重难点09机械能守恒的三种表达方式

1．我国羽毛球运动员林丹是羽毛球史上第一位集奥运会、世锦赛、世界杯、苏迪曼杯、汤姆斯杯、亚运会、亚锦赛、全英赛、全运会及多座世界羽联超级系列赛冠军于一身的双圈全满贯选手，被誉为中国羽毛球一哥如图所示是林丹在某次羽毛球比赛中跃起击球的动作，击球过程中由静止竖直向上跳起假设林丹与球拍重心上升的高度为h，在最高点将羽毛球以原来的速度大小v₀斜向上击回已知林丹与球拍总质量为M，羽毛球质量为m，重器力加速度为g，不计空气阻力.则下列说法正确的是（　　）
说明: figure

A．林丹在整个起跳过程中机械能守恒
B．林丹在起跳过程中地面对他的支持力做功为Mgh
C．林丹在起跳过程中林丹与球拍重力势能的增加量为Mgh
D．林丹击球过程中球拍对羽毛球做功为

【答案】C
【详解】
A．林丹起跳过程，由其他形式的能量转化为机械能，故机械能不守恒，故A错误；
B．地面对林丹的支持力不做功，故B错误；
C．由于林丹中心上升的高度为h，故其重力势能增量为Mgh，故C正确；
D．羽毛球被击中的过程中，其速度大小不变，故林丹对羽毛球做功为0，故D错误；
故选C。
2．如图所示，建筑工地上载人升降机用不计质量的细钢绳跨过定滑轮与一电动机相连，通电后电动机带动升降机沿竖直方向先匀加速上升后匀速上升。摩擦及空气阻力均不计。则（　　）
说明: figure

A．升降机匀加速上升过程中，升降机底板对人做的功等于人增加的动能
B．升降机匀加速上升过程中，升降机底板对人做的功等于人增加的机械能
C．升降机匀速上升过程中，升降机底板对人做的功小于人增加的机械能
D．升降机上升的全过程中，升降机拉力做的功大于升降机和人增加的机械能
【答案】B
【详解】
AB．升降机匀加速上升过程中，升降机底板对人做的功等于人增加的动能和重力势能之和，即等于人增加的机械能，选项A错误，B正确；
C．升降机匀速上升过程中，人的动能不变，升降机底板对人做的功等于人增加的机械能，选项C错误；
D．升降机上升的全过程中，升降机拉力做的功等于升降机和人增加的机械能，选项D错误。
故选B。
3．摄制组在某大楼边拍摄武打片，要求特技演员从地面飞到屋顶。如图所示，若特技演员质量m=50kg，导演在某房顶离地H=12m处架设了轮轴（轮与轴有相同的角速度），轮和轴的直径之比为3：2（人和车均视为质点，且轮轴直径远小于H），若轨道车从图中A前进到B，在B处时，速度v=10m/s，绳BO与水平方向的夹角为53°，则由于绕在轮上细钢丝的拉动，使演员由地面从静止开始向上运动。在车从A运动到B的过程中（g取10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6）（　　）
说明: figure

A．演员上升的高度为3m
B．演员最大速度为8m/s
C．以地面为重力势能的零点，演员最大机械能为2400J
D．钢丝在这一过程中对演员做功为4275J
【答案】D
【详解】
A．在车由A到B的过程中，轮和轴转过的角度相等，即
eqId592641b885b94d86b4b7c318af2967b5

h为人上升的高度，代入数据可解得h=4.5m，故A错误；
B．将汽车的速度v沿绳和垂直绳方向正交分解，可得绳子伸长的速度
v₁=vcos53°=6m/s
由于轮轴的角速度相等，设人上升速度为v₃，轮的半径为R，轴的半径为r，则有

代入数据可得v₃=9m/s，即演员最大速度为9m/s，故B错误；
CD．钢丝在这一过程中对人所做的功就是人具有的最大机械能，即

故C错误，D正确。
故选D。
4．如图，劲度系数为100

的轻弹簧下端固定于倾角

的光滑斜面底端，上端连接物块Q，Q同时与平行于斜面的轻绳相连，轻绳跨过定滑轮O与套在光滑竖直杆上的物块P连接，图中O，B两点等高，间距d=0.3m。初始时在外力作用下，P在A点静止不动，A、B间距离h=0.4m，此时轻绳中张力大小为50N。已知P的质量为0.8kg，Q的质量为5kg。现将P由静止释放（不计滑轮大小及摩擦，取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6），下列说法正确的是（）
说明: figure

A．P上升至B点时，弹簧的压缩量为0.2m
B．P上升至B点时，绳拉力等于40N
C．P上升至B点的过程中，Q的加速度先增大后减小
D．P上升至B点的过程中，轻绳拉力对其所做的功为8J
【答案】D
【详解】
A．当物块P在A点时，对于Q，受到轻绳的拉力、重力、斜面的支持力、弹簧的弹力，设Q的质量为m，P的质量为M，设此时弹簧被拉伸x，则

