重难点08简洁的动能定理

1．有两条雪道平行建造，左侧相同而右侧有差异，一条雪道的右侧水平，另一条的右侧是斜坡。某滑雪者保持一定姿势坐在雪橇上不动，从h₁高处的A点由静止开始沿倾角为θ的雪道下滑，最后停在与A点水平距离为s的水平雪道上。接着改用另一条雪道，还从与A点等高的位置由静止开始下滑，结果能冲上另一条倾角为α的雪道上h₂高处的E点停下。若动摩擦因数处处相同，且不考虑雪橇在路径转折处的能量损失，则（　　）
说明: figure

A．动摩擦因数为tan θ B．动摩擦因数为

C．倾角α一定大于θ D．倾角α可以大于θ
2．如图所示，质量为m的小球，从离地面H高处由静止释放，落到地面，陷入泥中h深处后停止，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　）
说明: figure

A．小球落地时的动能等于mg（H+h）
B．小球克服泥土阻力所做的功等于小球刚落到地面时的动能
C．泥土阻力对小球做的功mg（H+h）
D．小球在泥土中受到的平均阻力大小为mg（1+

）
3．如图所示，质量为

的电动小车（视为质点）在A点以恒定功率启动，并驶上足够长的水平轨道AB，经过一定时间后关闭电动机，然后冲上半径为

的圆环，恰好经过圆环最高点C。回到圆环最低点B后，又沿水平轨道BE进入半径亦为

的圆管最低点E（管的尺寸忽略不计），已知BE长为

，小车在AB、BE段所受阻力为车重的0.25倍，其余部分阻力均忽略不计，则（　　）
说明: figure

A．小车通过C点时对圆环的压力为mg
B．小车能通过圆管的最高点F
C．电动小车输出的机械功率不能小于

D．若仅把圆环和圆管位置互换，小车仍能通过圆环的最高点C
4．如图所示为地铁站用于安全检查的装置，主要由水平传送带和X光透视系统两部分组成，传送过程传送带速度不变。假设乘客把物品轻放在传送带上之后，物品总会先、后经历两个阶段的运动，用v表示传送带速率，用μ表示物品与传送带间的动摩擦因数，则（　　）
说明: figure

A．前阶段，物品可能向传送方向的相反方向运动
B．后阶段，物品受到摩擦力的方向跟传送方向相同
C．v相同时，μ不同的等质量物品与传送带摩擦产生的热量相同
D．μ相同时，若v增大为原来的2倍，则同一物体前阶段的对地位移也增大为原来的2倍
5．在粗糙水平地面上竖直放置一如图所示装置该装置上固定一光滑圆形轨道，总质量为M。一质量为m的小球在圆形轨道最低点A以水平初速度v₀向右运动，恰好能通过圆形轨道最高点B，该装置始终处于静止状态，则在小球由A点到B点的过程中（重力加速度取g），下列说法正确的是（　　）
说明: figure

A．当小球运动与圆心等高处的C点时，装置对地面的摩擦力方向向左
B．当小球运动到B点时，装置对地面的压力大小为Mg+mg
C．当小球在A点时，装置对地面的压力大小为Mg+6mg
D．小球运动到与圆心等高处的C点时，装置对地面的压力大小为Mg+mg
6．质量为m的物体静止在水平面上，用水平力拉物体，运动一段距离后撤去此力，最终物体停止运动。物体运动过程中的动能随位移变化的

图像如图所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
说明: figure

A．水平拉力是物体所受摩擦力的2倍
B．物体与水平面间的动摩擦因数为

C．水平拉力做的功为

D．水平拉力的大小为

7．如图所示，A、B是静止在水平地面上完全相同的两块长木板。A的右端和B的左端相接但不粘连。两板的质量均为m，长度皆为l；C是一质量为

的小物块。现给它一初速度，使它从A板的左端开始向右滑动，恰能滑到B板的右端。已知C与A、B之间的动摩擦因数均为μ。地面与A、B之间的动摩擦因数均为

，取重力加速度g；从小物块C开始运动到最终静止的全过程，下列说法正确的是（　　）
说明: figure

A．木板A、B始终是静止
B．木板B滑行的距离为

C．系统因摩擦产生的总热量为

D．当小物块C滑到木板B的右端时，木板B的速度最大
8．如图所示，水平传送带顺时针传动速率始终为v，在其左端无初速释放一小煤块，小煤块与传送带间的动摩擦因数为μ，若小煤块到达传送带右端时的速率恰好增大到v。下列说法正确的是（　　）

