师范大学理学院学报 第35卷第10期 2015年10月 文章号：1007-9831 (2015) 10-0041-04 万有引力定律的积分形式及其应用 潘云文 (重庆交通大学河海学院，重庆) 摘要：万有引力定律是建立在粒子理想模型上的，因此在应用于计算时，通常要求施力物体和受力物体都能看作是粒子，这不仅给实际物体上引力的计算带来困难，而且难以满足理论认识的需要。通过对引力场和静电场的类比分析，引入引力强度和引力线的概念，提出应用范围更广的万有引力定律的积分形式，并给出其相应的应用实例。关键词：万有引力定律；类比分析；积分形式 中图分类号：O413.2 文献标识码：Adoi: 10.3969/j. issn. 1007-9831. 2015. 10. -wen(,,,中国):,． ,'.
，，e，。 ：；；库仑定律与万有引力定律的相似性早已被人们注意到[1-7]，但通常的认识只是对它们的表现形式、适用条件、计算方法等进行描述性比较，这不仅阻碍了学科的发展，也阻碍了认识的深化。因此，有必要对万有引力场与静电场的相似性进行更深入的研究。 1 类比分析 对于静电场，目前已建立了完整的理论，其中包括库仑定理（1）高斯定律（2）静电场环路定律 收稿日期：2015-08-27 作者简介：潘云文(1989-)，男，云南曲靖人万有引力定律公式，硕士生，主要从事水力学、河流动力学研究。 E-mail:@高师科学杂志第35卷d0LEl（3）式充分表述了静电场的性质。式中：eF为电场力；1q、2q为点电荷的电荷数；r为径向矢量；iq为封闭曲面S内所有电荷的代数和；0为真空的介电常数；E为电场强度。万有引力定律g与公式（1）不仅在形式上十分相似，而且适用对象和计算方法也很相似。在物理学中，质量m和电荷q是不同的物理量，但质量m之于万有引力场的位置就如同电荷q之于静电场的位置一样。由于万有引力Fg与电场力Fe属于同一概念，都是物质的相互作用，且满足gFam，eFEq，引力强度a与电场强度E处于同一位置。基于场的思想[8]（把物理量看作空间坐标的连续函数），在引力场中引入引力强度（空间某点处单位质量的质点所受到的引力）和引力线（引力线上任一点的切线方向与该点引力强度方向一致）的概念，并规定：在引力场中，任一点附近穿过单位面积的引力线数目等于该点引力强度的大小（即引力线密度Δ0limΔsNaS，其中N为穿过该点附近单位面积的引力线数目）。然后，用与静电场的研究方法[9]同样的方式来研究引力场，将引力定律(4)式中：有向闭合曲面S的外法线方向取正；G为引力常数；im为闭合曲面S内部物质的质量；“”表示引力强度方向与闭合曲面外法线方向相反。同时，引出引力场环路定律0dLa l(5)。至此，万有引力定律、万有引力定律积分形式（4）和引力场环路定律（5）可以积分形成一组类似于静电场基本定律（1）、（2）、（3）的方程组（6）来描述万有引力场的性质。万有引力场基本方程1 23id 4πd 0LSm mF G rra S Gma l g (6)2 万有引力定律积分形式的应用实例2。
1 应用例1 设粒子A、B的质量分别为1M、2M，距离为R，求粒子A对粒子B的引力（见图1）。过点A、过点B作一个球体S，由球体的对称性可知，球面上任一点的引力大小相等，且方向沿半径指向球心。由万有引力定律的积分形式id4πSaSGm可得214π4πaRGM所以，方向是由B点到A点。图1例1计算示意图第10期潘韵文：万有引力定律的积分形式及其应用43又因为2FMag，所以，方向是由B点到A点。2.2应用例2设一个质量分布均匀的球体的密度为，半径为0R。计算球内外某点的引力强度（见图2）。首先计算球内A点的引力强度。取O点为球心，作一个过A点，半径为1R的球面1S。由球的对称性可知万有引力定律公式，球上任一点的引力强度都是相等的，方向沿半径指向球心。由万有引力定律的积分形式id4πSaSGm可得π4ππ3aRGR所以14π3aRG，方向沿半径指向球心O。然后计算球外B点的引力强度。以点O为圆心，以2R为半径，过B点作一个球面2S，同理可得2 32 044π 4π π3a RGR 因此有30224π3Ra GR ，且方向沿半径指向球心点O点。2.
3 应用例3 设质量分布均匀的无限大平面S的面密度为，计算该平面对其外某一粒子C的万有引力（见图3）。构造一个通过C、关于平面对称的封闭圆柱面；圆柱左、右底面的面积分别为1S和3S（其中1S=3S），侧面的面积为2S。由对称性可知，左、右底面上任一点的引力强度大小相等，且方向与对应底面内法线方向一致；侧面上任一点的引力强度方向与侧面外法线方向垂直。由万有引力定律的积分形式id4πSaSGm可得1124πaSGS所以2πaG网校头条，方向与右底面C点内法线方向一致。所以有g2πFmamG，其方向与右底面C点内法线方向一致。2.4 应用例4 设一根质量分布均匀的无限长细杆的线密度为，计算细杆对其外部一个质量为m的粒子D的引力（见图4）。以细杆为轴，作一个过点D的封闭圆柱面；圆柱面长度为L，左、右底面面积分别为1S和3S（其中1S=3S），侧面面积为2S。由对称性可知，左、右底面上任一点的引力强度都垂直于底面外法线方向；侧面上任一点的引力强度都与侧面内法线大小相等、方向一致。由万有引力定律的积分形式id4πSaSGm可得2π4πaRLGL，方向与侧面D点处内法线方向一致。因此，g2mGF maR ，方向与边上D点内部法线方向一致。（转第47页）图3 例3计算图图2 例2计算图图4 例4计算图第十期宁先平：BIM技术助力工程项目精细化管理实证研究47 复杂建模的工作量大大提升。3 BIM技术应用效果在建设方主导下，将建设方工作前移，打破设计与施工界限，参与建设的各方运用BIM技术开展项目管理，取得显著成效。通过优化设计方案，与基线方案相比，年能耗降低18.2%；通过提前进行碰撞检查，设计变更量大大减少，变更结算费仅占合同价的6.6%，与传统管理模式相比，减少了40%的设计变更量。