解得

当P上升到B点时，Q下滑了0.2m，则物体被压缩了0.1m，所以A错误；
B．当P上升到B点时，Q的加速度大小是未知的，不能计算出绳子的拉力，所以B错误；
C．当P上升到B点时，P沿绳方向的速度为零，根据运动的合成与分解可知Q的速度也为零，因为P是从A点由静止释放，所以Q也是由静止开始运动的，所以Q先沿斜面向下做加速运动，由于弹簧逐渐恢复原长，所以合力逐渐减小，即加速度逐渐减小，当Q受到的合力为零时，此时速度达到最大值，之后Q做沿斜面向下减速运动，合力方向向上，因为弹簧被压缩量逐渐增大，所以弹簧弹力逐渐增大且方向沿斜面向上，所以合力逐渐增大，即加速度逐渐增大，所以C错误；
D．P上升到B点的过程中，由于初位置和末位置的Q的速度都为零，所以初始状态和末状态的机能都等于弹性势能和重力势能之和，由于弹簧由伸长0.1m变为被压缩0.1m，所以在此过程中，弹簧的弹性势能不变，因此机械能的减少量为重力势能的减少量

根据功能关系得轻绳拉力对P做功为8J。所以D正确。
故选D。
5．如图所示，质量均为m的A、B小球分别用长为L的轻绳悬挂在O点。初始时绳OA与竖直方向成53°，绳OB与竖直方向成37°，重力加速度为g。（

，

）若给A、B球垂直于纸面的水平初速度，使它们可以在各自所在水平面内做匀速圆周运动，则它们运动时所具有的机械能的差值E_A–E_B（　　）
说明: figure

A．0 B．

C．

D．

【答案】B
【详解】
在水平面内做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得

以悬点为参考位置，其机械能为

将角度带入解得

故选B。
6．如图所示，两光滑且平行的固定水平杆位于同一竖直平面内，两静止小球

、

分别穿在两杆上，两球间拴接一竖直轻弹簧，弹簧处于原长状态。现给小球

一个水平向右的初速度

，两杆足够长，则在此后的运动过程中（　　）
说明: figure

A．

、

组成的系统动量不守恒
B．

、

组成的系统机械能守恒
C．弹簧最长时，其弹性势能为 eqId3ff0195d248c4011a3f05a15671c9fdc

D．

的最大速度是

【答案】D
【详解】
A．

、

组成的系统受合外力为零，则系统的动量守恒，选项A错误；
B．

、

及弹簧组成的系统机械能守恒，选项B错误；
C．弹簧最长时，两球共速，则由动量守恒

此时弹性势能为

选项C错误；
D．当弹簧再次回到原长时

的速度最大，则由动量守恒定律

解得

选项D正确。
故选D。
7．物体A和B的质量分别为2kg、3kg，系在一根不计质量不可伸长的细绳两端,绳子跨过固定在倾角为30°的斜面顶端的定滑轮上，开始时把物体B拉到斜面底端,这时物体A离地面的高度为0.8m,如图所示。从静止开始放手让它们运动，斜面光滑足够长，且始终保持静止(g取10m/s²)。下列说法正确的是（）
说明: figure

A．物体A落地的速度为4m/s
B．物体B沿斜面上滑的最大距离为0.96m
C．物体A落地前，斜面受到地面水平向右的摩擦力，大小为30N
D．物体A落地前，斜面受到地面支持力不变，大小为50N
【答案】B
【详解】
A．系统机械能守恒，有

代入数据，得

故A错误；
B．物体B在物体A落地前，沿斜面上滑0.8m；设物体A落地后继续上滑L，根据机械能守恒

代入数据，得

故物体B沿斜面上滑的最大距离为

故B正确；
C．对斜面受力分析，有

代入数据，得

摩擦力方向，水平向右。故C错误；
D．斜面质量未知，故D错误。
故选B。

8．如图所示，两个

圆弧轨道固定在水平地面上，半径R相同，甲轨道由金属凹槽制成，乙轨道由金属圆管制成，均可视为光滑轨道。在两轨道右侧的正上方分别将质量均为m的金属小球A和B由静止释放，小球距离地面的高度分别用h_A和h_B表示，已知重力加速度为g，对于下述说法中正确的是（　　）
说明: figure

A．若h_A＝h_B=2R，则两小球都恰能沿轨道运动到最高点
B．若h_A＝h_B=2R，则两球运动到轨道圆心左侧等高位置时，对轨道的压力大小都为2mg
C．若A小球恰能到达甲轨道最高点，则恰好可以落回圆轨道上
D．若使小球沿轨道运动并从最高点飞出，A小球在h_A≥

，B小球在h_B>2R的任意高度均可
【答案】BD
【详解】
AD．A轨道由金属凹槽制成，小球恰能到达轨道最高点时，在A轨道上最高点由小球重力提供向心力

再由机械能守恒

解得

即小球通过A轨道到达最高点，对应的

, 则当h_A＝2R时，A小球不能达到最高点；而B小球只要满足h_B>2R，则到达最高点的速度均大于零，能沿轨道运动到最高点， A错误，D正确；
B．若h_A＝h_B=2R，则两球运动到轨道圆心左侧等高位置时

由牛顿第二定律

选项B正确；
C若A小球恰能到达甲轨道最高点，则满足

当做平抛运动下落R时的水平位移为
eqId61d9e138651644efa43120d0725c9301

则物体将落到轨道之外，选项C错误；
故选BD。
9．如图所示，一轻绳跨过光滑且可看作为质点的定滑轮，轻绳一端系着质量为M的物块，另一端系着一个质量为m的圆环，圆环套在竖直的光滑细杆上。已知细杆与定滑轮的水平距离为d=0.6m，初始时细线与竖直杆的夹角

