——以“函数概念及正反比例函数复习”为例
陈进
概括：
新课程改革下，《义务教育课程标准（2022）》提出以核心素养为先导，落实德育总目标，培养幼儿自主学习、合作探索、综合素质发展的能力。但在现行数学教学下，教与学缺乏有效的统一，无效、机械的学习仍然占据着部分课堂。我们可以以大单元的视角为指导，以问题情境创设为血肉，以问题链教学为骨架，以跨学科应用分析为灵魂，帮助学生树立自信心，增强自我效能，同化适应认知，激发数学学习兴趣，发展其创新思维，实现学生综合素质的培养。
关键词：核心素养；数学教学；思维方式
《义务教育课程标准（2022）》提出，强化课程育人导向，优化课程内容，制定学业质量标准，以核心素养为基础，结合初中学生特点，实现教学的连贯性和学习目标的推进性。数学承载着落实立德树人教育的总目标，在帮助学生形成严谨的逻辑思维、严谨的科学精神、务实的价值素养、个人智力能力发展等方面发挥着关键作用。根据初中的特点，是学生形成个性思维品质、个人能力、正确认知的重要时刻，既要注重课本知识，更要强调以核心素养为导向的四大基本，重视学习的引导过程，注重思维的启迪与发散，帮助学生逐步形成适合个人终身发展和社会发展需要的品格与能力。那么在普通数学课堂教学中如何教会学生基于核心素养的学习,落实德育总体目标呢?笔者以“函数概念及正反函数复习课”为例,谈谈自己的想法和感受。
1. 数学核心素养的概念
《义务教育课程标准（2022）》中数学课程的核心能力主要有三方面：用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界。数学的核心能力是指学生在现实生活中形式化、应用和解释数学的关键能力、必备素质和价值观。我们的课堂教学应该从注重学生的理解（知识的解构）转向注重学生的自主活动（知识的自我建构）。[1]因此，作为基础学科之一的数学，教师把握数学的核心能力、学生的学习能力都极其重要。
2. 初中数学核心素养课堂存在的问题
1. 教师无法有效、积极地促进课堂学习
教师在课堂上教条式或低效式授课。有的教师选择逐字逐句地讲授书本上的内容，不根据学生心理发展需求做出调整和改进，认为上课的最终目的是让学生理解知识点、学会解决问题，没必要浪费时间在花哨的形式上。有的教师在解释知识点的由来时，要么追根溯源过多，超出了学生目前的认知能力，使学生无法理解；要么论证过于理论化、枯燥乏味，缺乏实际操作，不能使学生集中注意力、产生兴趣；要么有些引言不恰当、不吸引人，与现实生活的联系过于假设或牵强，无法引起学生的共鸣。过于牵强的引言和课堂控制，使学生无法快速识别本课的重点和知识点的有效运用。这些课堂教学不能促进学生思维的逐步成长，不能帮助学生学习和思考，使一些学生在进入初中后对数学望而却步。无效的教学环节无法达到立德树人的总目标，授人以鱼不如授人以渔。新课标的学习，创新型、开放型数学题型的推出，提醒我们要跳出教条的框架，让孩子知道学了什么、学了什么、为什么学。这背后跨学科知识、思想、情感的融合，都在帮助学生形成独立自洽的思维体系、行为能力和价值观念，培养成具有创造意识、创新能力、解决问题能力、全面发展的综合人才。
2. 学生无法积极有效地内化课堂学习成果
学生对数学的认识存在主观偏差。作为中考基础科目之一，很多学生学习数学只是为了成绩，课堂上只关注课本知识点内容和眼前的练习题，习惯于死记硬背、机械训练，有的学生甚至在课外辅导班提前学习，不听课直接做练习。重结果轻过程的现象，使学生在数学学习中缺乏探索过程和探究精神，不能体会到数学所带来的美感和背后发人深省的思想情感价值。从系统的学科学习来看，一些学生在更加复杂抽象的下一阶段学习中，会跟不上进度，举步维艰；从学科情感来看，学生知其然不知其所以然，枯燥的填鸭式学习方式，使学生体会不到学习数学的乐趣，积极性不高，降低了学习效率。同时，学习难度的增加，又会反馈更大的学习压力，形成恶性循环，打击学生的自信心。如果学习太过理论化、抽象化，没有思想情感的投入，不懂得学习的目的，那么就只能成为只有血肉而没有灵魂和骨骼的学习机器。这违背了我们教育的初衷，即修身立德、立人立业。
3.基于核心素养的初中数学课堂转型策略
初中生的思维方式已逐渐由形象思维转向抽象思维，由浅入深，由低层次转向高层次，认知理解能力也逐渐提高。这种转变不仅需要学生自身能力的加强，也需要教师在课堂中逐步引导和培养。基于初中数学课堂核心素养，提出以下四个视角。
