约翰·贝尔和他的著名贝尔不等式（1982 年）。
介绍：
在量子力学的发展中，北爱尔兰物理学家约翰·贝尔做出了非常重要的贡献。1964年，他设计了一个由可观察的物理量组成的数学方程，解决了爱因斯坦等人提出的EPR佯谬。这个不等式，又称“贝尔定理”，引发了一系列物理实验，证明了量子纠缠确实是真实的，改变了我们对量子现象的认识。
后来扩展和改进了贝尔不等式的四位美国物理学家（CHSH）之一的物理学家阿布纳·西蒙尼（Abner ）认为，贝尔可以复活EPR佯谬，并证明可以使非局域性与量子理论融为一体的定理成为必然。
“贝尔是一个非常特别的人，他严谨好学、意志坚强、敢于挑战，他的性格比别人要强，他敢于与本世纪最著名的数学家约翰·冯·诺依曼较量，而且他毫不犹豫地指出冯·诺依曼的假设是错误的。然后他又挑战了爱因斯坦，”西蒙尼说。
阿米尔·阿克塞尔 | 撰稿
庄兴来 | 翻译
约翰贝尔定理
“所以，在我看来，这就是量子理论的真正问题：清晰的表达和基本相对论之间存在明显的内在矛盾。仅靠技术进步可能不足以调和量子理论和相对论。这可能还不够，可能需要彻底的概念更新。”
—约翰·贝尔
约翰·贝尔（1928-1990）1928年出生于北爱尔兰贝尔法斯特的一个工人阶级家庭，靠打铁和务农为生。他有一头红发，皮肤上有斑点。性格温和有礼，喜欢自省。他的父亲约翰和母亲安妮，都来自长期定居北爱尔兰的家庭。贝尔的中间名“斯图尔特”是母亲的苏格兰娘家姓。在上大学之前，他的家人一直让他相信贝尔的家人都是圣公会教徒（爱尔兰教会），但贝尔在与人交往时经常无视宗教和种族限制，他的朋友中有很多是天主教徒。贝尔的父母并不富裕。贝尔的两个弟弟后来都自学成才。一个成为了教授，另一个成为了成功的商人。
11岁时，贝尔读了很多书，立志要成为一名科学家。他在高中入学考试中取得了优异的成绩，但家里经济拮据，无法供他去以科学为主的学校读书。于是贝尔不得不边读书边去贝尔法斯特技术学校学习。1944年，16岁的贝尔高中毕业后被聘为贝尔法斯特女王大学物理系技术助理，在卡尔·埃米利厄斯手下工作。埃米利厄斯非常欣赏贝尔的科学天赋，不仅借给他书看，还允许他在正式录取前旁听一年级的课程。
在做了一年技术员之后，贝尔以全日制学生的身份考入大学，并获得了一笔不小的奖学金，得以攻读物理学位。1948年，贝尔以实验物理学位从大学毕业。他又在学校学习了一年，获得了数学物理学的第二学位。贝尔有幸师从从德国逃到北爱尔兰的天才物理学家保罗·埃瓦尔德。贝尔是X射线晶体学领域的领军人物，他的物理成绩优异，但他对大学时所学的量子理论并不满意。他好学而深思的头脑早已意识到，量子理论中有些神秘的方面在课堂上并没有被完全理解。那时的他并不知道那些无法解释的问题其实对任何人来说都是无法理解的，也没有想到那些问题的答案会在将来被他自己发现。
在贝尔法斯特女王大学的物理实验室工作了一段时间后，贝尔进入伯明翰大学，并于 1956 年获得物理学博士学位。他的研究领域是核物理和量子场论。完成学位后，他在英国原子能管理局工作了几年。
在英国马尔文学院学习加速器物理时，贝尔结识了同样是加速器物理专家的玛丽·罗斯。两人于1954年结婚，从事共同的职业，经常一起研究相同的课题。两人都获得了博士学位（罗斯获得了格拉斯哥大学的数学物理博士学位），并一起在哈威尔研究中心研究英国原子能的发展。几年后，两人逐渐对原子能研究中心的方向产生了兴趣。失去兴趣后，两人都辞职并接受了日内瓦欧洲核子研究中心的非终身职位，贝尔在理论部门，罗斯在加速器研究组。
