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1.第二十五届全国中学生物理竞赛复赛理论考试题参考答案及评分标准 1.第二十五届全国中学生物理竞赛复赛理论考试题参考答案 答案 1.14103.1 2.51.0610(51.0510也给出) 3.34T T 2.参考解答: 答:1.椭圆的长半轴a等于近地点与远地点距离的一半,即近地点和远地点的矢径长度nr、fr(均指卫星到地心的距离)的算术平均值,即HR (1)将数据代入43.·km (2)椭圆的短半轴b等于近地点与远地点矢径长度nr、fr的算术平均值近地点和远地点的向量半径fr,即HR (1) 将数据代入43. km (2) 椭圆的短半轴b等于近地点和远地点的向量半径nr和fr,即HR (1) 将数据代入43. km
2. 路径长度的几何平均值,即 n fbr r (3) 代入数据可得 41.942 10 kmb (4) 椭圆的偏心率 (5) 代入数据可得 0.7941e (6) 2. 当卫星在 16 小时轨道运行时,nv 和 fv 分别代表其在近地点和远地点的速度。 根据能量守恒定律,卫星在近地点和远地点的能量相等,可得 vv (7) 其中,M 是地球质量,G 是万有引力常数。 由于卫星在近地点和远地点的速度均垂直于卫星与地心连线,根据角动量守恒定律,有 n nf (8) 注意gRGM2 (9) 第25届全国中学生物理竞赛复赛理论试题参考答案及评分标准2
3.由式(7)、式(8)、式(9)可得 rrv (10) rrvv (11) 当卫星沿16小时轨道运行时,根据问题给出的数据,可得 nnrRH ffrRH 将有关数据代入式(11)可得 f1./s (12) 根据问题,在远地点,星上发动机点火,使卫星进行短时间加速,加速度方向与卫星速度方向一致,加速之后长轴方向不变,因此加速结束时,卫星速度垂直于新轨道长轴,卫星将处于新轨道的远地点。因此,新轨道远地点的高度为4ff5.0930 10HH km,但新轨道近地点的高度为2n6.00 10H km。 由式(11)可知卫星在新轨道远地点的速度为f1
4. 2 3 0 vkm/s (13) 卫星动量的增加量等于推力F作用在卫星上的冲量,设发动机点火时间为t,则有 ffmF t vv (14) 将(12)、(13)、(14)中的有关数据代入公式,可得t=21.5 10 s(约2.5分钟) (15) 这比运行周期要小得多。 3. 当卫星沿椭圆轨道运行时,r表示其径向矢量的大小,v表示其速度的大小, 表示径向矢量与速度之间的夹角。则卫星的角动量的大小为 (16) 其中,(17)为卫星径向矢量在单位时间内扫过的面积全国中学生物理竞赛复赛试题,即卫星的面积速度。由于角动量守恒,它是一个常数。 利用远地点的角动量,我们得到(18),因为卫星
5.卫星在轨道上运行一周所扫过的椭圆面积为Sab (19) 所以卫星在轨道运行的周期为ST (20) 第二十五届全国中学生物理竞赛复赛理论考试参考答案及评分标准3 由(18)、(19)、(20)可得 (21) 将有关数据代入45.s(约15小时46分) (22) 注意:注意:本题有多种解法,例如根据开普勒第三定律,两颗卫星绕地球运行的周期T与T0之比的平方等于它们的轨道半长轴a与a0之比的立方,即设0a为卫星在绕地球做圆轨道运行的轨道半径,则得2aaT
6. Rg 代入有关数据可得公式(22)。 4.在月球绕行的圆形轨道上,根据万有引力定律和牛顿运动定律,可得 ()GM mmrrT (23) 其中,mmrrH为卫星绕月球轨道的半径,mM为月球质量。由公式(23)和公式(9)可得 rMMgR T (24) 代入有关数据可得m0。 0 1 2 4MM (25) 三、参考答案: 参考答案: 图中所示为足球击中球门横梁的情况(图形所在平面垂直于横梁轴线)。图中,B表示横梁横截面,O1表示横梁轴线;OO表示通过横梁轴线并垂直于轴线的水平线;A表示足球,O2为其圆心;O为足球击中横梁的点