A．小煤块在传送带上运动的时间为

B．小煤块在传送带上留下的痕迹长度为

C．此过程产生的热量为

D．传送带对小煤块做功

9．如图所示，半径为r的半圆弧轨道ABC固定在竖直平面内，直径AC水平，一个质量为m的物块从圆弧轨道A端正上方P点由静止释放，物块刚好从A点无碰撞地进入圆弧轨道并在圆弧AB段做匀速圆周运动，到B点时对轨道的压力大小等于物块重力的2倍，重力加速度为g，不计空气阻力，不计物块的大小，则：（　　）
说明: figure

A．物块在B点的速度为

B．物块的释放位置P距离A点的高度为r
C．物块从A运动到B的时间为

D．物块从A运动到B的过程中克服摩擦力做的功为mgr
10．如图所示，劲度系数为k的竖直轻弹簧的下端固定在水平面上，上端与物块A连接，物块B与物块A之间用一绕过定滑轮O的轻绳连接，B放在固定斜面的上端（用外力控制B）。OA绳竖直，OB绳与倾角为

的足够长的固定斜面平行，且轻绳恰好拉直而无作用力。A、B的质量均为m，A、B均视为质点，重力加速度大小为g，取

，

，不计一切摩擦。现将B由静止释放，B沿斜面下滑，弹簧始终处在弹性限度内。下列说法正确的是（　　）
说明: figure

A．释放B后的瞬间，轻绳的弹力大小为

B．当A的速度最大时，弹簧处于拉伸状态
C．A的最大速度为

D．当B处于最低点时，弹簧处于压缩状态
11．质量为2kg的物块放在粗糙水平面上，在水平拉力的作用下由静止开始运动，物块动能E_k与其发生位移x之间的关系如图所示。已知物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，重力加速度g取10m/s²，则下列说法正确的是（　　）
说明: figure

A．x＝1m时物块的速度大小为2m/s
B．x＝3m时物块的加速度大小为2.5m/s²
C．在前4m位移过程中拉力对物块做的功为25J
D．在前4m位移过程中物块所经历的时间为2.8s
12．如图所示，静置于水平地面的三辆手推车沿一直线排列，质量均为m，人在极短时间内给第一辆车一水平冲量使其运动，当车运动了距离L时与第二辆车相碰，两车以共同速度继续运动了距离L时与第三车相碰，三车以共同速度又运动了距离L时停止。车运动时受到的摩擦阻力恒为车所受重力的k倍，重力加速度为g，若车与车之间仅在碰撞时发生相互作用，碰撞时间很短，忽略空气阻力，求：
(1)整个过程中摩擦阻力所做的总功；
(2)人给第一辆车水平冲量的大小；
(3)第一次碰撞系统功能的损失量。
说明: figure

13．如图所示的装置是由竖直挡板P及两条带状轨道Ⅰ和Ⅱ组成。轨道Ⅰ由光滑轨道

与粗糙直轨道

连接而成，A、B两点间的高度差为

。在轨道

上有一位置C，C点与B点的高度差为H、水平间距为

。光滑轨道Ⅱ由轨道

、半径分别为

、

的半圆形螺旋轨道

和轨道

连接而成，且F点与A点等高。轨道Ⅰ、轨道Ⅱ与光滑水平轨道

在A处衔接，挡板P竖立在轨道

上，轨道上各连接点均为平滑连接。一质量为

的小滑块（小滑块可以看成质点）从C点静止释放，沿轨道Ⅰ下滑，与挡板P碰撞，碰撞后的动能为碰撞前动能的一半，且碰后小滑块既可沿轨道Ⅰ返回，也可沿轨道Ⅱ返回。小滑块与

间的动摩擦因数

。重力加速度

。
（1）若小滑块沿轨道Ⅰ返回，且恰好能到达B点，则H的大小为多少？
（2）若改变直轨道

的倾角，使小滑块在直轨道上的下滑点与B点的水平距离L保持不变，小滑块沿轨道Ⅱ返回（只考虑首次返回），求H的大小范围。
（3）在满足（2）问的条件下，请写出小滑块刚过F点（只考虑首次通过F点）时对轨道的压力大小与H