=37°，现在由静止释放两物体，下列说法中正确的是（　　）
说明: figure

A．释放之后圆环和物块组成的系统机械能守恒
B．若M=

m，当细线与细杆垂直时，圆环的速度为v=2m/s
C．若M=2m，圆环运动区间的长度为1.6m
D．为保证圆环在初始位置上方运动，物块与圆环的质量之比应该满足

【答案】ABD
【详解】
A．因整个系统不存在摩擦力，故系统的机械能守恒，A正确；
B．当细线与细杆垂直时，物块的速度为0，由M=

m，根据动能定理可得

解得

故B正确；
C．若M=2m时，物块一开始先做向下的加速运动，后做减速运动，圆环先做向上的加速运动，后做减速运动，可知当圆环运动至细线与细杆垂直时，此时

即物块重力势能的减少量等于圆环重力势能的增加量，又恰好此时物块的动能为0，根据机械能守恒可知，此时圆环的速度为0，即为圆环运动的最高点，随后向下运动，可得圆环作用的区间长度为

故C错误；
D．圆环在初始位置上方运动，故可视为圆环在初始位置恰好静止，由此可得

解得

故当满足

时，圆环在初始位置上方运动，D正确；
故选ABD。
10．如图所示，在倾角为30°的固定斜面上，质量为2kg小滑块从a点由静止下滑，到b点时接触轻弹簧。滑块滑至最低点c后，又恰好被弹回到a点。已知ab=2m，bc=0.8m，取g=10m/s²，下列说法正确的是（　　）
说明: figure

A．滑块滑到b点时动能最大
B．弹簧的最大弹性势能为56J
C．从c到b弹簧的弹力对滑块做了28J的功
D．整个过程中滑块和弹簧组成的系统机械能守恒
【答案】CD
【详解】
小滑块从a点由静止下滑，到b点时接触一轻弹簧，滑块滑至最低点c后，又被弹回到a点，说明整个过程中系统的机械能没有损失，所以斜面光滑；
A．当滑块的合力为0时，滑块速度最大，合力为零的位置弹力等于重力沿斜面向下的分量，重物应该在bc之间某一位置，故A错误；
B．从a到c根据功能关系可知，物体重力势能的减少等弹性势能的增加，则
E_P=mg（ab+bc）sin30°=28J
弹簧的最大弹性势能为28J，故B错误；
C．根据功能关系可知，弹簧克服弹力做的功等于弹性势能的增加，所以弹簧的弹力对滑块做了28J的功，故C正确；
D．整个过程中滑块和弹簧组成的系统只有重力或弹力做功，所以系统的机械能守恒，故D正确。
故选CD。
11．如图所示，质量为m的物块A放置在光滑水平桌面上，右侧连接一固定于墙面的水平轻绳，左侧通过一倾斜轻绳跨过光滑轻质定滑轮与一竖直轻弹簧相连。现将质量为m的钩码B挂于弹簧下端，当弹簧处于原长时，将B由静止释放，当B下降到最低点时（未着地），A对水平桌面的压力刚好为零。轻绳不可伸长，弹簧始终在弹性限度内，物块A始终处于静止状态。以下判断正确的是（　　）
说明: figure

A．在B从释放位置运动到最低点的过程中，B的机械能守恒
B．在B从释放位置运动到速度最大的过程中，B克服弹簧弹力做的功等于B机械能的减少量
C．物块A右侧轻绳所受拉力的最大值为

D．物块A左侧轻绳与桌面夹角为30°
【答案】BD
【详解】
A．在B从释放位置运动到最低点的过程中，重力势能减小，动能不变，故机械能减小，故A错误；
B．除重力外，只有弹簧弹力对B做功，故在B从释放位置运动到速度最大的过程中，B克服弹簧弹力做的功等于B机械能的减少量，故B正确；
CD．由题意可知B物体可以在开始位置到最低点之间做简谐振动，根据简谐运动的对称性，在最低点的加速度为竖直向上的g，由牛顿第二定律得：
T－mg=mg
解得在最低点时有弹簧弹力为
T=2mg
对A受力分析可得