7、球与横梁的碰撞点。碰撞点O的位置用直线O1OO2与水平线11OO的夹角表示。设球撞击横梁时球心的速度为v0,方向垂直于横梁,沿水平方向。球撞击横梁后的速度为v,方向如图所示用与水平方向的夹角表示。以碰撞点O为原点,构造直角坐标系Oxy,y轴与O2OO1重合。 表示碰撞前速度方向与y轴的夹角, 表示碰撞后速度方向与y轴(负方向)的夹角。足球从横梁上弹起后落在哪里,取决于反弹后速度的方向,也就是夹角的大小。 Fx 表示横梁对足球作用力的 x 方向分量的大小,Fy 表示横梁对足球作用力的 y 方向分量的大小,t 表示横梁与足球相互作用的时间,m 表示足球的质量。我们有 x0 vv (1) yy0
8、yFtmm vv (2) 其中 0 xv, 0yv, xv 和 yv 分别为碰撞前后球心速度在坐标系 Oxy 上的分量。根据摩擦定律,xyFF (3) 由(1)、(2)和(3)可知 0 (4) 根据恢复系数的定义可得 (5) 因为 0 (6) (7) 由(4)、(5)、(6)和(7)可知 (8) 从图中可知 (9) 如果足球从横梁上弹起,并落在球门线以内,则应有 90 (10) 在临界情况下,如果足球被弹起并恰好落在球门线上,则应有 90。由(9)可知
9、tan 90tan (11) 因为足球是水平射到横梁上的,所以0, (12) 这是足球弹起落在球门线上时,入射点位置所满足的方程。 解(12)可得 (13) 代入有关数据可得tan1.6 (14) 即58 (15) 现在要求球落在球门线以内,所以要求58 (16) 四、参考答案: 参考答案: 1.当阀门F关闭时,设M和B中封闭的氢气摩尔数为n1,当B处的温度为T时,压力表上显示的压强为p,由理想气体状态方程可知B和M中氢气的摩尔数分别为 (1) (2) 其中R为普适气体常数。由于1M1
10、B1nnn(3)解方程(1)、(2)、(3)可得T(4)或RVpVV T(5)(4)可知T1与p1呈线性相关,方程中的系数与仪器结构有关。理论上至少要测量两个已知温度下的压力,并画出T1对p1的图才能确定系数。由于题中给出了室温T0下的压力p0,因此至少要测量另一个已知温度下的压力,才能定量确定T与p的关系。2、若蒸气压温度计测得上限温度vT时氢气液化,则当B处的温度为vTT时,B、M、E中气态氢的摩尔数之和应小于所充入的氢气摩尔数。由理想气体状态方程可知
11. 充入的氢气总摩尔数 (6) 假设液态氢上方的气态氢仍可看作理想气体,则B中气态氢的摩尔数为 VnRT (7) 式(7)中,已忽略B中液态氢所占的微小体积,由于其余蒸气压温度计仍为室温,因此氢气的摩尔数为 ME2 M2 (8) 根据要求,有 (9) 解(6)、(7)、(8)、(9)可得 (10) 代入有关数据可得 (11) 五、答案及评分标准: 答案及评分标准: 159. (3分) 2(2分) 2 如图所示(15分。 表示当前
12.每条线段计3分,其中线段端点横坐标占1分,线段长度占1分,线段纵坐标占1分)第二十五届全国中学生物理竞赛复赛理论考试参考答案及评分标准7 六、参考答案:参考答案:如果电流衰减,说明线圈有电阻,设它的电阻为R,那么电流在一年t内通过线圈因热而损失的能量为RtIE2 (1)式中S表示铅的电阻率,S表示引线的截面积,l表示引线的长度,则SlR (2)电流是由引线中的导电电子的定向运动形成的。 设导电电子的平均速度为v,根据电流的定义,IS nev (3)一年内电流没有变化,并不代表电流不会变化,但这种变化不会超过电流检测仪表的精度I,也就是电流
