今天的调查
认识的方法是检验事物，然后认识。 不管是严肃的还是无稽之谈，我总是想尝试去理解人的正常行为和事物的正常原理。 你值得关注！
问题
如图所示，质量为 的粒子与质量为 、半径为 、密度均匀的球体的距离。 此时，对上的万有引力为 。 当从球中挖出一个半径为 的小球时，剩下一对的引力为 ，那么 的比值是多少？
登月舱在距月球表面112公里的高度绕月球运行，运行周期为120.5分钟。 已知月球的半径为 m。 尝试估计月球的质量。
宇航员站在行星表面的高处，向水平方向扔一个小球。 一段时间后，球落到行星表面，测量了投掷点和着陆点之间的距离。 如果投掷时的初速度增加到2倍，则投掷点与落地点之间的距离为。 已知两个着陆点在同一水平面上万有引力定律及其应用，行星半径为 ，万有引力常数为 。 求行星的质量。
想法和答案
对于这个问题，当从一个大球体中挖出一个小球体时，虽然剩下的部分具有轴对称的特征，但它不再是球对称了。 当它与有质量的物体相互作用时，它不能简单地被视为粒子。 即使我们可以计算出其余部分的质心位置万有引力定律及其应用，但我们无法利用距质心的距离来计算两者之间的相互作用力，因此必须考虑其他方法。 如果我们填充挖出的部分，令 表示填充的均质实心球对粒子的万有引力，可以直接由万有引力定律得到，其中 是 到均质实心球中心到粒子的距离。粒子。表示去掉小球后，不规则物体对粒子的引力。 由于去除部分对均匀实心球产生了位移，因此可以先计算去除部分对质点的引力，然后根据力叠加原理，用去除部分减去万有引力即可得到。 当球是实心时，挖出的实心小球的质量就是这部分质量对质点的引力
所以
现在
登月舱与月球之间的引力提供了登月舱绕月球做圆周运动所需的向心力。 假设模块的质量为 ，月球的质量为 ，月球的半径为 ，模块与月球表面的距离为 ，重力的大小为 ，模块绕月球表面做圆周运动。月球，所以向心力的大小为
对于任何行星，在不考虑自转的情况下，都有行星本身的半径和行星表面的引力加速度。 一旦我们知道了总和，我们就可以确定行星的质量（或密度）。 本题是通过平抛运动定律确定行星表面的引力加速度，进而求出行星的质量。
扁平抛物线物体在垂直方向做匀加速运动，运动时间由抛物点的高度和行星表面的重力加速度决定。 它在水平方向做匀速直线运动，其水平范围由运动时间和初速度决定。
根据问题的意思画出动作图。 假设投掷点的高度为 ，第一次平投的水平范围为 ，则有。
当初速度增加到2倍时，水平范围也增加到2倍。 也就是说，存在两个联立方程。 假设行星表面的重力加速度为，那么我们有
由万有引力定律和牛顿第二定律，我们可以得到
概括
关于万有引力定律的适用范围，教科书上并没有严格给出。 通常教学中只说明当r→0时，F→∞不会发生，这进一步说明了该定律只适用于质点或均匀球形物体。 ，并且对于球形物体，它们之间的距离计算为两个球体中心之间的距离。 对于这些情况，仅限于高中阶段对知识的掌握和理解，没有也不可能给出严格的证明。 事实上，平方反比定律的适用对象一定是粒子或均匀球对称物体。 这不仅是万有引力定律，也是我们以后要学习的库仑定律。
利用万有引力定律估算天体质量是万有引力定律应用中的重要问题之一。 应用方法类似。一方面是以行星绕恒星或卫星绕行星做圆周运动为背景，根据万有引力提供向心力。 计算是在确定运动周期、运动半径、中心天体半径等相关量的前提下进行的，如上面问题2所示； 一方面，计算天体质量的依据是，对于任何行星，物体与行星之间的引力等于物体不自转或不考虑自转的重力，即
其中 是行星本身的半径， 是行星表面的重力加速度，如上面问题 3 所示。
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