1 结论推导
如图1所示，质量为m的物体，可视为质点，从倾斜角为θ的固定斜面的顶部A滑向底端B。设斜面的动摩擦因数为μ ，斜面长度为s，底面长度为L。
那么物体从A滑动到B时摩擦力所做的功为：
W=-FS=μθ=-μmgL
结论：在动摩擦因数相同的情况下，物体沿斜面滑动时摩擦力所做的功与物体沿水平面滑动时摩擦力投影在斜面上所做的功相当，如下所示：图 2.
结论概括：物体沿相同粗糙度的斜面从上向下滑动时摩擦力所做的功与倾斜角θ无关，而与底边长度有关的斜面。
如图3所示，当物体沿斜面DB向下滑动时和物体沿斜面AB向下滑动时，摩擦力所做的功相同。 同理，如图4所示，当物体从坡顶A点沿着4条粗糙度相同的不同轨迹1、2、3、4滑动到B点时，摩擦力所做的功力是一样的。 （2、3、4号轨道的转折点均平滑连接。）
图3 图4
2. 结论申请
这个结论在一些综合题中经常用到。 学生应分析问题的含义并得出结论：条件改变后摩擦功没有改变。 如果学生不知道这个结论，他们在解决问题时就会不知从何入手。 这里有两个例子。
【典型例1】（2012年江苏四市调查）水滑梯可以简化为如图所示的模型：倾斜角θ=37°的倾斜滑梯AB与水平滑梯BC平滑连接，起点A为距水面的高度。 H=7.0m斜面克服什么做功，BC长度d=2.0m，终点C距水面高度h=1.0m。 质量m=50kg的运动员从滑梯起点A自由滑下，无初速度。 运动员与AB、BC之间的动摩擦系数μ=0.10。 取重力加速度g=10m/s，cos37°=0.8，sin37°=0.6，运动员在运动时可视为一个质点。
(1)求运动员沿AB滑动时的加速度a；
(2)求运动员从A点滑行到C点时克服摩擦力所做的功W以及到达C点时的速度大小v；
(3) 使水平滑道的端点保持在同一垂直线上斜面克服什么做功，并将水平滑道的高度h和长度d调整到图中B'C'的位置。 当运动员从滑梯水平投掷到水面时，水平位移最大。 求此时滑道B′C′距水面的高度h′。
【分析】（1）运动员沿AB方向滑动，受到的力如图所示。
F=μmgcosθ
F =μF =μmgcosθ
根据牛顿第二定律：mgsinθ-μmgcosθ=ma
运动员沿AB滑动时的加速度大小为：
a=gsinθ-μgcosθ=5.2m/s
(2) 当运动员从A滑到C时，克服摩擦力所做的功为：
W =μmgcosθ +μmgd=μmg（+d）=500J
根据动能定理，mg(Hh)-W = mv -0
将数据代入即可得到运动员滑行至C点时的速度：v=10m/s。
(3) 从C点滑出到落到水面的过程中，运动员做平抛动作的时间为t，
由 h′=gt，我们得到 t=
滑动过程中，克服摩擦力所做的功保持不变，即W=500J
根据动能定理：mg(Hh′)-W = mv -0
求解得到 v=
运动员水平方向的位移：
x=vt= =
当Hhh′=h′时，水平位移最大，即h′＝=3m。
【点评】本题第二步是求解克服摩擦力所做的功W，为第三步改变水平滑道的高度h，然后保持克服摩擦力所做的功不变做铺垫滑动过程中。 如果学生不掌握斜坡上摩擦做功的这一特性，就会给第三步求解摩擦做功带来困难。
【典型例2】（2011年杭州2号型号）为了解决高层救援作业中梯子高度不够的问题，可以在消防梯上加长一根轻型滑杆。 图为消防演习中模拟救援被困人员示意图。 被困人员利用安全带上的挂钩挂在滑杆上，沿滑杆滑下至消防梯上逃生。 为了安全起见，被困人员滑到梯顶的速度不宜太快。 通常滑杆由两根直杆AO和OB通过光滑的转轴在O处连接而成。 滑杆A端用挂钩钩挂在高层建筑的固定物体上，并可缠绕。 固定物体可自由旋转，B端用铰链固定在梯子上端，可绕铰链自由旋转，以调节被困人员滑向梯顶的速度。 假设被困人员在调整后的滑杆上下移动时，滑杆与垂直方向的夹角保持不变。 被困人员可视为一个质点，不考虑经过O点时的机械能损失。 已知AO长度L=6m，OB长度L=12m，垂直墙到梯子上端点B的水平距离d=13.2m。 被困人员安全带上的挂钩与滑杆AO、滑杆OB之间的动摩擦因数均为μ=5/6。 被困人员到达梯顶B点的速度不能超过6m/s，取g=10m/s。
(1) 现在测量OB与垂直方向之间的角度为53°。 请分析判断被困人员滑到B点是否安全。（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
(2) 若梯顶B点与垂直墙的水平距离不变，求可安全营救的被困人员与梯顶B的最大垂直距离。
【分析】 (1)设OA、OB与垂直方向的夹角分别为α、β。 由几何关系可知：
d=L sinα+L sinβ α=37°
AB高差h=L cosα+L cosβ=12m
由动能定理可以得到被困人员下降的整个过程：
mgh -μmgL sinα -μmgL sinβ= mv
两者：mgh -μmgd= mv
解：v=2m/s
因为 v
(2) 假设滑杆两端点AB之间的最大垂直距离为h，则由动能定理可以得到被困人员的整个滑动过程：
mgh-μmgL sinα′-μmgL sinβ′= mv，其中 v=6m/s
求得d=L sinα′+L sinβ′。 求解：h≤12.8m
如果两根杆都是直的，则AB之间的垂直高度为：
H'
h′=m=12.24m
因为 h′
【点评】本题中，无论AO和OB的倾斜角度有多大，只要d不变，被困人员下降过程中摩擦力的功就不变，所以AO和OB的倾斜角度第二步OB未知。 它不影响确定摩擦力所需的工作。