由于反射界面不同，两束光反射时的相位突变也不同。 两者的区别在于，下面我们通过实验来测量一下。 一开始观察到干涉场中心为亮点，干涉场最外缘为亮环，共有20条亮条纹（包括中心亮点） 。 现在慢慢调整一只手臂的反光板，让反光板沿着手臂的方向平移。 观察干涉条纹的明暗变化，发现同心环条纹变得越来越稀疏。 干涉场中心的明暗变化了23个周期，干涉场最外侧的明暗变化了20个周期。 （本题中，将条纹数视为精确的计数值，干涉仪两臂的长度为cm量级。） （1）求相位突变之差。  (2) 移动镜子后，可以观察到多少条干涉亮条纹（考虑到中心亮点）？ (3)利用该干涉仪测量某种透明液体的折射率。 将平坦的石英槽插入迈克尔逊干涉仪的臂中，使石英槽的表面垂直于臂的方向。 然后调整石英槽与臂之间的角度，改变5.00； 在角度变化过程中，干涉场中心的明暗变化了10个周期。 现在将待测液体注入石英罐中，如图1b所示。 再次调整石英槽的倾斜角度，使其恢复与臂垂直。 在此过程中，干涉场中心的明暗变化了17个周期。 已知照明光的波长为633nm，石英槽内壁之间的距离为t 2.00mm，空气的折射率为1.00。O62物理好资源网(原物理ok网)

求出待测液体的折射率。 第 14 页，共 2 页。 (40 分) 长直弹簧由涂有绝缘漆的磷青铜丝绕成圈。 它可以看作是一个横截面半径为 的长直螺线管。 弹簧的原始长度Nrk为(llr)，刚度系数为。 假设在弹簧变形过程中，螺线管始终可以视为均匀密绕，其横截面半径的变化可以忽略不计 0 0 。 忽略边缘效应、漏磁和重力。 真空磁导率为。 0 (1) 使用恒流源，通过软导线向螺线管通恒定电流，并在供电期间利用外力防止弹簧变形。 外力慢慢撤去后，I0弹簧达到新的平衡位置（但仍能被压缩或拉伸），此时的长度记为。 lp(i) 尝试推导出一个可解的代数方程（但不一定要解），求出通电弹簧在其平衡位置附近发生小变形时的等效弹性lp系数k（表达式可以包含参数）； leffp(ii ) 求出能够达到上述平衡状态的取值范围（表达式不得包含参数）。 Il0p (2) 改变(1)中的通电条件。 如果先将弹簧螺线管的两端接上一根零电阻的软理想导线，形成一个回路，并假设弹簧螺线管的电阻也为零，回路初始加载一个电流，并外接一个力用于防止弹簧在任何地方变形。 外力慢慢撤去后，弹簧达到新的平衡位置（但仍能被压缩或拉伸），此时的长度记为。O62物理好资源网(原物理ok网)

试求当通电弹簧在其平衡位置附近发生小变形时的等效弹性系数l★ l★ppk★。 eff 3. (40 分) 如图 3a 所示，质量和半径均质的实心球从倾角为 的无限长固定斜面发射。 已知球中心的初速度垂直于斜面，球的大小为 ，旋转角速度为零。 为了方便描述实心球随后的运动，在斜面参考系中建立如图3a所示的平面直角坐标系，其中轴线沿斜面向下，轴线垂直于斜面。平面且向上。 假设球与斜面的碰撞是弹性的，碰撞时间极短，且垂直于斜面的球的速度在碰撞前后保持不变。 进一步假设斜面足够粗糙，使得球与斜面碰撞时，球与斜面之间的摩擦力足够大，接触点不存在相对滑动。 已知球绕其直径的转动惯量为I 2 mR2，求5 (1) 球第一次碰撞前的中心速度和球的自转角速度； (2) 第一次碰撞后球的中心速度和旋转角速度； (3) 第一次碰撞后球中心沿轴线的速度和球旋转的角速度； (4) 前一次碰撞期间斜坡对球施加的总冲量。 4.（60点）如图4a所示，一根长度和质量均匀的刚性细棒，一端有一个2am的小孔，嵌套在一个半径为（是圆环上的点）的水平环的点上。环固定点）； 点RPPP（与杆一起）随环绕环中心轴以恒定角速度旋转； 同时，杆可以无摩擦地绕P点旋转，并且杆和环的半径始终在内部同一垂直平面内； 杆与垂直OP之间的角度为。O62物理好资源网(原物理ok网)