物块A左侧轻绳与桌面夹角为

，此时，右侧轻绳所受拉力最大，为

故C错误，D正确。
故选BD。
12．如图所示，竖直平面上固定着两根足够长的平行导槽，质量为

的

形管恰好能在两导槽之间自由滑动（可锁定），质量为

的小球沿水平方向，以初速度

从

形管的一端射入，从另一端射出，已知小球的半径略小于管道半径，不计一切摩擦，下列说法，正确的是（　　）
说明: figure

A．当

形管被锁定时，小球在

点处对轨道的压力大小为

B．当

形管被锁定时，小球从

形管飞出的过程中小球动量变化量的大小为

，方向水平向右
C．当

形管解除锁定时，小球的机械能守恒
D．当

形管解除锁定时，小球运动到

形管圆弧部分的最左端时的水平速度大小为

【答案】AD
【详解】
A．小球在被锁定的

形管内滑动过程中，由动能定理得

解得

小球动量变化量为

在

点由牛顿第二定律得

解得

根据牛顿第三定律得，小球在

点处对轨道的压力大小为

；A正确，B错误；
CD．当

形管解除锁定时，小球会对

形管做功，小球的机械能不守恒，在水平方向上，系统合外力为零，小球运动到

形管圆弧部分的最左端时，由动量守恒定律得

解得

C错误，D正确。
故选AD。
13．一根足够长的圆管倾斜固定在地面上，与水平面倾角

，管内有一劲度系数为

轻质弹簧，弹簧上下端分别连有质量可以忽略的活塞和质量为

的光滑小球（小球直径略小于管径），已知活塞与管壁间的最大静摩擦力

，弹簧从自然长度开始伸长

的过程中平均弹力为

，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，

。当弹簧处于自然长度时由静止释放小球，在小球第一次运动到最低点的过程中，下列说法不正确的是（）
说明: figure

A．当小球运动到最低点时，弹簧的弹性势能为

B．小球先做加速度减小的加速运动，再做加速度增大的减速运动直到静止
C．弹簧的最大伸长量为

D．活塞克服摩擦力做功大小为

【答案】BCD
【详解】
小球运动过程分析：小球开始向下运动的过程中弹簧逐渐变长，弹簧弹力变大，开始时重力沿管的分力大于弹簧的弹力，小球沿管向下做加速运动，加速度随弹簧长度增大而变小，当弹簧的弹力大于重力沿管的分力时，小球开始做减速运动，加速度随弹簧长度的增大而变大，小球做加速度增大的减速运动，当弹簧的弹力等于活塞受到的摩擦力时，活塞开始运动，弹簧不再增长。
AC．当小球运动到最低点时，弹簧最大伸长量为

解得

此时，弹簧的弹性势能为

故A正确，不符合题意，C错误，符合题意；
B．由小球运动过程可知，小球先做加速度减小的加速运动，再做加速度增大的减速运动，最后直到活塞开始运动，小球、弹簧、活塞不会静止，故B错误，符合题意；
D．小球沿管下滑0.15m时，有

小球继续下降过程中，弹簧长度不变，所以重力和摩擦力做功，有

活塞克服摩擦力做功大小为

联立方程解得

故D错误，符合题意。
故选BCD。
14．直角形轻杆可绕着O点为轴在竖直平面内无摩擦地自由转动，连接A球的短杆长为l，A球质量为2m，连接B球的长杆长为2l，B球质量为m。开始时，短杆竖直，长杆水平，两球处于静止状态，如图所示。现由静止释放，下列说法正确的是（）
说明: figure

A．在向下摆动90^o的过程中，B球机械能增加，A球机械能减小
B．在向下摆动180^o的过程中，杆对A球做的功为

C．在摆动过程中B球的最大速度为 eqIdc9ff0966c3b3467393d2f4f279827819

D．两球刚好可以在竖直平面内做完整的圆周运动
【答案】ABC
【详解】
A．在向下摆动90^o的过程中，对于轻杆、A球和B球整个系统，角速度相同，机械能守恒，有

解得

A球机械能增加了

A正确；
B．在向下摆动180^o的过程中，对于轻杆、A球和B球整个系统，角速度相同，机械能守恒，有

解得

对A球，由动能定理得

解得

B正确；
C．在向下摆动90^o的过程中，B球机械能增加，其中其重力势能减少，动能增加，但是继续摆动时，其重力势能开始增加，设继续摆动

时，速度最大，对系统，从开始摆动有

当

时，速度最大，最大为
eqIdc9ff0966c3b3467393d2f4f279827819

C正确；
D．由系统机械能守恒得B球转到最高点时，速度为零，之后由于在A球的重力下再顺时针转动，据此重复，所以无法在竖直平面内做完整的圆周运动。D错误。
故选ABC。
15．如图所示，钉子A、B相距

，处于同一高度。细线的一端系有质量为M的小物块、另一端终过A固定于B。质量m=5kg的小球固定在细线上C点，B、C间的线长为

。用力F坚直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC与水平方向的夹角为

。撤去F后，小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零，然后向下运动。忽略一切摩擦，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
说明: figure

A．撤去F后，小球做变速直线运动
B．物块的质量M=6kg
C．撤去F的瞬间，小球的加速度为g
D．小球向下运动到最低点时，物块M所受的拉力大小为

mg
【答案】BD
【详解】
A．撤去F后，小球将以B点为圆心，BC间距离为半径做圆周运动，故A错误；
B．小球运动到与A、B相同高度过程中，小球上升高度为

物块下降高度为

整个过程系统机械能守恒，则有

得

则物块的质量
M=6kg
故B正确；
C．撤去F的瞬间，小球受力如图所示
说明: figure

小球加速度大小为

故C错误；
D．根据机械能守恒定律可知，小球向下运动到最低点即为小球回到起始点，设此时AC方向拉力为T，由牛顿第二定律得，对物块

对小球

根据牛顿第三定律可知

解得

故D正确。
故选BD。
16．如图所示，跨过同一高度处的光滑定滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B，A套在光滑水平杆上，B被托在紧挨滑轮处，细线与水平杆的夹角为30^°，定滑轮离水平杆的高度h，不计空气阻力。当B由静止释放后，以下说法正确是（　　）
说明: figure

A．B物体到最低点前，A速度始终大于B的速度
B．B物体到最低点前，A速度始终小于B的速度
C．A物体最大速度大小为

D．A物体最大速度大小为

【答案】AC
【详解】
AB．将A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，沿绳子方向上的分速度等于B的速度大小，有
v_Acosθ=v_B
则B物体到最低点前，A速度始终大于B的速度，选项A正确，B错误；
CD．A、B组成的系统机械能守恒，当A到达滑轮最下端时，A的速率最大，此时B的速率为零．根据系统机械能守恒有

