初中数学课本告诉我们，抛一枚质地均匀的硬币，掷出正面和反面的概率是相等的。因此，人们相信硬币为他们做出的选择一定是公平无私的。很多数学家也做过实验，证明当抛硬币的次数足够多时，掷出正面或反面的概率接近1：1，其中数理统计学的创始人卡尔·皮尔逊就抛过2万多次硬币。
但如果我现在告诉你，抛硬币出现两次正面的概率其实并不相等呢？
双方的概率并不平等
最近，一群无聊的科学家聚在一起，抛了 46 枚不同的硬币 350,757 次，总共耗时约 20 个小时。然后他们发现，硬币掉落后朝上的一面与抛出前最初的一面相同的概率略高，约为 51%。
他们连续抛硬币 20 个小时。（图片来源：Coin Team via）
也就是说，如果你抛硬币，硬币正面朝上，那么它最终落地时正面朝上的概率较大，反之亦然。
他们还发现，有些人在抛硬币时掷出与起始面相同的概率较高，而有些人则更接近理论值，即掷出两面的概率为 50%。他们将研究成果发表在预印本网站 arXiv 上，目前尚未经过同行评审。
显然，这表明特定的抛硬币方式可能会使特定一面朝上的概率更高。
那么，是否可以通过练习，让你在抛硬币时，它总是落在你想要的一面朝上呢？
理论上是的。
数学家佩尔西·迪亚科尼斯在成为美国斯坦福大学数学与统计学教授之前是一名魔术师，他经常研究跟“赌博”有关的数学，比如怎么洗牌、怎么掷骰子，当然还有怎么抛硬币。
斯坦福大学数学家珀西·迪亚科尼斯（Percy ）对纸牌、骰子、轮盘赌等充满热情。（图片来源：）
早在 2007 年，迪亚科尼斯和他的团队就在论文中演示了一种抛硬币装置，该装置可以抛出一枚硬币，并让其落在指定位置，而且在 100% 的情况下，硬币的最终面朝上与起始面相同。
与同事制作的抛硬币装置，抛硬币时能 100% 得到与起始面相同的面（图片来源：et al, 2007）
人类在用手抛硬币的时候也能达到这样的效果，比如有些魔术师可以通过一些技巧来控制抛硬币的结果。
魔术师可以控制抛硬币的结果（来源：SCAM via）
其实只要掌握了原理，多练习，也是可以的，所以大家先把原理学好，然后大家自己在家练习就可以了。
首先我们需要知道在标准情况下，抛到空中的硬币是如何运动的。
忽略空气阻力的影响，当我们把一枚硬币抛向空中时，硬币会沿着一条位于硬币所在平面、与地面平行的“轴”翻转。学过物理的朋友很快就能反应过来，这条“轴”正是硬币旋转的角动量（ ）所在的直线。
（图片来源：via）
（图片来源：via，图：董源）
然后我们用一些简单的高中物理来分析硬币的运动。
假设一枚硬币从手中抛出，抛到距地面高度z0，初速度为vz，t秒后落回手中，则t=vz/(g/2)可由z0+tvz−(g/2)(t)2=z0计算得出。
假设一枚硬币在空中每秒翻转ω次，在从抛出到回到手中的过程中，若硬币翻转的次数为偶数（即2j < ωvz/(g/2) < 2j+1，其中j为整数），那么硬币最终朝上的一面与初始一面相同；若翻转的次数为奇数（即2j+1 < ωvz/(g/2) < 2j+2，其中j为整数），那么朝上的一面与初始一面相反。
（图片来源：via）
所以只要能精确控制硬币的初速度、高度和翻转速度，就能精确控制抛硬币的结果。
如果我们将硬币抛整数次时的速度ω随时间t的变化作图，可以得到许多条双曲线，如下图所示：
（图片来源：et al, 2007）
若硬币的初始面为正面，且翻转的速度与时间（ω，t）落在图中阴影范围内，则最终结果为正面朝上；若速度与时间位于阴影外的空白部分，则结果为反面朝上。
但是阴影部分的面积和空白部分的面积是相等的，得到正面和反面的概率还是1：1，如果出现上面说的偏差怎么办呢？
岁差
上述分析是基于标准情况，即抛出的硬币沿着与地面平行的“轴”翻转，即硬币旋转的角动量矢量与地面平行。
但迪亚科尼斯指出从高出地面3M的位置竖直向上抛出一个小球，这只是特例：现实中，许多人抛出的硬币在空中旋转，其角动量并不平行于地面。
仔细观察就会发现，硬币并没有在空中绕着与地面平行的“轴”翻转（图片来源：声音/视频 via ）
我们可以用以下模型来解释这一点：
（图片来源：et al, 2007）
假设硬币抛出时是正面朝上的，那么硬币所在平面的法线（n）与角动量（M）之间会有一个夹角（ψ）。当硬币的自转轴不平行于地面（即ψ不为90°）时，硬币法线n会绕角动量M转动，这种现象也叫进动（）。
戴康尼斯 () 解释硬币翻转中的进动 (图片来源：via)
如果硬币抛出后，在t时刻落回你的手中，当硬币法线N(t)与垂直于地面的向量K之间的夹角τ(t)的余弦大于0时贝语网校，硬币正面朝上；小于0则硬币正面朝上（初始面为正面）。
对于这个余弦τ(t)从高出地面3M的位置竖直向上抛出一个小球，我们可以使用公式τ(t)=cos2ψ +sin2ψcos(ωNt)来计算，其中ωN是硬币法线绕角动量旋转的角速度。
如果我们将硬币的法向量N(t)穿过空气的区域看作一个球体，在这种运动模式下，法线停留在上半球（正面朝上）的时间大于或等于停留在下半球（背面朝上）的时间。
（图片来源：et al, 2007）
最后，我们可以计算出，如果硬币一开始是正面，那么当硬币落回手中时，正面朝上的概率与ψ的关系如下：
图像是
（图片来源：et al, 2007）
由此我们可以直观的看到，当硬币的初始面为正面时，只有当ψ为直角时，硬币掉落时正面的概率才为1/2，其它情况都大于1/2。
当ψ小于45°时，硬币虽然旋转了，但整个过程并没有真正翻转到另一面。因此，在这种情况下，无论硬币被抛得多高，它最终都会以抛出时的同一面朝上落下——这就是抛硬币魔术师常用的技巧。
魔术师抛出的硬币在空中没有翻转到另一面（图片来源：SCAM via）
当ψ为0°时，硬币甚至可能不会垂直翻转，而是垂直上下移动。
（图片来源：via）
其实这种运动在我们生活中很常见，一个典型的例子就是我们的地球，地球在自转的同时，赤道平面的法线也在绕着一个轴旋转：
地球的自转看起来是不是像一枚翻转的硬币？（图片来源：via）
综上所述，由于很多人抛出的硬币在空中翻转时都有进动，给定硬币的初始面，硬币最后落回手中时正面和反面朝上的概率是不相等的。
但由于大多数人抛硬币的时候并不关注硬币的起始面，因此在起始面随机的前提下，抛硬币的最终结果，正面和反面的概率依然是1：1（证明过程在预印本论文中）。
所以，以后如果你和别人进行抛硬币打赌，可以把上面传授的抛硬币技巧练习一下，以“作弊”；如果别人抛硬币，要求他不要用手接，而是让硬币直接落地，因为这会导致硬币再次弹起，并在空中翻转几下，使结果更加随机。
硬币掉到地上后反弹回来（图片来源：via）
参考链接：
[1]~/PERSI//.pdf
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