所有认识贝尔的人都对他的才华、诚实和谦逊印象深刻。贝尔发表了许多论文，撰写了许多重要的内部备忘录。所有认识他的人都知道他是他那个时代最聪明的人之一。贝尔在三个不同的领域都有他的研究：第一，粒子加速器研究；第二，理论粒子物理研究，这是他在欧洲核子研究中心进行的；第三，量子力学基本概念的研究——这一成就最终使他声名鹊起，对贝尔工作的影响远远超出了物理学界。在他参加的各种研讨会上，三个领域的研究人员都会聚集在各自的会议上，但不同领域的参与者彼此并不认识，显然贝尔是有意将三个研究方向分开，因此每个学科领域的研究人员都不知道他们也在进行另外两个领域的研究。
约翰·贝尔在 CERN 的办公时间全部花在了理论粒子物理和加速器设计上，因此他只有在家里的闲暇时间可以从事他的“业余爱好”——探索量子理论的基本问题。1963 年他休学一年，离开 CERN 前往斯坦福大学、威斯康星大学和布兰迪斯大学。正是在这一年的留学期间，贝尔真正开始探索量子理论的核心问题。1996 年回到 CERN 后，他继续从事量子问题的研究，但小心地将量子理论的工作与他在 CERN 的“主业”——粒子和加速器研究分开，因为他在研究中发现量子理论中存在许多难以克服的隐患。在美国休假期间，贝尔的研究有了突破性进展，他发现约翰·冯·诺依曼的量子理论假设存在错误。然而，用贝尔自己的话说，“我抽身而出”。
没有人怀疑约翰·冯·诺依曼的才华——他是第一流的数学家，甚至可以说是天才。贝尔和冯·诺依曼在数学上并无争议。问题出在数学上。在他关于量子理论基本原理的开创性著作中，冯·诺依曼做出了一个重要假设，随后的一系列推论都以此为基础；约翰·贝尔认为，这个假设从物理学角度来看并不正确。在他的量子理论中，冯·诺依曼预先假设几个可观测量之和的期望值等于其中每个可观测量的期望值之和。 【用数学语言来表达就是：设A，B，C，……为可观测量，E()为期望算子物理学家不是天才，冯·诺依曼认为，很自然地可以推导出下面的方程：E( A + B + C + ......) = E(A) + E(B) + E(C) + ......】约翰·贝尔知道，这个假设看似合理，但如果可观测量A，B，C，……用不一定符合交换律的算子来表示的话，那么这个假设的物理意义就没有意义了。，冯·诺依曼似乎忽视了不确定性原理及其推论，因为根据不确定性原理，不遵循交换律的算子不可能同时被精确测量。
约翰·贝尔撰写了第一篇讨论量子理论基本原理的论文，并于1966年发表。这篇论文在时间上是第二个发表的（还有一篇相关论文写得晚，但发表得早）。论文题目是《论 中的 》，贝尔在文中指出了冯·诺依曼书中的错误，以及姚期智（Jauch and Piron 和 （ ）论文中的错误）。
格里森是与冯·诺依曼齐名的数学家，哈佛大学教授，因解决了希尔伯特的一个著名难题而成名。1957年，格里森写了一篇论文讨论希尔伯特的定理。贝尔并不知道格里森定理与量子力学中的隐变量问题有关。约瑟夫·姚和在日内瓦住过一段时间，贝尔夫妇当时也在日内瓦。贝尔是在研究格里森的隐变量论文时才注意到格里森定理的。格里森定理是一个一般定理，并不是为了解决量子理论问题——因为证明这个定理的人只对数学感兴趣。然而，该定理导致了一个具有重要量子力学含义的惊人后果。 格里森定理的这一推论表明，贝尔注意到，如果格里森的假设不充分，那么可能存在一种更一般的隐变量理论，这种理论就是我们今天称之为“语境”(“”)潜变量理论。如果是这样的话，将格里森定理应用于 EPR 悖论就会有漏洞。