的关系。

14．如图(a)所示，一质量为m的滑块

可看成质点

沿某斜面顶端A由静止滑下，已知滑块与斜面间的动摩擦因数

和滑块到斜面顶端的距离x的关系如图(b)所示．斜面倾角为

，长为l，有一半径为

的光滑竖直半圆轨道刚好与斜面底端B相接，且直径BC与水平面垂直，假设滑块经过B点时没有能量损失．重力加速度为g，求：
(1)滑块刚释放瞬间的加速度大小；
(2)滑块滑至斜面底端时的速度大小；
(3)滑块滑至半圆轨道的最高点C时，对轨道的压力大小。
说明: figure

15．如图，水平放置做逆时针运动的传送带左侧放置一个半径为R的光滑

圆弧轨道，底端与传送带相切。传送带长也为R。传送带右端接光滑的水平面，水平面上静止放置一质量为3m的小物块B。一质量为m的小物块A从圆弧轨道顶端由静止释放，经过传送带后与B发生碰撞，碰后A以碰前速率的一半反弹。A与B碰撞后马上撤去圆弧轨道。已知物块A与传送带间的动摩擦因数为μ=0.5，取重力加速度为g。求：
(1)物块A与B碰撞前瞬间速度大小；
(2)若传送带速度取值范围为

试讨论传送带速度取不同值时，物块A、B碰撞后传送带对物块A做功的大小。
说明: figure

16．中国第三艘航母003号的建造已经接近尾声，下水指日可待。据报道，该航母将用电磁弹射技术，相比于滑跃式起飞，电磁弹射的加速更均匀且力量可调控。若新型国产航母的起飞跑道由电磁弹射区域和非电磁弹射区域两部分组成。在电磁弹射区域电磁弹射可以给飞机提供恒定的牵引力F₁=1.0×10⁶ N，非电磁弹射区域的长度L₁=90 m。某重型舰载飞机的质量m= 30 t，从跑道末端起飞速度v= 100 m/s，起飞过程喷气发动机可以持续提供F₂=6.3× 10 ⁵N的恒定推力，其所受阻力恒定且所受阻力与其受到的重力大小之比k=0.1。取重力加速度大小g=10 m/s²求：
(1)飞机离开电磁弹射区域的速度大小v₁
(2)起飞跑道总长度L
17．儿童乐园里的弹珠游戏不仅具有娱乐性还可以锻炼儿童的手眼合一能力。某弹珠游戏可简化成如图所示的竖直平面内ABCDEFG透明玻璃轨道，其中C为BCD轨道的最低点，E为DEF管道的最高点，FG为动摩擦因数μ＝0.8的粗糙直轨道，在轨道首端A和末端G处均有一反弹膜，弹珠与其碰撞无能量损失。其余管道和轨道均光滑。各部分轨道在连接处均相切。一质量m＝100g，直径略小于管道内径的弹珠从A点静止滑下，沿轨道ABCDEFG运动并弹回，已知H=0.8m，R=2m，L=0.5m，圆弧轨道BCD和管道EFG的圆心角为120°，g＝10m/s²，求：
(1)弹珠第一次运动到C点时对轨道的压力；
(2)若给小球提供适当的初速度，可以让小球在通过E点时对管道内外壁刚好没有压力，求初速度的大小；
(3)若游戏设置9次通过E点便获得最高分，求要获得最高分，小球在A点初速度的范围。
说明: figure

18．如图所示，质量为m的小木块甲以一定的初速度从O点沿粗糙的水平面向右运动，到P点时与质量为2m的静止的小木块乙相碰，与木块乙碰撞后，木块甲返回到0、P的中点停止，已知两小木块与水平面之间的动摩擦因数均为μ，

，木块甲在O点的初动能为

，重力加速度大小为g。求：
(1)木块甲从O点运动到P点与木块乙碰撞前的时间（可用根式表示）；
(2)木块乙停止的位置距离P点的距离。
说明: figure

19．如图所示，水平面内的导轨与竖直面内的半圆形光滑导轨在B点相切。半圆形导轨的半径为R，一个质量为m的滑块（视为质点）从A点以某一初速度沿导轨向右运动，滑块进入半圆形导轨后通过C点时受到轨道弹力的大小