1. 从单元角度进行整合，有效确定学习目标和结构
数学教材是教学的重要资源，教材的编写不仅蕴含着知识的线索和结构，还暗含着数学方法的逻辑关系。因此，在教学中，应从大单元的角度进行教学设计，摆脱单一知识点的局限。[2]初中数学应从单元整体出发，以学生核心素养为抓手，设计大任务，通过课堂上知识点的呈现，逐步实现单元的总体目标。[3]以函数概念、正反比例函数复习课为例，函数是初中数学重要的基本概念之一，是从现实世界中抽象出来的数学模型，是我们研究数量关系和变化规律的重要工具，也是一种数学思维方法，不仅加深了对代数的理解，还可以与平面直角坐标系、图形相结合，以数建形，以形助数，数形结合，打破思维定式，拓宽思维方式。本单元围绕函数及其基本量的学习和特殊函数两大板块展开。从单元的角度，根据客观实际需要，抽象、总结建立函数模型，研究与运动变化有关的量与变化过程的关系，从一般到特殊的介绍正比例函数和反比例函数。重视数形结合的研究方法，从概念、形象、性质三个方面进行信息转换与联想，培养学生从形象思维向抽象思维发展，并运用到解决实际问题中。通过类比思维学习特殊函数，这种整体思维引导的学习，为以后学习和学习一次函数、二次函数、高中函数，甚至不熟悉的新函数提供了方向。从整体结构上建立知识网络，构建清晰的思维导图，层层推进，螺旋上升，通过思维方法的联系，帮助学生理清具有数理逻辑和美感的各个知识点之间的关系，引导学生学会主动探究、积极思考、自主学习，改进学习方法。培养数学建模素养，培养数学思维，建立数学思维，使学生学会学习，学会思考，提高解决问题的能力，增强学习信心，对数学学习更加充满热情和兴趣。
2.创设问题情境，感受数学的魅力
利用函数反映实际问题运动变化的特点，创设生活问题情境。例如，本课开始播放一段汽车加油的实际油费视频，由于油价单价为6.51元/升，学生利用所学知识列出等价关系。
，其中当x的值改变时，y也会随之改变。从实际问题中抽象概括，引入函数的概念。密码学中的凯撒密码就是一种代换加密技术。例如密文“QTQSM UIBPA( 8)”解密为明文“ILIKE MATHS”，背后的数学原理是y=x-8初中物理函数，函数表达式成立。函数的概念也可以通过数学史的脉络来强化。函数一词源于我国清代数学家李善兰的拉丁文译文，意为“每当这个变量是那个变量的函数时，那么这个就是那个的函数”。函数的由来是莱布尼茨用函数来表示幂。1718年，伯努利将其定义为“一个变量与任意常数组合而成的量”。此后，1755年的欧拉、1821年的柯西、1834年的罗巴切夫斯基、1837年的狄利克雷，以及康托尔的集合论，集合之间的对应关系得到了长期的发展和拓展，展现了历代数学家对知识的追求、对科学的严谨态度和对初衷的坚持。数学家笛卡尔与瑞典公主的爱情故事以及他们所画的心形线，将数学与人文情感结合在一起，体现了数学从冷酷美丽的转变为火热的思考，而不是直接枯燥的呈现。从这个环节，表明数学来源于生活，服务于生活，引发学生细心观察周围生活，思考学习数学的本质。通过魔术、游戏等活动，激发学生兴趣，丰富认知，激发学生的探索精神和求知欲望，进行数学思维探索，学以致用，从而自己建构新的知识。了解数学的乐趣与实用性，发现数学的魅力，感知生活之美。
3.通过问题链式教学设计提高学生的学习效率
以问题为主线，以知识为载体，引导学生从知识学习走向思维拓展，从低级思维走向高级思维，注重动手实践、自主探索、合作交流，实现学生从被动接受知识到主动获取知识的转变，真正提高学生的核心素养。[4] 本课首先在课堂上提出三个问题：什么是函数？正比例函数、反比例函数怎么学？函数学习蕴含了哪些数学思想？以此为总体框架，明确本课所要解决的问题。然后逐步细化从哪些角度、哪些方面逐一分解，并串联起它们之间的联系。
第一题通过前面的情景创设，引入函数的概念，然后对变量、常量、函数表达式、自变量、定义域、函数值等进行逐级分析和提问。例如，在分析函数定义域时，给出了三类表达式：����=5���−3，
，
，从整数、分数、二次根（无理根）的意义出发初中物理函数，思考如何根据函数解析表达式的特点，确定函数的定义域？再从“三角形的三边分别为3厘米、7厘米，
厘米，那么三角形的周长