重力加速度的大小为。 gS (1) 将所有类型的保守力所做的功与势能的变化联系起来。 尝试写出杆的机械能表达式（表达式可能包含）；  (2)在S参考系中，导出杆处于平衡构型时需要满足的条件；  (3) 在S参考系中，对于问题(2)得到的结果，用图解法分析在I0π/2中可能出现的杆的平衡构型的个数, II π / 2   π  , III 和 IV 象限，以及对应的 , , 各参数之间需要满足的条件 π  < 3π/2 3π/2   2π a R ; 第 24 页，共 4 页 (4) 在 S 参考系中，象限绘图 画出杆上相对于 P 点产生力矩的力示意图（对于分布力，只需示意性地画出与贡献于 P) 点的时刻，看看是否可能达到平衡。 配置来测试（3）中的分析结果； (5) 尝试讨论(3)中确定的杆的每个平衡配置的稳定性。 km 5. (40 分) 两个相同的理想轻弹簧，其刚度系数和自然长度均为 0。两个弹簧通过一个小质量球连接。O62物理好资源网(原物理ok网)

将弹簧 1 的自由端悬挂在天花板上，整个系统将自然下垂并初始静止。 众所周知，一旦两个弹簧中的任何一个被拉伸到临界毫克长度（临界长度大于，这里代表重力加速度的大小），就会断裂。 gk实验发现，如果慢慢拉动下弹簧2的下端，上弹簧1就会被拉断。 如果拉得太快，很有可能把下面的弹簧2折断。 (1) 假设弹簧2下端所受的力随时间变化，写出弹簧1的长度和弹簧1的加速度满足的运动方程F(t)x (t)x (t)11球。 (2) 在简单模型中，假设 F(t) 与时间的关系为 t0t = 0F(t) tt  0t 0 其中 是一个大于零的常数，其尺寸影响应力加载的速度。 求弹簧 1 和 2 在该力作用下在 ( ) 时刻的长度 tx (t) 和 1 x (t)。 2 (3) 确定某个弹簧首先断裂的时刻。 根据(2)的结果，t0(i)发现弹簧1所对应的取值范围必须首先被破坏； (ii)为 不一定是导致弹簧1首先断裂的值。 分析弹簧1首先断裂瞬间需要满足的条件（t0可包含在表达式中）； (iii) 找出弹簧2先断裂的可能性。 属性和价值之间的关系，并用这种关系来解释所讨论的实验现象。O62物理好资源网(原物理ok网)

 (4) 给定临界长度为，保证弹簧2首先断裂，尝试确定需要满足的关系。 有没有可能两个弹簧同时坏了？ 如果是这样，L尝试找到一个令人满意的关系表达式，使两个弹簧同时达到临界长度。 L 6.（60分）当金属内部存在温度梯度时，两端都会产生电动势。 这种效应应用于热电偶温度计等。为了分析这种现象，现建立一个简单的经典玩具模型，如图-6a所示：一块厚度为 的金属板，沿 方向无限延伸，位于n(x)x2Ly zL  x  LT(x)z 区域； 而xL区域是真空，电场为零。 将金属内的导电电子视为在空间均匀的正电荷背景 E 0E (x)E 0 上移动的经典理想气体。 当没有温度梯度时，电中性金属内部的电子完全均匀分布，其数密度为； 当存在温度梯度时，金属内部的温度是 n0、T(x)T +T(x) 和 T(x)  T 的函数。 在（局部）热平衡状态下，金属中的电子数密度 x –Lx L00 将稍微偏离 , 。 沿着金属的方向也会有一个非常小的电场。 金属表面内部也具有较小的表面电荷密度和。O62物理好资源网(原物理ok网)

已知电子质量为 ，其所带电荷为 xE (x)x L mxee0 ( )。 忽略重力，玻尔兹曼常数为。 (1)颗粒数密度的不均匀会引起颗粒的扩散。 如果一段时间内通过平面上某一区域的粒子数为 n(x)yz j dAdt ，则称为粒子流密度。 粒子扩散流密度 jj (x) 满足菲克定律 xxx34 页 dj (x) –D n(x)xdx 其中 是扩散系数 DT(x)D cn(x)c 这里 是已知常数。 在平衡状态下，金属内部不应有净电流流动，因此前述的电子扩散流将被内部电场产生的漂移电流所抵消。 为了简单起见，让金属的电阻率是一个与 n(x) 等无关的已知常数。找到金属板内部电场的表达式 T(x)E (x)xd（用 n(x) 表示） )、T(x)、n(x) 和其他常数）。 dx (2) 试从静电场高斯定理推导出E(x)满足的微分方程； 利用(1)的结果消除电场，推导出微分方程x和满足它的边界条件。 真空介电常数为。 （提示：净电荷密度包括正电荷背景） n T (3) 将(2)中的方程线性化，即只保留少量线性项如 、 并求解（解可包括 和）。O62物理好资源网(原物理ok网)