代入数据解得

选项C正确，D错误。
故选AC。
17．如图所示，左侧为一个固定在水平桌面上的半径为R的半球形碗，碗口直径AB水平，O点为球心，碗的内表面及碗口光滑．右侧是一个足够长的固定光滑斜面，一根不可伸长的轻质细绳跨过碗口及竖直固定的轻质光滑定滑轮，细绳两端分别系有可视为质点的小球m₁和物块m₂，且m₁>m₂．开始时m₁恰在A点，m₂在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接m₁、m₂的细绳与斜面平行且恰好伸直，C点是圆心O的正下方。当m₁由静止释放开始运动，则下列说法中正确的是（　　）
说明: figure

A．在m₁从A点运动到C点的过程中，m₁与m₂组成的系统机械能守恒
B．当m₁运动到C点时，m₁的速率是m₂速率的

倍
C．m₁不可能沿碗面上升到B点
D．m₂沿斜面上滑过程中，地面对斜面的支持力始终保持恒定
【答案】ACD
【详解】
A．在

从A点运动到C点的过程中，

与

组成的系统只有重力做功，系统的机械能守恒，故A正确；
B．设小球

到达最低点C时

，

，的速度大小分别为

、

，由运动的合成分解得

故B错误；
C．在

从A点运动到C点的过程中，对

、

组成的系统由机械能守恒定律得

结合

，解得

若

运动到C点时绳断开，至少需要有

的速度

才能沿碗面上升到B点，现由于

上升的过程中绳子对它做负功，所以

不可能沿碗面上升到B点，故C正确；
D．

沿斜面上滑过程中，

对斜面的压力是一定的，斜面的受力情况不变，由平衡条件可知地面对斜面的支持力始终保持恒定。故D正确。
故选ACD。
18．如图所示，一个半径为

的半球形的碗固定在桌面上，碗口水平，

点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的．左侧是一个足够长的固定光滑斜面，斜面倾角45°。一根不可伸长的轻质细线跨在碗口上，线的两端分别系有可视为质点的小球

和物块

，且m₁=2m₂。开始时m₁恰在

点，

在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接

、

的细线与斜面平行且恰好伸直，

点是圆心

的正下方。当m₁由静止释放开始运动，则下列说法中正确的是（　　）
说明: figure

A．在

沿碗面下降过程中，

与

组成的系统机械能守恒
B．当

运动到

点时，物块

的速率是

C．

能够沿碗面上升到

点
D．

沿斜面上滑过程中，地面对斜面的支持力始终保持恒定
【答案】ABD
【详解】
A．在

从A点运动到C点的过程中，

与

组成的系统只有重力做功，系统的机械能守恒，故A正确；
B．设小球

到达最低点C时，

、

的速度大小分别为

、

，由运动的合成分解得

则

对

、

组成的系统由机械能守恒定律得

解得

选项B正确；
C．若

运动到C点时绳断开，至少需要有

的速度

才能沿碗面上升到B点，现由于

上升的过程中绳子对它做负功，所以

不可能沿碗面上升到B点。故C错误。
D．

沿斜面上滑过程中，

对斜面的压力是一定的，斜面的受力情况不变，由平衡条件可知地面对斜面的支持力始终保持恒定。故D正确。
故选ABD。
19．如图所示，小物块套在固定竖直杆上，用轻绳连接后跨过小定滑轮与小球相连，开始时物块与定滑轮等高。已知小球质量是物块质量的2倍，杆与滑轮间的距离为d，重力加速度为g，绳及杆足够长，不计一切摩擦。现将物块由静止释放，在物块向下运动的过程中，下列说法正确的的是（　　）
说明: figure

A．刚释放时物块的加速度为0
B．物块重力的功率先增大后减小
C．物块下降的最大距离为

D．物块速度最大时，绳子的拉力一定小于物块的重力
【答案】BC
【详解】
A．刚开始释放时，物块水平方向受力平衡，竖直方向只受重力，根据牛顿第二定律可知其加速度为

，故A错误；
B．刚释放时物块的速度为零，小球重力的功率为零。物块下降到最低点时小球的速度为零，小球重力的功率又为零，所以小球重力的功率先增大后减小，故B正确；
C．物块下降的最大距离为

，物块的质量为

。根据系统机械能守恒定律，有

解得

故C正确；
D．物块的合力为零时速度最大，则绳子拉力的竖直向上的分力一定大于物块的重力，所以绳子的拉力一定大于物块的重力，故D错误。
故选BC。
20．两根固定直杆组成

字形，如图所示，两杆夹角为30°，其中

杆竖直，

杆光滑。轻弹簧的一端固定在

点，另一端连接质量为

的小球套在

杆上，某时刻，小球从静止开始自

点沿杆下滑，到达

点时弹簧恢复原长，越过

点后继续下滑。已知

垂直于

，

垂直于

，

，弹簧原长为

，

取

。则以下说法正确的是（　　）
说明: figure

A．小球沿杆下滑过程中，在

点弹簧的弹性势能最小
B．小球从

点运动到

点的过程中，机械能守恒
C．小球达到

点时，速度为

D．小球达到

点时，重力的瞬时功率为

【答案】AC
【详解】
A．小球沿杆下滑过程中，到达M点时弹簧恢复原长，其他位置弹簧都有形变，所以在M点弹簧的弹性势能最小，故A正确；
B．小球从F点运动到N点的过程中，弹簧对小球要做功，其机械能不守恒，故B错误；
C．在F点和N点弹簧的形变量相等，弹簧的弹性势能相等。对于小球与弹簧组成的系统，由于只有重力和弹力做功，所以系统的机械能守恒，小球从F点运动到N点的过程中，根据系统的机械能守恒得