（厘米） 是
(cm)函数”，得到解析表达式
，然后思考此时的定义域，是不是应该把实数全部去掉？以围栏羊问题中木板总长和非负特征关系为例，发现实际问题也会影响函数的定义域，强调从两个因素综合考虑，得到第一题的知识框架（图1）。掌握每个知识点的辩证统一、猜想论证，化繁为简，解开谜团，体会数学严谨细致的思维与结构，帮助学生用数学的眼光看世界，用数学意识提升解决问题的能力。
第二题是特殊函数的学习，可以问关于正比例函数有哪些知识点，引入概念、图像、性质三个维度，提出问题探索它们之间的联系。然后问反比例函数怎么学？这体现了类比的思想（图2）。在应用过程中，一些综合函数题也可以从代数、几何的多个角度入手，比如这道题：给定一个正比例函数和一个反比例函数����=
所有过点A的图像（���，4），求（1）点A的坐标（2）比例函数的解析表达式？由解析表达式到点坐标再到解析，利用数学中的待定系数的方法。（3）求另一交点B的坐标。从几何意义下，点A、点B关于原点中心对称，可以直接推导出来。从代数意义下，找交点的问题可以归结为解方程组，通过组合方程组得到结果。（4）过点B，以点M、N为垂线脚，分别作BM⊥���轴和BN⊥���轴。求矩形BMON的面积。掌握特殊直线、点坐标的特点，将点坐标转化为线段长度再转化为图形面积问题，或反向转化，循序渐进，实现数形有机结合、化简的思路。提出问题由一般到具体，概念紧密联系，举一反三，求同存异，建立问题链（图3）。环环相扣的思维过程，互利互惠的思维方式，让学生体会到数学的美与精彩。虽然前面没有专门问第三道题，但思维方式处处体现，把整个知识点串联起来。所谓“做数学”，不是做数学题，而是探索、发现数学的过程，它的灵活性、探索性，往往会迸发出思维的火花。采用问题链式教学，让学生学会基于已有的知识和经验去研究和解决新问题，进行多层次、多维度的探索，提高解决问题的能力，激发兴趣，不再畏惧困难，发现数学之美，勇于创新，真正帮助学生提高自我效能感，实现长远发展。
4.应用跨学科分析实现综合发展
华罗庚先生说：“宇宙浩瀚，粒子微小，火箭迅捷，化学巧妙，地球变化，生物奥秘，日月复杂，处处都用到数学。”函数用来描述变量之间的关系，也是描述客观现象的科学工具。课堂上，要求学生列举一些其他学科或身边与函数模型有关的现象。例如，物理学中，在电阻固定的条件下，电流与电压成正比；在相同电压下，更换固定电阻，电流与电阻成反比。生物学中，我们测量树木的生长，考察各种影响因素，通过控制变量，以时间为标志，确定树木的年龄。在一定条件下，一段时期内，生长量是时间的函数。地理学中，利用函数图读温度线图，分析、考察气候因素的原因，或对全球变暖进行模型预测，都离不开函数模型的建立。运用数学作为科学工具，向多学科迈进，不再只是做题时写写画画、计算而已，而是要发挥更多主观能动性，运用到生活中、服务生活，提高学生解决问题的能力贝语网校，发展学生的综合学科素质。
4. 核心学科素养的价值
教学会越来越精细化，越来越关注每一个孩子的成长发展。在课堂教学过程中，如何真正有效的帮助他们提高学习成绩，学会学习。学习数学不只是为了考试成绩，而是帮助学生正确认识数学的本质，体会数学之美，发现数学的乐趣，热爱数学。在核心素养的基础上，运用大单元视角的整体联系，创设对应情境，引导问题链，结合学科交叉分析等方式在数学课堂上进行，是为了培养学生的应用意识，提高实践能力，自我探索并联系已有的经验建构新的认知来解决不熟悉的问题，提高解决问题的能力。同时也拓展了学生的数学思维，学会用数学的方式处理问题。既掌握一般方法，又掌握优秀方法，灵活运用数学，真正做到“活”数学。帮助学生树立信心，提高自我效能感，让每一个孩子都得到很好的培育、成就每一个孩子，形成良性循环，实现综合素质人才培养。
参考：
[1]许晓燕.概念理解与数学概念教学:基于任务设计的视角[M].上海教育出版社,2020(4):2-3.
[2]林日静.基于智慧课堂的初中数学单元复习教学设计探析——以《线性方程组单元复习》教学为例[J].新课程指导，2021(19):48-49。
[3]徐晓英.大单元视角下的初中数学单元教学研究[J].数学教学通讯,2022(5):46-47.
[4]潘宏宇.基于问题链教学的初中数学深度学习研究[J].中学课程指导(教师教育),2020(17).