（g为重力加速度大小）。并恰好落到A点。水平导轨与滑块间的动摩擦因数

。不计空气阻力。求：
(1)滑块通过半圆形导轨的B点时对半圆形导轨的压力大小；
(2)滑块在A点时的动能E_k。
说明: figure

20．如图所示，某物块(可看成质点)从A点沿竖直光滑的

圆弧轨道，由静止开始滑下，圆弧轨道的半径R＝0.25m，末端B点与水平传送带相切，物块由B点滑上粗糙的传送带，若传送带静止，物块滑到传送带的末端C点后做平抛运动，落到水平地面上的D点，已知C点到地面的高度H＝5m，C点到D点的水平距离为x₁＝1 m，g＝10m/s²。求：
(1)物块滑到B点时速度的大小；
(2)物块滑到C点时速度的大小。
说明: figure

21．如图所示，AB为长L₀=2m的粗糙水平轨道，MD为光滑水平轨道，圆O为半径R=0.45m的下端不闭合的竖直光滑圆轨道，它的入口和出口分别与AB和MD在B、M两点水平平滑连接。D点右侧有一宽x₀=0.9m的壕沟，壕沟右侧的水平面EG比轨道MD低h=0.45m。质量m=0.2kg的小车（可视为质点）能在轨道上运动，空气阻力不计，g取10m/s²。
(1)将小车置于D点出发，为使小车能越过壕沟，至少要使小车具有多大的水平初速度？
(2)将小车置于A点静止，用F=1.9N的水平恒力向右拉小车，F作用的距离最大不超过2m，小车在AB轨道上受到的摩擦力恒为f=0.3N，为了使小车通过圆轨道完成圆周运动进入MD轨道后，能够从D点越过壕沟，力F的作用时间应满足什么条件？（本问结果可保留根号）
说明: figure

22．如图甲所示，游乐公园的回环过山车为避免游客因向心加速度过大而难以忍受，竖直面的回环被设计成“雨滴”形而不是圆形。图乙为某兴趣小组设计的回环过山车轨道模型，倾角

的倾斜轨道AB与地面水平轨道BC在B处平滑连接，“雨滴”形曲线轨道CDE左右对称，D为最高点。对于一般曲线上的某点，若存在一个最接近该点附近曲线的圆，则这个圆叫做曲率圆，它的半径叫做该点的曲率半径。图乙中圆1和圆2分别为C、D两点的曲率圆，半径分别为

、

。现将质量

的小滑块（可视为质点）从轨道AB上某点由静止释放，滑块在轨道CDE内侧运动时的向心加速度恰好始终恒为

。已知曲线轨道CDE光滑，其余直轨道与滑块之间的动摩擦因数均为

，BC段的长度

，重力加速度g取

，

。
(1)求滑块在D点时对轨道的压力；
(2)求曲线轨道CDE上高度

的P点的曲率半径；
(3)要使滑块能顺利通过轨道CDE，运动时的向心加速度不超过3g。求滑块在轨道AB上释放点高度H的范围。
说明: figure

23．半径

的

光滑圆弧轨道与水平放置的传送带左边缘相切，传送带长为

，它顺时针转动的速度

，质量为

的小球被长为

的轻质细线悬挂在O点，球的左边缘恰与传送带右端B对齐；细线所能承受的最大拉力为

，质量为

的物块自光滑圆弧的顶端以初速度

的速度开始下滑，运动至B点与质量为

的球发生正碰，在极短的时间内反弹，细绳恰好被拉断。已知物块与传送带间的滑动摩擦因数为

，取重力加速度

。求：
(1)碰撞后瞬间，物块的速度是多大？
(2)物块在传送带上运动的整个过程中，与传送带间摩擦而产生的内能是多少？
说明: figure

24．一平台如图所示，物体A与水平面间的动摩擦因数µ=0.2，右角上固定一定滑轮，在水平面上放着一质量m=1.0kg、大小可忽略的物块A，一轻绳绕过定滑轮，轻绳左端系在物块A上，右端系住物块B，物块B质量M=2.0kg，开始两物体都处于静止状态，绳被拉直，物体A距滑轮4.5m，B到地面的距离h=1m，忽略滑轮质量及其与轴之间的摩擦，g取10m/s²，将A、B无初速释放后，求：
（1）轻绳中的最大拉力；
（2）物体A沿水平面运动的位移。
说明: figure