根据几何关系可知

联立解得
v_N=3m/s
故C正确；
D．小球达到N点时，重力的瞬时功率为

故D错误。
故选AC。
21．如图所示，在竖直平面内，一内壁光滑、半径为

的四分之一细圆管

与水平面

平滑连接于

点，

的右侧平滑连接倾斜光滑轨道

，轨道

和光滑圆轨道

在

点相切，

竖直，

点是圆的最高点。一质量为

的小球压缩轻弹簧到

点锁定，解除锁定后小球进入圆管（小球的直径略小于细圆管的直径），在

点与细圆管上管壁有

的相互作用力。已知

的长度为

，

轨道的长度为

、圆轨道

的半径为

，小球与

轨道的动摩擦因数为0.5，倾斜光滑轨道

的斜面倾角为

，重力加速度为

，

、

。
（1）求小球压缩到

点时弹簧的弹性势能；
（2）改变小球的质量，将小球压缩到

点锁定，解除锁定后小球从

点水平飞出，恰好击中

点。求小球运动到

点的速度大小和改变后滑块的质量。
说明: figure

【答案】（1）

；（2）

；

【详解】
(1)对小球在

点受力分析，由牛顿第二定律得

小球从

点到

点，由机械能守恒定律得

解得小球压缩到

点时弹簧的弹性势能

(2)设小球改变后的质量为

，

点与

点的竖直距离为

，由几何关系得

小球从

到

做平抛运动，设小球经过

点的速度为

、经过的时间为

，由平抛运动的公式有

，

联立方程解得

对小球从

到

点，由能量守恒定律得

联立方程解得

22．将传感器安装在蹦极运动员身上，可以测量出运动员在不同时刻下落的高度及速度，如图甲所示。运动员及所携带装备的总质量为

，弹性绳原长为

。运动员从蹦极台自由下落，根据传感器测到的数据，得到如图乙所示的速度—位移图像。（

取

）
(1)运动员下落过程中受到的空气阻力是否能忽略不计？写出你的理由。
(2)运动员下落过程中最大动能是多少？指出该位置运动员受力的特点。
(3)简述运动员下落过程中的运动情况。
(4)运动员下落过程中动能最大时和落到最低点时，绳的弹性势能分别是多少？
说明: figure

【答案】(1)可以忽，理由见解析；(2)

，合力为零；(3)见解析；(4)

，

【详解】
(1)空气阻力可以忽略。
假设运动不受空气阻力，则下落

的过程为自由落体运动，根据自由落体运动公式得

与图乙中得到的数据相同，假设成立。
(2)下落

时运动员动能最大，为

该位置运动员受到的合力为零。
(3)运动员下落过程中，

做自由落体运动，

做加速度减少的加速运动；

做加速度增加的减速运动。
(4)根据机械能守恒定律，速度最大时

根据机械能守恒定律，在最低点有

23．滑板运动是一项惊险刺激的运动，深受青少年的喜爱。图中ABCD为滑板的运动轨道，AB和CD是两段光滑的圆弧，水平段BC的长度L=5m。一运动员从P点以v₀=6m/s的初速度下滑，经BC后冲上CD轨道，达到Q点时速度减为零。已知运动员连同滑板的质量m=70kg，h=2m，H=3m，g取10m/s²。求：
（1）运动员第一次经过B点和C点的速度v_B、v_C；
（2）滑板与BC之间的动摩擦因数μ；
（3）运动员最后静止的位置与B点之间的距离x。
说明: figure

【答案】（1）8.72m/s ，7.75m/s；（2）0.16；（3）3.75m
【详解】
（1）选经过BC的水平面为零势能面，P到B的过程中，机械能守恒

解出

C到Q的过程中，机械能守恒

解出

（2）B到C的过程中，由运动学公式

得到

运动员连同滑板，受到三个力的作用，如图
说明: figure

牛顿第二定律

解出

（3）两侧圆弧形轨道光滑，所以运动员最终停在水平轨道上。运动员在BC轨道上的往返过程中，总是在做减速运动，加速度大小恒为1.6m/s²，设BC轨道上往返的总路程为s，由运动学公式

得到

推理，因

故运动员最终停下的位置离B点

24．如图所示，一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O₁、O₂和质量m_B=m的小球B连接，另一端与套在光滑直杆上质量m_A=m的小物块A连接，已知直杆两端固定，与两定滑轮在同一竖直平面内，开始使小物块静止在直杆的C点，此时轻绳与水平面的夹角θ=30°，直杆与定滑轮O₁、O₂的竖直距离为L，重力加速度为g，设直杆足够长，小球B运动过程中不会与直杆相碰。现将小物块从C点由静止释放，试求：
(1)小物块从C点刚运动到的D点时，轻绳与杆的夹角α=53⁰，求该过程B下落的高度h及小物块A在D点时其速度v_A的大小；
(2)运动过程中小物块A的最大速度v_m？（已知：sin53°=0.8，cos53°=0.6）
说明: figure

【答案】(1)

L；

；(2)

