第一名：牛顿、高斯、欧拉、阿基米德
第二名：柯西、庞加莱、康托、凯莱、哈密顿、黎曼、爱森斯坦、帕斯卡
第三位：伽罗瓦、阿贝尔、希尔伯特、克莱因、狄利克雷、莫比乌斯、莱布尼茨、笛卡尔
第四名：诺特、雷曼、欧几里得、勒让德、拉普拉斯、拉格朗日、克罗内克、雅可比、罗巴切夫斯基
第五位：量子理论创始人傅里叶（狄拉克、薛定谔、爱因斯坦）
简单的介绍：
高斯：他可以和欧拉比肩，数论第一，几何前5，在代数领域也取得过阿贝尔、伽罗华之前最强的成就，在分析领域也仅比魏尔斯特拉斯、柯西、黎曼、阿贝尔等人略胜一筹。也就是说，在1840年之前，王子是统治时代的绝对人物，也是继牛顿、欧拉之后，又一位统治时代的数学家。可想而知有多可怕？！就在牛顿、欧拉统治的时代刚刚过去，高斯又来了！他被称为“数学王子”。在1840年之前，高斯在数论、几何、代数、分析四大数学领域都取得了顶尖的成就，他有一个属于自己的统治时代，只有牛顿和欧拉能达到。 也就是说，在19世纪40年代群论和椭圆函数论逐渐兴起并大放异彩之前，高斯毫无争议是历史上的第一人。但他唯一的不足就是有广度而深度不够，19世纪现代数学最重要的里程碑式的成就，没有一个是王子独立创造的！黎曼几何、非欧几何、群论、椭圆函数论、复分析、分析的严格基础、复变函数论等等现代数学的里程碑式的成就，没有一个是高斯创造的！高斯虽然在几乎所有领域都做出了杰出的贡献，但他并不是决定性的人物，群论归功于伽罗华和阿贝尔，在椭圆函数论上，阿贝尔和雅可比的工作超过了高斯，复分析和分析的严格基础、复变函数论最伟大的成就，是黎曼、柯西、魏尔斯特拉斯做出的。 高斯虽然被认为是非欧几何的奠基人之一，但他并没有公开发表过任何论文，完成度也不如罗巴切夫斯基和鲍耶。高斯虽然引入曲率和测地线成为近代微分几何的奠基人，但统一非欧几何、微分几何、椭圆几何的黎曼几何，却是黎曼一手创立的。即便在高斯最强的数论领域，他在数论方面的工作，也没有一篇比黎曼假设这篇只有八页纸的论文更重要！而且，高斯只是主宰了初等数论，对代数数论和解析数论的贡献微乎其微，甚至不如黎曼、戴德金、狄利克雷！19世纪及近代以来，几乎所有最重要的数学里程碑式成就，无一是高斯发明的！很神奇吧？ 在很多人眼中，这位历史上最伟大的数学家，竟然没有一项成就能够跻身19世纪最重要的顶级成就之列！从广度、深度、全面性来看，高斯无疑可以说是历史第一。可以说，高斯一个人完成了许多人共同完成的工作，这是智慧的奇迹。但是，从深度、精准度、开拓性、洞察力和颠覆性来看，高斯显然是逊色的。
其实，1854年高斯聆听黎曼就几何基础的就职演说的那一天，王子就已经被黎曼远远超越了！从那天起，王子就不再是史上最强了！高斯研究了高阶方程的解问题，却发现群论的功劳属于伽罗华和阿贝尔。高斯发现了椭圆函数的双周期性，但阿贝尔和雅可比在椭圆函数方面的工作比高斯深刻得多！高斯有非欧几何的思想，但完成度不如罗巴切夫斯基和鲍耶！高斯终生思考却未解决的几何基础问题，却被黎曼在临终前解决了！勒让德还发现了最小二乘法和二次互反律。 高斯肯定和棣莫弗、拉普拉斯等人共同发明了正态分布。关于高斯的遗稿，对于职业数学家来说，高斯的遗稿当然有很多启发，但基本已经不是前沿的东西了。几何学的发展遵循了黎曼的思想，代数群论的发展遵循了阿贝尔和伽罗华的思想，解析学和幂级数的发展遵循了魏尔斯特拉斯和柯西的思想，数论遵循了狄利克雷、黎曼、戴德金的思想。数学中最重要的发展，与高斯的遗稿，甚至与高斯本人，关系都不大。如果说18世纪下半叶到19世纪上半叶主宰数学的学者，高斯一定是历史上最强的数学家之一！ 但随着数学的发展，尤其是19世纪对后世影响最大的启示，近现代数学中一系列最伟大的里程碑式的成就几乎都不是高斯一人创造或完成的。几何、分析、代数，甚至数论的一些领域，各个分支在高斯有生之年都被其他学者所超越。这个黑点是高斯无论如何也跨不过的。这和17世纪牛顿的全面统治，18世纪欧拉的全面统治有些不同。