25．某同学参照过山车情景设计了如下模型光滑的竖直圆轨道半径R=2m，入口的平直轨道AC和出口的平直轨道CD均是粗糙的，质量为m=2kg的小滑块与水平轨道之间的动摩擦因数均为μ=0.5，滑块从A点由静止开始受到水平拉力F=6N的作用，在B点撤去拉力，AB的长度为l=5m，不计空气阻力。（g=10m/s²）
(1)若滑块恰好通过圆轨道的最高点，求滑块沿着出口的平直轨道CD能滑行多远的距离？
(2)要使滑块能进入圆轨道运动且不脱离轨道，求平直轨道BC段的长度范围。
说明: figure

26．如图所示，质量为m=1kg的小物块轻轻放在水平匀速运动的传送带上的P点，随传送带运动到A点后水平抛出，小物块恰好无碰撞的沿圆弧切线从B点进入竖直光滑圆弧轨道下滑。B、C为圆弧的两端点，其连线水平。已知圆弧半径R=1m，圆弧对应圆心角为θ=106°，轨道最低点为O，A点距水平地面的高度h=0.8m。小物块离开C点后恰能无碰撞的沿固定斜面向上运动，上升能到达的最高点为D。物块与传送带间的动摩擦因数为

，传送带的速度恒为5m/s，物块与斜面间的滑动摩擦因数为

。（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）试求：
(1)小物块离开A点的水平初速度v₁；
(2)小物块经过O点时对轨道的压力；
(3)PA间的距离；
(4)物块由C上升到最高点D所需时间。
说明: figure

27．如图所示，光滑圆弧面

与水平面和传送带分别相切于B、C两处，

垂直于

。圆弧所对的圆心角

，

圆弧半径

，足够长的传送带以恒定速率

顺时针转动，传送带

与水平面的夹角

。一质量

的小滑块从A点以

的初速度向B点运动，A、B间的距离

。小滑块与水平面、传送带之间的动摩擦因数均为

。重力加速度

，

。求：
(1)小滑块第一次滑到C点时的速度；
(2)小滑块到达的最高点离C点的距离；
(3)小滑块最终停止运动时距离B点的距离。
说明: figure

28．如图所示，质量m=0.4kg的小物块，放在半径R₁=2m的水平圆盘边缘A处，小物块与圆盘间的动摩擦因数

₁=0.8。圆心角为θ=37°，半径R₂=2.5m的光滑圆弧轨道BC与水平轨道光滑连接于C点，小物块与水平轨道间的动摩擦因数为

₂=0.5，开始圆盘静止，在电动机的带动下绕过圆心O₁的竖直轴缓慢加速转动，某时刻小物块沿纸面水平方向飞出（此时O₁与A连线垂直纸面）恰好沿切线进入圆弧轨道B处，经过圆弧BC进入水平轨道CD，在D处进入圆心为O₂、半径R₃=0.5m的光滑竖直圆轨道，绕过圆轨道后沿水平轨道DF向右运动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，

，

，g取

。求：
(1)圆盘对小物块m做的功；
(2)小物块刚离开圆盘时A、B两点间的水平距离；
(3)假设竖直圆轨道可以左右移动，要使小物块能够通过竖直圆轨道，求竖直圆轨道底端D与圆弧轨道底端C之间的距离范围。
说明: figure

29．如图所示，光滑斜面与半径为R的光滑圆弧轨道平滑连接并固定在竖直面内。小球A、B质量分别为m、βm（β为待定系数）。A球从斜面上某点由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B球相撞，碰撞后A、B球能达到的最大高度均为

R，碰撞中无机械能损失。重力加速度为G。求：
(1)A球释放点到轨道最低点的高度h；
(2)小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度。
说明: figure

30．如图所示，一工件置于光滑水平地面上，其AB段为一半径R=0.5m的光滑圆弧轨道，BC段为一长度L=0.5m的粗糙水平轨道，二者相切于B点，整个轨道位于同一竖直平面内，P点为圆弧轨道上的一确定点。一可视为质点的物块，其质量m=0.2kg，与BC间的动摩擦因数μ=0.4.工件质量M=0.8kg，取g=10m/s²。
（1）若工件固定不动，将物块由P点无初速度释放，滑至C点时恰好静止，求P、C两点间的高度差h；
（2）若工件可以在光滑水平地面自由滑动，将物块由P点无初速度释放，求工件停止运动时相对地面的位移。
说明: figure

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重难点08简洁的动能定理

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