无色散状态是具有精确测量的状态，其中没有变化、没有色散、也没有不确定性。如果存在无色散状态，其精度必须来自一些被忽略的隐藏变量。因为量子理论包含不确定性原理。
Bell 不明白 如何从他的定理中得出这个结论，于是他用自己的方法证明了除了二维 空间（这无关紧要）之外，不存在无扩散态。因此，隐变量不存在。此外，针对冯·诺依曼的观点，Bell 证明了冯·诺依曼的假设不恰当，因而他的结论也是有问题的。Bell 再次提出了量子理论是否存在隐变量的问题，然后他更进一步，将矛头指向了 EPR 问题和量子纠缠。
贝尔读过爱因斯坦、波多尔斯基和罗森在 1935 年联合发表的挑战量子理论的论文。此后三十年过去了。玻尔等人对 EPR 做出了回应。物理学界几乎所有人都认为这个问题已经解决，爱因斯坦错了。但贝尔不同意。
约翰·贝尔在EPR争论中发现了一个重要事实：他“知道”爱因斯坦等人其实是对的。大家把它叫做“EPR悖论”，但实际上它根本不是一个悖论。人们其实已经发现了一些与我们对宇宙的理解有关的重要问题，但问题不在于量子理论不完备，而是量子力学无法与爱因斯坦坚信的实在论和局域性共存。局域性是正确的，局域性理论是不正确的；如果坚持局域性理论，那么量子理论对微观世界的描述就会有问题。贝尔把这个结论表达为一个由不等式组成的深刻的数学定理。他指出，如果实验结果违反了他的不等式，那么就可以证明量子力学是正确的，爱因斯坦关于局域实在的常识性假设是不正确的。证明了量子理论是错误的，爱因斯坦的局域性观点是正确的。 更确切地说，实验结果可能同时违背贝尔不等式和量子力学，但不可能同时符合贝尔不等式和量子力学对某些量子态的描述。
约翰·贝尔写了两篇开创性的论文，第一篇论文分析了冯·诺依曼等人的观点，他们讨论了隐变量是否存在的问题，也就是是否存在量子纠缠。约翰·贝尔在论文中首先证明了冯·诺依曼等人提出的证明隐变量不存在的定理并不严谨，贝尔随后证明了自己的定理，真正证明了隐变量不存在。由于发表延迟，贝尔的这篇重要论文直到1966年才发表，也就是在他的第二篇论文发表之后。这篇论文发表于1964年，题为《论爱因斯坦-波多尔斯基-罗森悖论》。这篇论文提出了影响深远的“贝尔定理”，改变了我们对量子现象的认识。
贝尔采用了 EPR 佯谬的一种特殊形式，该佯谬由戴维·玻姆简化和改进，他研究了从一个粒子中发射出的两个纠缠的 1/2 态。2 个自旋粒子，分析这个实验会产生什么结果。
贝尔在文章中说，EPR悖论已经发展成为证明量子理论不完整、必须添加其他变量的基础。EPR认为，有了这些额外的变量，量子力学就可以重新获得因果关系和局部性等已丢失的概念。在一则注释中，贝尔引用了爱因斯坦的话：
但我觉得，我们应该牢牢把握一个前提：如果系统S1与系统S2相距较远，系统S2的实际状态不会因为系统S1的扰动而发生改变。
Bell 表示，他想用数学方法表明爱因斯坦的因果观和局域观无法与量子力学的描述共存。他进一步表示，这是局域性要求——即系统的状态不是恒定的。Bell 的论文提出了一个选择定理：要么局域隐变量是正确的，要么量子力学是正确的，但两者不可能都正确。如果量子力学是描述微观世界的正确理论，那么非局域性就是微观世界的一个重要特征。