但是高斯的抽象性和严谨性比欧拉要好，他的体系性更强，但这是由于时代的原因。与20世纪三大科学家希尔伯特、格罗滕迪克、庞加莱相比，高斯的学术成就与这三位20世纪大师基本相当，有学术的完成度和深度，有贡献，有影响力。甚至在将来，这三个人的地位都有可能超过高斯，而且这三个人对现当代数学都有着直接而突出的影响，学术难度也比高斯高得多。但是，高斯最大的优势还是时间优势，与这两位大师相比，高斯做出同等水平和分量的学术成就要早这两位大师一百年！这三位大师的学术影响力，还需要更多的时间来检验，或许再过一两百年，这三位大师的地位可能会超过高斯，但现在排在高斯之前，并不合适。 相比伽罗华和阿贝尔，虽然伽罗华和阿贝尔引发了群论和结构化抽象代数的潮流，成为当代数学最重要的数学范式和浪潮，深刻影响了物理学。可以说高斯的成就都无法相比。在思想、洞察力和创造力方面，高斯远远落后于这两个年轻人，尤其是群论和抽象结构化数学已经主宰了当代数学，这种影响力是无与伦比的。当代数学已经不是高斯那个时代的玩意儿了，高斯对后世的影响更是无可比拟。但是高斯在数学成就上的全面性和完整性远远超过了伽罗华和阿贝尔。高斯在那个时代的所有主要分支都取得了顶尖的成就，而阿贝尔和伽罗华更像是代数天才。阿贝尔的分析还行，但他对几何数论的贡献微不足道。伽罗华本人对几何分析和数论几乎没有贡献！ 所以从整体的综合成就来看，高斯已经超越了阿贝尔和伽罗华很多了！其次，即便是论及阿贝尔，伽罗华的代表性群论和结构化抽象数学思想当然也是极其辉煌和光辉的，高斯的任何成就都无法与之相比。但问题是，伽罗华和阿贝尔只是提供了他们在群论和抽象代数上的思想来源，并取得了萌芽突破，却因为他们的英年早逝而没有取得更实质性的突破。也就是说，虽然伽罗华和阿贝尔体现了深刻的洞察力和创造力，但他们更多地扮演了萌芽思想的奠基者的角色。群论和抽象代数的主要成就更多的是由后来的学者如庞加莱、希尔伯特、格罗滕迪克和戴德金完成的。也就是说，从结果的完备性来看，伽罗华和阿贝尔的结果还比较原始和粗糙，并没有实质性地主宰或改变数学。
在这一方面，伽罗华和阿贝尔远远落后于黎曼。如果伽罗华和阿贝尔再活二三十年，保持这样的创造力，他们就能和庞加莱甚至黎曼一较高下，高斯也进不了数学成就史的前三名甚至前四名。所以，和伽罗华和阿贝尔相比，高斯的学术成就远远超过了他们，尤其是他在数论和微分几何方面的成就，基本结束了古典数学的时代，定义了领域和研究。而且，高斯在数学的各个分支领域都有广泛的杰出成就，在1840年甚至1850年之前都是领头人。在这一点上，阿贝尔和伽罗华是无法和高斯相比的。所以，高斯的整体数学成就比阿贝尔和伽罗华高出半个多档次到一个档次，是没有争议的。综合以上，高斯目前排在历史第二位，暂时还算合适。
黎曼：他的代表作是黎曼几何（人类数学、物理学乃至思想史上最重要的智慧和认知突破，对于整个人类来说，黎曼几何产生的空间和时间概念堪比牛顿力学、进化论、相对论、量子力学等，其重要性远超微积分和群论，毫无争议。） 黎曼曲面与流形（近当代数学、物理学中最重要的数学结构和基本工具之一，无解说） 黎曼-罗赫定理（当代代数几何乃至物理学中数学中心定理的核心支柱之一，无解说） 黎曼映射定理（你听说过黎曼曲面的高维奇异化定理吗？无解说） 黎曼猜想（最重要的数学猜想，史上最惊艳的个人秀，毫无压力的单核碾压高斯在内的历代数论学家，短短八页的文章，黎曼是数学史上最伟大的数学家之一（160年前，至今未被超越）。