n(x)  (4) 假设金属内部存在温度梯度，即不为零，但电子气（可视为理想气体）在任何地方; 电子 T(x)x 气中的电子受到电场的影响，但厚度为 的薄层中的电子气仍处于宏观力学平衡状态。 尝试推导满足 E (x)dxT(x)x 的微分方程并将其线性化。 然后利用(3)的结果求出T(x)。 x -L x +L (5) 根据(3)和(4)的结果，求金属两端电位差与温度差（和）的比值（即（L ) -U(-L)S 金属系数 ) ST(L) - T(-L) 注：正确分析金属热电现象必须考虑电子的量子效应。 本题的简化经典模型并不适用于实际情况。 7.（40分）在CERN大型强子对撞机上进行了高能铅芯-铅芯碰撞实验。 碰撞后的初始产物可以看作是一个温度非常高的“火球”，其内部的物质主要是由静止质量很小、速度极其接近光速的夸克组成。 本题忽略了物质中除夸克以外的其他成分，将其视为“夸克物质”，将夸克近似视为质点。 除了碰撞时刻之外，夸克之间不存在相互作用。 碰撞过程中粒子数量保持不变。 ，其速度分布是各向同性的。 已知，当温度为时，在任意动量大小区间[p,p + dp]内，夸克粒子在夸克物质中能量的分布比（概率分布密度）Ek T 2 与eB 4πp dp 成正比，其中玻尔泽曼常数或理想气体通用常数被认为是已知量。O62物理好资源网(原物理ok网)

P (1) 在本题的模型近似下，尝试推导夸克物质的状态方程（用压力与平均能量密度的关系表示）。 u (2) 在本题的模型近似下，尝试推导出用压力、粒子数密度和温度之间的关系表示的夸克物​​质的状态方程。 （3）在本题的模型近似下，尝试求夸克物质的恒摩尔热容和热容比（恒压摩尔热容与恒摩尔热容之比）。 (4) 假设铅芯-铅芯碰撞早期产物形成的“火球”近似球形，半径约为3.0×10-15 m，其中夸克物质的温度为约 400 MeV/kB。 随后，“火球”迅速膨胀并冷却下来。 当温度达到约150 MeV/kB时，夸克物质中的夸克开始结合在一起形成质子和中子。 假设“火球”的膨胀和冷却过程可以近似为准静态绝热过程，求质子和中子刚形成时“火球”的半径。 第44页，共39页 第39届全国中学生物理竞赛半决赛参考答案（2022年9月17日9:00-12:00） 1. (1) 迈克尔逊干涉等效于薄膜干涉，且照明光是发散的，光束、镜子和臂是垂直的，因此相当于等斜干涉。 假设起始时两个d臂的光学长度差为，以亮条纹为中心：2π2d + = 2kπ①l 其中 是整数。 总共有 20 条亮条纹，因此对于干涉场最外层的亮条纹： k2π2d cos + 2(k =−19)π②M 式中，为薄膜干涉的最大倾斜角，可得①②：M2π2d (1 − cos  ) 19 =2π③M 当镜子移动时，条纹变得稀疏，表明两臂之间的光程差变小。 假设镜子移动了Δ。O62物理好资源网(原物理ok网)

中心变化： 2π2d = 23 2π④ 最外侧变化： 2π2d cos M 20 =2π⑤ 所以可得：  M 和 d ⑥232 代入③式可得： 2π 202d1 -19=2π⑦2323从此我们得到的：231922D14514533替换为公式：2π222145 + + +2Kπ⑨2Kπ⑨是： 2145 2π + 2π +  2kπ⑩3 所以应该是： 2π⑪32π+2k  k  【注：因为光波函数的周期为2π，（为整数）则认为正确]3m (2) 镜子移动后，中心为亮点，干涉场最外缘为亮条纹。 假设共有亮条纹，则： 2π2(d − d )(1 − co s M ) = (m −1)2π⑫由此可得： m =17⑬n, i (3) 假设液体的折射率，如解题图1a所示。 图中，它们分别是光的入射角和折射角。 根据折射定律，有 sinnq ：L ()2(n OA =+ AC − OB) nt sinsin i t 2 =+ t −sin  −cos i coscos i cos   nn sin2 i   1sin2  ⑭2t=−−  cos icos i   coscos s in2 2nt 1 = −−2t cos 2n 因此，将上述光的路径差与 = 0 时的值进行比较，可得 2 sin L(0) − L() = 2nt1 − 1 −−2 ( 2  t 1 −cos ) = − N⑮nsin2  由于角度比较小，1，所以将上式展开为一个小量，并保留为一阶小量： t −2t(1 −cos) =−N⑯n39届全国中学生物理竞赛复赛，我们得到 2t sin n⑰2t(1 −cos) −N 将问题交给数据 t2.00 mm ,  5.00= , NN 2 =− N1 7 ，代入⑰公式得：n 1.41⑱评分标准：否。 （1）第23题：①②公式各3分，③公式2分，④⑤公式各3分，⑥公式4分， ⑧式2分，⑪式3分； 题（2）5分：⑬公式5分； （3）第12题：公式⑭⑮⑱各4分。O62物理好资源网(原物理ok网)

