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1.守恒定律在中学物理中的解题应用。戴汝静，江苏省特级教师。1.动量守恒定律。动量守恒定律：内容：当一个系统不受外力作用或所受外力之和为零时，该系统的总动量保持不变，这个结论叫做动量守恒定律。公式：或或=（物理上册124页）例1.如图所示，光滑水平面上有两块完全相同的木板B、C。较重的物体A（看作一个质点）位于B的右端，A、B、C质量相等。现A、B以相同的速度向静止的C滑去，B、C迎面相撞，碰撞后，B、C贴在一起移动。A在C上滑动，A、C之间有摩擦力，已知A滑向C的右端，没有掉下来。问题：从B、C相撞开始，到A刚好移动到C最右端，C走过的距离是C板长度的多少倍？ 解答：设A、B、C的质量均为m，碰撞前A、B的共同速度为v0，碰撞
2、碰撞后，B、C的共同速度为v1。以B、C为一个系统，B与C碰撞时间很短，B与C之间的力（内力）远大于它们与A之间的力（外力），这个系统的动量守恒。根据动量守恒定律可得： （1）设A滑到C的右端时，A、B、C的共同速度为v2。对于A、B、C三个物体组成的系统，利用动量守恒定律可得： （2）设A、C之间的动摩擦系数为，从碰撞到A滑到C的右端时，C所行进的距离为，对于B和C，利用动能定理可得 - （3）设C的长度为L，对于A，利用动能定理可得 - （4）解以上各方程可得：。例 2：运动员 A 和 B 正在进行花样滑冰运动。他们以 1 米/秒的速度沿同一直线相向移动。当 A 和 B 相遇时，他们用力推对方。之后，他们以与原方向相反的方向移动。速度为
3.分别为1米/秒和2米/秒，求两名运动员A、B的质量比。 【解答】 (3) 根据动量守恒定律求解，代入数据可得 例3. 牛顿自然哲学原理指出，两个玻璃球A、B相撞时，碰撞后的分离速度与碰撞前的接近速度之比始终约为15：16。分离速度指的是碰撞后B相对于A的速度，接近速度指的是碰撞前A相对于B的速度。假如上述过程为一个质量为2m的玻璃球A以速度v0与一个质量为m的静止玻璃球B相撞，且是迎面碰撞，求碰撞后A、B速度的大小。 【解析】 设碰撞后A、B的速度分别为和。根据动量守恒定律，求解该问题得到例4。如问题12的图12C-2所示，进行太空行走的宇航员A和B的质量分别为80kg和1。
4、00kg，他们手拉手远离空间站，相对于空间站的速度为0.1m/s。A把B推向空间站后，A的速度变为0.2m/s，请问此时B的速度大小、方向各是多少？ 【答】根据动量守恒定律，设远离空间站的方向为正，解得方向为远离空间站的方向。 【点评】本题考验动量守恒定律网校头条，难度为：容易。 2、电荷数守恒定律与质量数守恒定律 原子核的衰变方程如下：在衰变过程中，衰变前的质量数等于衰变后质量数之和；衰变前的电荷数等于衰变后电荷数之和。大量观测表明，原子核衰变时，电荷数和质量数都守恒。 （物理学第3卷，第65页）例：用大写字母表示原子核，用大写字母表示衰变，一系列衰变记为：，另一系列衰变记为：。已知P是F的同位素。则（）AQ是G的同位素，R是H的同位素。
5.同位素 BR 是 E 的同位素，S 是 F 的同位素 CR 是 G 的同位素，S 是 H 的同位素 DQ 是 E 的同位素，R 是 F 的同位素 解答：根据核衰变过程中电荷与质量数守恒，设 E 的核电荷数为，其质量数为，即，则 ()衰变后，核电荷数为，其质量数为 ，则 F 为， ()衰变后，核电荷数与质量数不变，则 G 为；用同样方法可算出 H 为。已知 P 是 F 的同位素，故可将 P 记为，设 P 的质量数为，则衰变后，Q 为，进一步衰变后，R 为，衰变后，S 为。由于R和E的核电荷数相同，所以R是E的同位素。同理，S是F的同位素。答案为B。 3.能量转换与守恒定律 守恒定律是贯穿高中物理的重要思想，包括能量守恒定律，动量守恒定律，电荷守恒定律等。