【详解】
(1) 小物块从C点刚运动到的D点时，小物块A与小球B的速度关系为

小球B下降的高度为

小物块A与小球B组成的系统机械能守恒，则有

联立方程，解得

(2)当小物块A运动到O₁正下方时，A的速度达到最大，此时小球的速度刚好为零，此时小球B下降的高度为

根据机械能守恒定律，可得

解得

25．如图所示，水平地面上左侧有一质量为m_C=2kg的四分之一光滑圆弧斜槽C，斜槽末端切线水平，右侧有一质量为m_B=3kg的带挡板P的木板B，木板上表面水平且光滑，木板与地面的动摩擦因数为μ=0.25，斜槽末端和木板左端平滑过渡但不粘连。某时刻一质量为m_A=lkg的可视为质点的光滑小球A从斜槽项端静止滚下，重力加速度为g=10m/s²，求：
(1)若光滑圆弧斜槽C不固定，圆弧半径为R=3m，且不计斜槽C与地面的摩擦，求小球滚动到斜槽末端时斜槽的动能；
(2)若斜槽C固定在地面上，小球从斜槽末端滚上木板左端时的速度为v₀=lm/s，小球滚上木板上的同时，外界给木板施加大小为v₀=lm/s的水平向右初速度，并且同时分别在小球上和木板上施加水平向右的恒力F₁与F₂，且F₁=F₂=5N。当小球运动到木板右端时(与挡板碰前的瞬间) ，木板的速度刚好减为零，之后小球与木板的挡板发生第1次相碰，以后会发生多次磁撞。已知小球与挡板的碰撞都是弹性碰撞且碰撞时间极短，小球始终在木板上运动。求：
①小球与挡板第1次碰撞后的瞬间，木板的速度大小；
②小球与挡板第1次碰撞后至第2020次碰撞后瞬间的过程中F₁与F₂做功之和。
说明: figure

【答案】(1)

；(2) ①

，②

【详解】
(1)设小球滚动到斜槽末端时，

与

的速度大小分别为

、

，

与

水平方向动量守恒，则

与

系统机械能守恒，则

解得斜槽动能

(2) ①小球滚到木板上后，小球与木板的加速度大小分别为

与

，则有

木板开始运动到速度第一次减为零时用时为

，则有

小球第一次与挡板碰前瞬间速度为

另设第一次碰完后小球与木板的速度分别为

、

，

与

动量守恒，则

与

系统动能不变，则

联立解得

②由题可知，第一次碰撞后，小球以

沿木板向左匀减速运动再反向匀加速，木板以

向右匀减速运动，木板速度再次减为零的时间

小球的速度

此时，小球的位移

木板的位移

即小球、木板第二次相碰前瞬间的速度与第一次相碰前瞬间的速度相同，以后小球、木板重复前面的运动过程；则第一次碰撞与第2020次碰撞后瞬间，小球与木板总位移相同，都为

则此过程

与

做功之和

联立解得

26．如图所示，质量M＝1kg的长木板静止在水平地面上，右端固定一轻质微型弹簧，用质量为m＝0.5 kg的物块压缩弹簧并固定，此时弹簧的弹性势能为6 J，木板右端距离竖直墙L＝34 cm。某时刻释放弹簧，使得物块和木板瞬间获得一定的速度，之后木板与竖直墙发生弹性碰撞，碰撞时间极短。已知木板和地面间的动摩擦因数μ₁＝0.1，物块和木板间的动摩擦因数μ₂＝0.3，重力加速度g取10m/s²，运动过程中物块始终在木板上。求：
(1)释放弹簧后的瞬间物块和木板的速度大小；
(2)把物块看作质点，不考虑弹簧的长度，则木板的最小长度约为多少；（结果保留2位小数）
(3)木板停止运动时，其右端距离竖直墙多远。（结果保留2位小数）
说明: figure

【答案】(1)

；(2)1.75m；(3)1.91m
【详解】
(1)设弹簧释放的瞬间木板和物块的速度分别为

，

，由于系统在水平方向上所受合力为零，由动量守恒和能量守恒定律知

由以上两式解得

(2)释放弹簧后，设木板运动到竖直墙时的速度大小为v，运动的时间为

，则

解得

设在

时间内物块的加速度大小为a，位移为大小x，

时刻速度大小为

，由

得

时刻物块的速度大于木板的速度，所以物块继续以加速度a减速，设

时刻之后木板的加速度为

，有

得

故

后木板做匀速运动，设经过

物块的速度等于木板的速度，则

解得

设在

时间内木板和物块的位移分别为

和

，于是

所以木板的最小长度为

(3)物块和木板达到共同速度后一起减速，设加速度为

，位移为

解得

木板停止运动时，其右端距离竖直墙

27．如图所示，长为L＝0.64 m的细线一端固定在O点，另一端系一可视为质点的质量m＝1 kg的小球。拿起小球将细线拉直从细线与水平方向成θ＝30°的位置无初速度释放，小球运动到O点正下方P点时细线恰好被断开，小球做平抛运动，然后恰好从M点沿切线进入固定在水平面上的光滑圆弧轨道MNE。已知P点相对圆弧轨道最低点N的高度H＝1 m，M、N两点间的高度差为h＝0.55 m。重力加速度g取10 m/s²，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力。求：
(1)细线能承受的最大弹力；
(2)圆弧轨道MN的半径。
说明: figure

【答案】(1)

；(2)