13.变化量的上限为mA0.1I。由于传导电子的数密度n不变,电流的减小是电子平均速度减小的结果。一年内,平均速度由v变为vv,对应的电流变化量为IneS v (4)传导电子平均速度的减小,使传导电子的平均动能减小。导线中所有传导电子的平均动能为l Snmv v (5)由于II,所以vv,省略了v的平方项。由(3)解v,由(4)解v,代入(5)可得2klmI IEne S (6)1 2 3 4 x/s I/nev O 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 0.83 1.17 2.00 2.83 4.00 第二十五届全国中学生
14、生物物理竞赛复赛理论考试参考答案及评分标准 8 导线中所有传导电子所减少的平均动能即为一年内因受热而损失的能量即EEk (7) 解(1)、(2)、(6)、(7)式得 2m Ine It (8) 其中 73 6 52 43 6 0 0s = 3 . 1 51 0 st (9) 将有关数据代入(8)式得 261.4 10 m (10) 所以本实验中只能判定到m104 . 126 电阻率为0的结论(11) 七、 参考答案 参考答案: 根据斯特藩-玻尔兹曼定律,太阳表面单位面积每单位时间辐射的能量为4ssWT (1) 其中,为斯特藩-玻尔兹曼常数,Ts为太阳表面绝对温度。设太阳半径为
15、Rs,则单位时间内整个太阳表面向外辐射的能量为W(2)单位时间内通过任意以太阳为中心的球面的能量为sP。设太阳到地球的距离为rse,考虑到地球周围大气的吸收,地面附近半径为R的透镜接收到的太阳辐射能量为(3)薄凸透镜会把这个能量聚焦到放在它后焦面上的薄圆盘上,这会被薄圆盘全部吸收。另一方面,因为薄圆盘也会向外辐射能量。设圆盘半径为DR,温度为DT。注意薄圆盘有两个表面,所以单位时间内圆盘辐射出去的能量为PRT(4)显然,当DPP(5)即圆盘单位时间内接收到的能量等于单位时间辐射出去的能量时,圆盘就达到稳定状态了。
16.状态时,其温度达到最高。由(1)、(2)、(3)、(4)、(5)可得 RTTr R (6) 第25届全国中学生物理竞赛复赛理论考试参考答案及评分标准 9 根据题意,薄盘半径为太阳像半径sR的两倍,即D2sRR。由透镜成像公式可知 (7) 于是有 (8) 将(8)代入(6)可得 (9) 代入已知数据,注意到ss(273.15)TtK,TD=1.4103K (10) 即3.151.1·10CtT (11) 八、参考答案: 参考答案:1 根据爱因斯坦的质能关系,3H和3He
17,结合能差为 (1) 代入数据可得 763. 0BMeV (2) 23He的两个质子之间存在库仑斥力,而3H的两个质子之间没有库仑斥力。所以3H与3He的结合能差主要来自于它们的库仑能量差。 根据题意,质子的半径为Nr全国中学生物理竞赛复赛试题,则3He核内两个质子之间的库仑斥力为 (3) 设这个库仑能等于上面的结合能差CEB,则 (4) 代入数据可得 N0.944r fm (5) 3 粗略地说,原子核内每个核子所占空间的体积为3N(2)r。 根据这个简单模型,含有 A 个核子的原子核的体积约为 33NN(2) (6) 另一方面,当 A 很大时,我们有 343VR (7) 从 (6) 和 (7),我们可以得到 R 和 A 的关系是 1/31/31/ Ar A (8) 其中系数为 1/ (9) 将 (5) 代入 (9) 得出 17. 10rfm (10) 从 (8) 和 (10),可以计算出 Pb208 的半径为 Pb6.93fmR (11)