最短，由几何关系可得，轨迹圆的半径为

粒子在磁场中运动所对应的圆心角

设粒子在磁场中运动的最短时间为

，由圆周运动规律可得

解得

运动时间最短时，由圆周运动规律可得

解得

再根据交变电流的表达式

解得在磁场中运动最短时间的粒子的发射时刻为

或

，（

）
30．如图所示，在xOy坐标系中，有垂直坐标平面向里的匀强磁场和沿y轴正向的匀强电场，匀强磁场的磁感应强度为B，电场和磁场的分界线为MN，MN穿过坐标原点和二、四象限，与y轴的夹角为θ＝30°。一个质量为m、带电量为q的带正电粒子，在坐标原点以大小为v₀、方向与x轴正向成θ＝30°的初速度射入磁场，粒子经磁场偏转进入电场后，恰好能到达x轴。不计粒子的重力，求：
（1）匀强电场的电场强度大小；
（2）粒子从O点射出后到第三次经过边界MN时，粒子运动的时间。