6、物理学各部分的表现形式和表达方式都不一样。 能量守恒定律： 内容：能量既不能凭空产生，也不能凭空消失，只能从一种形式转化为另一种形式，或从一个物体转移到另一个物体，在转化或转移过程中，其总量不变，这就是能量守恒定律。 能量守恒定律在不同条件下有不同的表现形式，在高中物理学习的不同阶段有不同的表达形式。 力做功，功变成能量，能量守恒定律。 合力所作的功=动能的变化量（动能定理） 重力所作的功=重力势能的变化量。重力做正功时，重力势能减少；重力做负功时，重力势能增加。 弹力所作的功=弹性势能的变化量。弹力做正功时，弹性势能减少；弹力做负功时，弹性势能增加。 电场力所作的功=电势能的变化量。电场力做正功时，电势能减少；电场力做负功时，电势能增加。安培力所作的功=电能的变化量。安培
7、安培力做正功，电能转化成其他形式的能量。安培力做负功（克服安培力所作的功），其他形式的能量转化成电能。摩擦力所作的功=热能的变化。克服摩擦力所作的功，其他形式的能量转化成热能。 1 机械能守恒定律（能量守恒定律在力学上的表达） 内容：当只有重力做功时，物体的动能与重力势能互相转化，但机械能总量不变。这个结论叫机械能守恒定律。公式：+=+或+=+（全日制普通高中教材（必修）物理上册147、148页）在弹性势能与动能的相互转化中，若只有弹力做功，则动能与弹性势能之和不变，即机械能守恒（物理148页）公式：+=+（作者补充）弹簧振子、单摆在弹力或重力作用下振动，若不考虑摩擦力
8、若无摩擦和空气阻力，只有弹力或重力做功高中物理的守恒，则振动系统的机械能守恒。例1、柴油打桩机的重锤由气缸、活塞等几部分组成，气缸与活塞之间有柴油和空气的混合气。重锤与桩碰撞过程中，混合气受压燃烧，产生高温高压气体，使桩向下运动，重锤向上运动。现将柴油打桩机及打桩过程简化如下：柴油打桩机重锤的质量为m。重锤在桩帽上方高度h处（如图1所示）从静止开始沿垂直轨道自由下落，撞击钢筋混凝土桩。钢筋混凝土桩（含桩帽）的质量为M。同时柴油燃烧，产生剧烈的推力，重锤与桩分离。这个过程用时很短。随后桩在土体中向下移动距离L，已知当锤反弹到达最高点时，锤与停止的桩帽之间的距离也为h（如图2所示），已知：，。
9、重力加速度。忽略混合物的质量。假设土体在桩向下运动过程中对桩施加的力F为恒定力。求此力的大小。解：锤子自由下落。只有重力做功。机械能守恒。假设锤子在击中桩之前的速度为。由可得 （1） 撞击后，锤子的高度上升到（hL）。假设锤子刚击中桩之后的速度为。根据机械能守恒定律，有 可得 （2） 假设撞击后桩的速度为，方向向下。根据碰撞前后动量守恒定律，设向下为正方向，有：，并得到 （3） 在堆体下降过程中，根据动能定理，有 （4） 由（1）、（2）、（3）、（4）可得： 将数据代入：F=2.1105N。 2 热力学第一定律（能量守恒定律在热力学中的表达） 内容： 如果一个物体同时做功和向外界传递热量，那么外界对该物体所作的功W加上该物体从外界吸收的热量Q等于该物体所作的功W加上该物体从外界吸收的热量Q。