【详解】
(1)小球释放后，细线松弛，小球做自由落体运动，由机械能守恒定律

小球下落L后细线拉直，开始做圆周运动，沿切线方向的速度大小为

小球做圆周运动到P点过程中，机械能守恒，有

联立解得

在P点，细线拉断，恰好达到最大承受力，设此力大小为F，则

解得

(2)小球由P到M点做平抛运动有

设到达M点时竖直分速度为

，则

设到达M点时速度方向与水平面的夹角为

，则

解得

显然圆弧轨道对应的圆心角也为37°角

解得

28．目前，滑板运动受到青少年的追捧。如图是某滑板运动员在一次表演时的一部分赛道在竖直平面内的示意图，赛道G的左侧光滑，FG为圆弧赛道，半径R=9.0m，G为最低点并与水平赛道CD位于同一水平面，AB、EF平台的高度都为h=1.8m。C、D、G处平滑连接。滑板a和b的质量均为m=5 kg，运动员质量为M=45kg。表演开始，运动员站在滑板b上，先让滑板a从B点静止下滑，随后运动员与b板一起从B点静止下滑。滑上CD赛道后，运动员从b板跳到同方向运动的a板上，与a板一起以6.9 m/s的速度从D点沿DE赛道上滑后冲出赛道，落在FG赛道的P点，沿赛道滑行，经过G点时，运动员受到的支持力F_N=661.25N。（滑板和运动员的所有运动都在同一竖直平面内，计算时滑板和运动员都看作质点，取g=10m/s²）
(1)滑到G点时，运动员的速度是多大？
(2)若滑板与赛道G的右侧间的动摩擦因数为

（式中L为离G端的距离），则滑板最终停在离G点多远处？
(3)从表演开始到运动员滑至G的过程中，系统的机械能改变了多少？
说明: figure

【答案】(1)

；(2)

；(3)

（系统机械能增加）
【详解】
(1)在G点，运动员和滑板一起做圆周运动

解得

(2)滑板与赛道间的摩擦力是线性变化的

由动能定理得

解得

(3)设滑板由B点静止下滑到CD赛道后速度为

，由机械能守恒定律有

解得

运动员与滑板一起由B点静止下滑到CD赛道后，速度也为

，运动员由滑板b跳到滑板a，设蹬离滑板b时的水平速度为

，运动员落到滑板a后，与滑板a共同运动的速度为

由动量守恒定律

解得

设运动员离开滑板b后，滑板b的速度为

，有

可算出

有

b板将在两个平台之间来回运动，机械能不变．
系统的机械能变化了

（系统机械能增加）
29．如图所示，竖直面内固定一倾角为α=30°的足够长光滑斜面，其上端滑轮的顶端与一个固定的半径R=1m的光滑圆弧轨道最高点M在同－水平线上，圆弧轨道的圆心角θ=60°，圆心O与圆弧最低点C的连线竖直。可视为质点的A、B两球质量分别为m_A=1kg，m_B=3kg，用足够长的跨过滑轮及M点的不可伸长的细绳相连，A球的另一侧与一固定在斜面底端挡板处的弹簧相连，弹簧的劲度系数k=10N/m。起初用手托住B球在M点，细绳恰好伸直但无拉力，不计一切摩擦及滑轮质量，斜面上的细绳、弹簧与斜面平行，之后无初速度释放B球且细绳始终绷紧，g=10m/s²，求：
(1)初始状态弹簧的形变量；
(2)B球到达圆弧轨道最低点时，弹簧的形变量及A、B两球速度的比值；
(3)B球到达圆弧轨道最低点时，A球的速度大小。
说明: figure

【答案】(1)0.5m；(2)伸长0.5m，

；(3)2m/s
【详解】
(1)对A的初始状态进行受力分析可得

解得初始状态弹簧的压缩量
x₁=0.5m
(2)由几何关系可得B球到达圆弧轨道最低点时，A球沿斜面上升的距离
x=R=1m
此时弹簧的伸长量为
x₂=x-x₁=0.5m
由于A、B两球是用不可伸长的细绳相连，所以B到达圆弧轨道最低点时，A、B两球的速度满足

解得

(3)由于
x₁=x₂
所以初末状态弹簧的弹性势能相等
△E_弹=0
由弹簧及A、B两球组成的系统机械能守恒定律可得

解得
v_A=2m/s
30．如图所示，倾角为θ=53°的光滑斜面底端固定一劲度系数为100N/m的轻弹簧，弹簧上端连接质量为5kg的物块Q，Q与平行斜面的轻绳相连，轻绳跨过轻质光滑定滑轮O与套在光滑竖直杆上的质量为0.8kg的物块P连接，图中O、B两点等高，间距d=0.3m。初始时在外力作用下，P在A点静止不动，A、B间距离h=0.4m，此时轻绳中张力大小为50N。现将P由静止释放，取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：
(1)P上升至B点时的速度大小；
(2)P上升至B点的过程中，Q克服轻绳拉力做的功。
说明: figure

【答案】(1)

；(2)8J
【详解】
(1)在外力作用下，P在A点静止不动时，假设弹簧伸长量为x₁，
对于物块Q有
T=m_Qgsinθ十kx₁
代人数据解得
x₁=0.1m
P上升至B点时，P与Q的速度关系为
v_Q=v_pcos90°=0
物块Q下降距离为
Δx=OA-OB=0.5m-0.3m=0.2m
即弹簧压缩
x₂=0.2m-0.1m=0.1m
弹簀的形变量不变，因此弹性势能不变，对物块P、Q及弹簧，根据能量守恒有

解得

(2)P上升至B点的过程中，由于弹簧对Q所做的功为0，对Q由动能定理得
m_Qgx₂sin53°-W=0
可得
W=m_Qgx₂sin53°=8J

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重难点09机械能守恒的三种表达方式

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