Bell首先假设量子力学可以像爱因斯坦所要求的那样，被某种隐变量结构所补充。那么，这些隐变量就必须携带量子力学所缺乏的信息，实验中的两个粒子有一套指令，提前告诉粒子在不同情况下应该如何行动，也就是说，粒子知道每次选择的测量轴的方向。在这个假设下，Bell导出了一个矛盾的结果，这表明量子力学无法被隐变量所补充。Bell定理可以用一个不等式来表示，其中S表示两个实验者Alice和Bob的测量结果之和。
贝尔不等式是：-2 < S < 2
这个不等式可以表示为下图。
根据贝尔定理，如果实验结果不满足上述不等式（即在真实的纠缠粒子实验中，Alice 与 Bob 的测量结果之和大于 2 或小于 -2），那么这个实验就能证明非局域性的存在，这意味着一个粒子的状态确实可以同时影响另一个粒子的状态，无论这两个粒子相距多远。现在就看实验学家们如何找到这样的实验结果了。
但是，这里存在一个问题，Bell在从局域性前提推导他的不等式时，使用了一个特殊的假设。他假设隐变量理论完全遵循量子力学对于单粒子对的预测：无论自旋轴朝哪个方向，粒子1的自旋总是与粒子2的自旋相反。因此，如果实验值与Bell不等式的量子力学预言一致，这个发现仍然不能证明局域性假设是错误的。除非有证据证明Bell所使用的特定假设是正确的，否则在实践中很难找到这样的证据。这个问题最终导致实验检验的障碍。后来，与Horn（）以及（）将Bell定理进行扩展和改进，解决了这个技术难题物理学家不是天才，使Bell不等式得以在真实的物理实验中使用。
不管怎样，贝尔定理的结论是：隐变量假设和局域性假设在量子理论中不成立，量子理论和这两个假设不能共存，因此，贝尔定理是物理学中一个十分有力的理论成果。
西蒙尼曾经问过我：“你知道为什么贝尔能够复活EPR悖论留学之路，并证明一个将非局域性和量子理论结合起来的定理吗？”然后他说：“我认识约翰·贝尔。大家都知道只有他能做到。没有其他人能做到。贝尔是一个非常特别的人。他严谨好学，意志坚强，敢于承担责任。他的性格比别人强。他敢于与最著名的数学家约翰·冯·诺依曼较量，并且毫不犹豫地指出冯·诺依曼的假设是错误的。然后他又与爱因斯坦较量。”
爱因斯坦等人认为，遥远空间系统之间的纠缠是不可思议的。一个地方发生的事情怎么可能同时影响到遥远的另一个东西？约翰·贝尔却能超越这一点。爱因斯坦的直觉建立了一个伟大的定理，进而引发了一系列物理实验，最终确立了量子纠缠作为一种真实现象。贝尔最初支持爱因斯坦的局域观点，但他想用实验来证明这种观点是对是错。
约翰·贝尔于 1990 年因脑溢血突然去世，享年 62 岁。他的离世是物理学界的一大损失。在生命的最后几天，贝尔仍然积极地从事研究，撰写论文、举办讲座，探索量子力学的基本原理、EPR 实验以及他自己的定理。三十多年来，贝尔定理一直受到物理学界的关注；事实上，今天的物理学家们仍然在思考贝尔定理对于空间和时间的性质以及量子物理的基本原理的深刻含义。几乎无一例外，关于贝尔定理的各种实验都提供了无可辩驳的证据，证明量子理论是正确的，量子纠缠和非局域性是真实存在的。
本文摘录自《纠缠态：物理世界的第一谜团》（阿米尔·阿克塞尔著，庄兴来译，上海科技出版社2016年7月出版），经科学先生授权出版。