10、内能的增加。公式：=Q+W 上式所表达的功、热量与内能变化的定量关系，在物理学中称为热力学第一定律。符号规则： ：物体内能的增加为正值，减少为负值，保持不变为0； 热量Q：物体从外界吸收的热量为正值，放出到外界的热量为负值； 功W：外界对物体所作的功为正值，物体对外界所作的功为负值。例2 一定质量的理想气体从某一状态出发，经过一系列的变化后，又回到起始状态。W1表示外界对气体所作的功，W2表示气体对外界所作的功；Q1表示气体吸收的热量，Q2表示气体放出的热量。整个过程中，必定有（ ）ABCD 解答： 根据热力学第一定律，=Q+W，（1） 其中 =0，又根据符号规则，（2），（3） 将（2）和（3）代入（1）中
11.公式，答案为：A.3 机械能与势能之和守恒（能量守恒定律在电场中的表达）。电场力做功的过程，就是势能与其他形式能量相互转化的过程。电场力所作的功的量，就是势能与其他形式能量相互转化的量。（物理学下册104页） 如果只有电场力做功，势能与动能相互转化，动能与势能之和守恒；公式：+=+如果只有电场力和重力做功，势能与机械能相互转化，机械能与势能之和守恒。公式：+=+例3如图3所示，一个质量为m，带电量为+q的小球固定在一根绝缘杆的一端，杆的另一端可绕过点O的定轴旋转。杆的长度为L，杆的质量可忽略不计。将杆和小球置于场强为E的均匀电场中，电场方向如图所示。将杆拉至水平位置OA。此时
12.自由释放小球，求杆移动到垂直位置OB时小球的速度。 AOEB 图3 解：杆和小球运动过程中，只有重力和电场力做功，机械能与电势能之和守恒，所以 +=+ (1) 其中1代表位置A，2代表位置B。 将以上三个方程代入（1）式可得：。 4 电磁感应中的能量转换与守恒定律（电磁感应中能量守恒定律的表达） 能量守恒定律是一条普遍定律，也适用于电磁感应。 发电机中，外力做功，消耗机械能，产生的电能是由机械能转换而来的，发电机就是根据这个原理制成的。 变压器中，电能从初级线圈传递到次级线圈，变压器就是根据这个原理制成的。 在这种转换和传递中，能量保持不变。 （物理学第2卷，第168页）楞次定律和法拉第电磁感应
13、能量守恒定律，是能量守恒定律在电磁感应上的体现。 楞次定律：物理学家楞次(1804—1856)总结各种实验结果，于1834年得出如下结论：感应电流有这样一个方向，即感应电流的磁场总是阻碍引起感应电流的磁通量的变化，这就是楞次定律。(物理学下卷200页，粗体为原文，下同) 法拉第电磁感应定律：法拉第不怕困难，顽强奋斗10年，终于取得突破，于1831年发现了电磁感应现象。(物理学下卷195页) 内容：电路中感生电动势的大小，正比于通过电路的磁通量的变化率，这就是法拉第电磁感应定律。公式：或者说导线切割磁通线时产生的感应电动势的大小，它与磁感应强度B、导线长度L、运动速度、运动方向与磁通线方向成正比。
14.夹角的正弦成正比。（物理学第2卷198页） 对于理想变压器，它们的输入功率等于输出功率，即公式： 例4 图4中MN、PQ为垂直方向两平行的长直金属轨道，间距l为0.40m，电阻可忽略不计。轨道所在平面垂直于磁感应强度B为0.50T的均匀磁场。质量m为6.010-3kg、电阻为1.0的金属棒ab始终垂直于轨道，并与轨道保持平稳接触。在轨道两端接有滑动变阻器和阻值为3.0的电阻器R1。当棒ab达到稳定状态后，以恒定的速度v下滑，整个电路所消耗的电功率P为0.27W。重力加速度为10m/s2。试求出滑动变阻器连接电路部分的速度v和电阻R2。解：在杆ab达到稳定状态之前，杆加速向下，重力势能转化为