2. lI (1) (i) 不包括边缘效应和漏磁。 设螺线管长度为 ，通电电流为 ，则管内磁感应强度为  NIB  nI 0①0l 螺线管磁通匝数为 2 22  N πr I NBπr 0②l 螺线管的电感螺线管为   N 2πr 2L 0③Il 弹簧的弹性势能为 12W = k (l − l )④k02 当 I = I0 时，电感器中储存的磁场能量为 2 2 212  N πr IW = LI = 00⑤B022l l考虑一个缓慢而微小的变形过程，记录为该过程中弹簧的微小伸长量（可以是正值或负值，视为无穷小量）。 设弹簧两端加载的维持弹簧平衡的外力为（以拉伸方向为力的正方向），则根据函数原理，F l + A = W + W⑥SkBA 其中是恒流源克服自感电动势所做的功。 根据法拉第电磁感应定律，保持电流=恒定，螺线管所在电流返回S0路径的自感电动势为（与电流方向相反）(LI 0 )U ttA 恒流源克服自感电动势所做的功为 S( LI )2 = =0A UIt =  = −I t I LW⑦S000St 其中 2W = −LIS 0 将式 ④⑤⑦ 代入式 ⑥，并与下式联立 F l = W⑧ 比较可得 2 2 212  N r IWW =+ W + Wk(l =− l ) − 00⑨ 由式 ⑧⑨ 得get 2 2W1  πN r2Fk (l −l ) +0I⑩020l2llF 0 Slow 外力去除后，弹簧到达新平衡位置时的长度； 换句话说，当ll。O62物理好资源网(原物理ok网)

由式⑩可得 pp1  πN 2r 2 2k (l −l ) +0I0⑪p 0。这就是需要满足的代数方程。 pl 如果 ll =+l，对方程 ⑩ 进行小展开，得到 p πN 2r 2 2 F k =− 0 3 I 0 l +keff l =+⑫l p lkl 式中， 为高阶小量，为通电弹簧在平衡长度附近发生小幅度变形时的等效弹性系数。 由式⑪⑫ effp 得 2 2 πN 2r 2 πN r (3l − 2l )020p0 2kk =−II⑬efflp 3 02lp 3 (l0 − lp ) 0 (ii ) 由式⑪得 2kI (2l =−2l )l l⑭02 2 0p pp πN r0 由均值不等式 a + b + c3 abcab 得，当 = 0, = 0, c = 0 时； 当且仅当 ab c 取 == 等号 3 时，我们知道 33I 2  k  2l0  = 8kl0⑮02 2 2 2 πNr  3 27  πNr002 等号仅对应于 l= l 的情况。O62物理好资源网(原物理ok网)

所以 3I 0⑯02 227  πNr0 (2) 忽略边缘效应和漏磁。 由于整个通电回路的电阻为零，当弹簧被拉伸或压缩时，回路的自感电动势为零，这意味着自感磁通保持不变，因此 2 2 πN rLI = LI  = 0I ⑰0 00l0l 其中弹簧长度为 螺线管的自感系数由公式③给出，其相应的电流为； LI2 2πN rL = 00l0，因此电感的磁能为 22(LI )(LI )2 2 2120 00 0 N r IW = LI==l = 00 l⑱B2  N r2l00 从式 ④⑱ 中，系统总能量为 2 2 ★212  N r IWW =+ Wk(l =− l ) + 00 l⑲l 考虑到变形过程缓慢且小，记为系统的微小伸长量过程中的弹簧（可以是正值，也可以是负值，视为无穷小量）。 设弹簧两端加载保持平衡的外力为（以拉伸方向为正方向），则根据函数原理，该过程有FF l = WW，由式⑲给出。 由上式可得 2 2W1  πN r2F k (l −l ) +0I ⑳020l2l0l ★★ F0 外力慢慢撤去后，弹簧达到新平衡位置时的长度。O62物理好资源网(原物理ok网)

这意味着当 ll 时，我们从方程 ⑳ 得到 pp2 21  πN r2k (l  −l ) +0I  0㉑p 。 解为 2 21  πN r2l =l −0I ㉒p 0 2kl 200If ll == +l ，由式⑱可得 F k lk  lpeff 。 因此，通电弹簧在平衡位置附近发生小变形时的等效弹性系数为k★k㉓eff。 评分标准：本题40分。 （1）题26分，其中（i）题21分，公式①②③④各1分，公式⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫各2分39届全国中学生物理竞赛复赛，公式⑬各1分； 第(ii)题5分，公式⑭⑮各2分。 ⑯一级方程式O62物理好资源网(原物理ok网)

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