虽然说文献上无最佳，但是从纯数学的角度看，黎曼的突破性和难度是最大的。不考虑其他方面，单从数学成就来看，黎曼在重要性、影响力、颠覆性、突破性上都远远超过高斯、欧拉、牛顿。也就是说，黎曼在数学上的成就，大致相当于高斯加欧拉加牛顿加庞加莱的总和，他们之间的差距大概就是这么大。在难度上，黎曼以下的数学家差距比较大，基本不在一个档次上，只是在拓扑难度上庞加莱稍微接近一些。那么凭什么说黎曼是数学界最有影响力的数学家呢？（1）历史上唯一一个拥有全面统治力的数学家，别人没有！ 以黎曼命名的数学成就共有81项，仅次于高斯（110项）和欧拉（102项）。数学成就并不是黎曼的主要贡献，黎曼似乎对证明和发现数学各个分支的几十个或几百个定理兴趣不大，黎曼只是用统一几何、数论、分析等各个分支的数学工具，重新改变了数学的概念和定义！其他数学家只是发现和研究数学，而黎曼却直接创造了数学。
这就是黎曼比高斯、庞加莱、欧拉、牛顿强的原因！黎曼做了数学史上最重要的工作，而且只有黎曼做了这项工作。很多人说黎曼的主要成就是创建并奠定了复函数、非欧几里得几何、解析数论、代数几何、拓扑学等学科的基础。这当然是伟大而形式化的，但这种评价不能准确评估黎曼的地位。如果黎曼只是创建了一些新的学科，那么他在数学上的成就和地位不会高于欧拉、高斯、庞加莱、希尔伯特、牛顿。创建众多数学分支并不是黎曼的核心成就。黎曼的高明之处在于他创建这些分支时所发明的方法和数学结构，而这些数学结构是连接几何、分析、拓扑、数论乃至物理学的工具。 比如黎曼曲面、流形、黎曼-罗赫定理、黎曼映射定理等，都是直接连接数学和物理的最重要的数学工具，很难想象当代一流的数学家或者理论物理学家没有这些基础能做出一流的工作。黎曼的创造性工作，使他成为历史上唯一一位主宰数论、几何、分析等各大数学分支，为现代物理学提供最强大的数学架构的超神级数学家，能与黎曼相提并论的只有庞加莱。牛顿虽然连接了分析和物理，但他在数论、代数、几何方面的成就太低，根本达不到那个水平；高斯、欧拉、柯西等人的成就涵盖了数论、代数、几何、分析，号称全才，但和黎曼直接连接分支的工作相比，似乎他们的工作与黎曼完全是两码事。
黎曼的八页论文本来可以打败高斯除了算术探索和曲面几何之外的所有成就。阿贝尔和伽罗华的群论抽象思想本来可以主宰整个数学界，完美连接物理，他们本来可以和黎曼一较高下，但他们的完成度太低，短暂的一生留下了数学史上最大的遗憾。黎曼唯一的缺憾就是在代数群论上没有做出什么成就，影响了他真正统一数学领域，但也留下了伟大的遗产，请别忘了黎曼-罗赫定理是现代抽象结构代数几何的中心！ （2）历史上最有创造力、最有洞察力、最有远见的数学家，没有别人。黎曼从来不以证明定理的能力、快速计算的能力而闻名，甚至不在乎证明的严谨性。黎曼只管自由创造！ 黎曼曲面、流形、度量、曲率张量、亏格、参数模、模空间、力即几何、空间曲率等等，这些在当时数学上看似稀奇古怪的东西，后来都被证明是黎曼提出的新思想、新概念。这些是理解数学物理的正确方法，是数学物理进入现代的基础。如果没有黎曼凭空想出来的这些奇怪的东西，现代数学、现代理论物理大概就完蛋了，相对论、量子场论大概就成了民间科学，弦理论这个最流行的物理学理论分支肯定就不复存在了。这些奇怪的东西在黎曼那几十篇论文里随处可见。如果你发明了其中任何一个新概念、新思想最伟大物理学家 排名，你都将成为中国乃至世界第一数学家！ 即便是他那些次要的成就，比如柯西-黎曼条件，黎曼积分，黎曼-施瓦茨定理，黎曼zeta函数等等，也足以让今天任何一位数学家成为相关领域的顶尖学者！高斯是古典数学的宗师，启发了现代数学，但真正把数学带入现代的，却是黎曼、伽罗华、阿贝尔，其中黎曼是现代数学和物理学大爆发的起源！（3）现代数学的奠基人，现代数学之王，对现代数学影响最大的学者，别无他选！（4）他是历史上最深刻、最有思想的数学家，没有之一！他一生只发表过18篇论文，但其中蕴含的思想，至今还在引导数学家走向新的境界。