15.转化为动能和电能。当杆ab达到稳定状态（即匀速运动）时，导体杆克服安培力做功，重力势能转化为电能，即电路所消耗的电功。因此，可代入数据，得：。图4 感应电动势为 感应电流为 式中r为ab的电阻，Rout为R1与R2的并联电阻，即。再次代入数据，可解得：R2=6.0。例5.如图所示，有一光滑半圆金属环，其半径为r，内阻为R1，在垂直平面内厚度均匀。它在M、N处接有平行的光滑金属轨道ME、NF，相距2r，电阻可忽略不计。EF之间接有电阻R2。已知R112R与R24R。在MN上方、CD下方有水平均匀磁场I、II，磁感应强度为B。质量为m、电阻可忽略的导体棒ab从半圆环最高点A处静止落下。落下过程中，导体棒
16、始终保持水平并与半圆金属环与轨道保持良好接触。设平行轨道足够长。已知导体棒ab落到r/2时的速度为v1，落到MN时的速度为v2。（1）计算导体棒ab从A落到r/2时，其加速度。（2）设导体棒ab进入磁场II后，内电流不变，求磁场I、II间的距离h和R2上的电功率P2。（3）若将磁场II的CD边界稍稍向下移动，则导体棒ab刚进入磁场II时的速度为v3。为使其在外力F作用下做匀加速直线运动，则加速度为a。计算所施加的外力F与时间的关系。【解析】本题考查电磁感应与电路的综合问题和电磁感应中的能量守恒问题。解题的关键是分析哪些是内部电路，哪些是外部电路。【答案】（1）以导体棒为研究对象，棒处于磁场中。
17、当磁通线在磁场I中切割时，在棒中产生感应电动势。当导体棒ab从A处落下r/2时，导体棒在重力和安培力的作用下做加速度运动。根据牛顿第二定律可得，其中lr和4R（【穿插注释】注：导体棒ab为电源，ab上方的电阻为，ab下方的电阻为，两部分电阻并联即可得到上式。）由上式可得（2）当导体棒ab穿过磁场II时，如果安培力恰好等于重力，则棒中电流不变，即式中解为使导体棒以加速度为g从MN做匀加速直线运动到CD。此时导体棒引力的功率为 根据能量守恒定律，此时导体棒引力的功率在电路中全部转化为电能，即 所以， （3）设导体棒ab进入磁场II后的速度为，此时安培力的大小为 由于导体棒ab作匀加速运动
18、对于快速直线运动，根据牛顿第二定律有 即由以上方程组可得 [注释] 解答2 查明后，根据导体棒从MN到CD的机械能守恒定律，可得。 将R2上的电功率P2，其中（根据并联分流公式），代入方程可得。 （3）设导体棒ab进入磁场II后的速度为，此时的安培力为 由于导体棒ab作匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有bm L 即由以上方程组可得 例6如图所示，垂直放置的U型导轨，宽度为L，在上端串联一个电阻R（其余导体部分的电阻可忽略不计）。磁感应强度为B的均匀磁场方向垂直于纸面，向外。金属棒ab质量为m，与导轨接触良好，忽略摩擦力，释放静止后，ab保持水平，向下滑动，求ab滑动的最大速度vm。解：
19、松开瞬间，ab只受重力作用，开始以加速度向下运动。随着速度的增加，感应电动势E、感应电流I、安培力F均增加，加速度减小，当F增加到F=mg时，加速度变为零，ab达到最大速度。从中可得注释：这道题也是一道典型的练习。注意过程中的函数关系：重力做功的过程，就是重力势能转化为动能和电能的过程；安培力做功的过程，就是机械能转化为电能的过程；合力（重力和安培力）做功的过程，就是动能增加的过程；电流做功的过程，就是电能转化为内能的过程。达到稳定速度后，重力势能的减小全部转化为电能，电流所作的功，把电能全部转化为内能。此时重力的功率等于电功率，也等于热功率。进一步讨论：如果在图中上端电阻的右侧安装一个电钥匙，让ab下落一段距离