黎曼的数学思想既具有主导性，又具有创造性，既具有前沿性又具有指导性，它不仅发现了一座金矿，还为后人提供了开采它的工具。从完整性和启发性上讲，它是历史上的第一，毫无争议！（5）黎曼改写了数学的语言、概念和定义。在黎曼之后，人们突然发现，数学原来可以这样搞，这样生产出来的东西很有价值，基于黎曼的几十篇文章生产出来的东西，才是现代数学和理论物理的正确表述，这太重要了。概念的突破是决定性的，能和黎曼相比的人，只有庞加莱、伽罗华，还有可怜的阿贝尔！（6）对当代物理学影响深远，华人数学家丘成桐、陈省身，物理学家杨振宁等都是黎曼的铁杆粉丝。 丘成桐说，只要有一个中国学生能完成黎曼论文的一部分，这个人就能成为中国最伟大的数学家。虽然有些夸张，但也说明了黎曼的巨大影响力。杨-米尔斯理论本质上是黎曼-罗赫定理的终极应用。黎曼-罗赫定理的每一次成功推广，都是数学和物理学的一次伟大进步。当代最伟大的英国数学家阿蒂亚认为，杨-米尔斯理论其实是数学科学大统一的核心，它是黎曼-罗赫-格罗滕迪克定理的推广，与代数几何有关，同时，它把分析与拓扑、微分几何不变量直接联系起来。
数学金字塔顶端的三人分别是深度的黎曼、广度的高斯和难度的庞加莱。黎曼站在高斯的肩膀上，在各个方面都超越了他，但黎曼之后的数学大师庞加莱和格罗滕迪克却没能完全走出黎曼的影子。奠定了上述两者核心地位的拓扑学和代数几何的雏形都是黎曼创造的，这只是黎曼成就的一部分。黎曼对发现新的数学理论、新的分支、解决困难问题并不感兴趣，他只提供新的数学概念、思想和思路，这奠定了黎曼的奠基者地位。但由于黎曼的思想和方法过于先进，当时并不被人理解。虽然黎曼在生前被公认为当时最强的数学家之一，但这只是因为他的工作让同辈人能够理解。 黎曼更重要的思想，论文中创造的奇怪新概念，当时很多数学家都对此表示怀疑。黎曼开创的思想、方法和工具在将近五十年也就是半个世纪的时间里都是比较冷门的研究领域。比如黎曼几何，当时更多的是一种自洽几何，意大利的几位学者在玩弄它，但没有人认为它有用，更别说成为数学的主流了。比如黎曼猜想，在过去的半个世纪里也几乎没人理睬它。相较之下，魏尔斯特拉斯、雅可比、戴德金才是数学的主流，阿贝尔和伽罗华的理论才开始逐渐成为主流。而且，黎曼证明的不严谨性，也让后来的数学家们对黎曼这个神级武器敬而远之。 幸好那些意大利学者默默坚持研究这些无用之科，并在后世克莱因、希尔伯特、庞加莱等人的支持下，黎曼终于重回神坛。在重新发现黎曼的过程中，相关学者当然也收获了超级丰厚的回报最伟大物理学家 排名，尤其是相对论的诞生，直接让黎曼成为数学史上第一人。
黎曼在世时，他已被公认为当时最强的数学家之一。虽然他是“最强之一”，但他的成就和地位，一般公认不如他的前辈，如高斯、柯西。魏尔斯特拉斯、雅可比，甚至同一代的阿贝尔、伽罗华，都比黎曼更有声望。即使和狄利克雷、戴德金、艾森斯坦相比，他也不过是相差无几。这无疑大大低估了黎曼的实际成就。当时尚不明确，但160年后回首，黎曼是19世纪数学界璀璨星空中心最耀眼的一颗星，他的光芒足以照亮整个星空！
那么数学研究的数学工具有哪些？数学有哪些分支值得研究？数学在地图学中又有哪些应用？应用价值又是什么？两者谁的应用价值更高？谁的学术成果更高？
20世纪数学家排名（陈省身31、华罗庚99......）：