20、若撤去开关后再闭合，开关闭合后ab的运动会发生什么变化？（无论何时闭合开关，ab可能先加速后匀速，也可能先减速后匀速，但稳定后的速度总是一样的）。a bd c 只要有感应电流产生，电磁感应现象总是伴随着能量的转换。有关电磁感应的题目常常和能量守恒定律的知识结合起来讲，这种结合很重要，我们要牢固树立能量守恒定律的思想。【例7】如图所示，矩形线圈abcd，质量为m，宽度为d。它在垂直平面内由静止自由落体，在它的下方是沿图中方向的均匀磁场，磁场的上下边界都是水平的，宽度也为d。线圈ab边一进入磁场高中物理的守恒，它就开始匀速运动。那么线圈在穿过磁场的整个过程中，会产生多少电热呢？解：ab一进入磁场就开始匀速运动，也就是说安培力和引力刚好平衡。下落2d后，
21、在此过程中，重力势能全部转化为电能，而电能全部转化为电热，于是产生电热Q=2mgd。【例8】如图所示，平行导轨固定在水平面上，磁感应强度为B的均匀磁场方向垂直向下。同种合金制成的导体棒ab、cd的截面积比为2：1，导轨的长度和宽度均为L，ab的质量为m，电阻为r，开始时，ab、cd均垂直于导轨静止，忽略摩擦力。给ab一个向右的瞬时冲量I，在随后的运动中，cd产生的最大速度vm、最大加速度am、电热分别是多少？ Ba db c 解：给ab一个脉冲后，ab获得速度并向右运动，电路中产生感应电流，cd受安培力加速，ab受安培力减速；当二者速度相等时，都开始匀速运动。因此，开始时cd的加速度最大，结束时cd的速度最小。
22.大。整个过程中系统损失的动能全部转换成电能，电能又转换成内能。由于ab、cd截面积之比为21，电阻之比为12，根据Q=I 2RtR，cd上产生的电热应为电路中总电热的2/3。根据已知ab的初速度为v1=I/m，故： ，解为。最终共同速度为vm=2I/3m，系统损失的动能为EK=I 2/6m，其中cd上产生的电热为Q=I 2/9m5。电磁振荡中的能量转换与守恒定律（电磁感应中能量守恒定律的表达）从场的角度看，电场有电场能量，磁场有磁场能量。电容器放电过程中，电场能量逐渐转换成磁场能量；电容器充电过程中，磁场能量逐渐转换成电场能量；电磁振荡过程中，电场能量与磁场能量同时周期性地转换。
23、回路中电流和电容器极板上的电荷都随时间作周期性的变化。在电磁振荡中，若没有能量损失，电磁振荡应该永远持续下去，而振荡电流的幅值也永远不变，这种振荡叫做无阻尼振荡。（物理学第2卷，第239页） 公式： 例9 LC电路中电容两端电压u与时间t的关系如图5所示。 A.在t1时刻，电路中电流最大 B.在t2时刻，电路中磁场最大 C.从t2时刻到t3时刻，电容器中的电场继续增大 D.从t3时刻到t4时刻，电容器的电荷继续增加 图5 解：在t1时刻，电容器上的电压最高。此时电场最大，磁场为0，电流为0。 A错误；在t2时刻，电容器上的电压为0，此时电场为0，磁场最大。 B正确；从t2到t3时刻，电容器上的电压继续增大，根据电场公式，电容器内的电场继续增大。 C正确；电容器上的电压继续减小，根据公式，电容器的电荷继续增加。 C错误；答案为B和C。 6.质能关系 爱因斯坦相对论指出，物体的能量和质量之间存在着密切的联系，它们之间的关系为： 这就是著名的爱因斯坦质能方程。 例6.解： 反应后的质量为：36.+0.=36根据反应过程中质量和能量的转化守恒定律，电子中微子的能量相当于其质量36.-36,=0.电子中微子的最小能量为答案A. - 14 -