1. 弹簧双振动器型号
弹簧双振动器不在高考要求大纲中，但基础好的同学还是需要掌握的。 首先，此类问题很容易出现在重点大学的基础物理专业中。 其次，弹簧双振子模型的解题思路没有超出高考大纲。 涉及到质心位置、变换参考系、简谐振动等知识点的综合。 ，只有掌握了这些，高中物理的动力体系才算比较完整。 事实上，高中数学物理的教学大纲并不系统。 目标要求较高的考生必须妥善掌握高考以外的考试点，使数学物理知识体系完整。 这对于解决高考题也会有帮助。
让我们看一个示例问题：
话题：
如图所示，轻质弹簧的长度为L，刚度系数为k。 弹簧两端固定有两个小球A、B，质量分别为m_{1}、m_{2}。 球可以被视为质点。 以球A的初始位置为坐标原点，向右建立水平坐标系。 在初始时刻，球和弹簧保持静止。 现在给质量为 m_{1} 的球 A 一个水平向右的初速度 v_{0}，并尝试求任意时刻两个球的位置坐标和相对距离 d(t)（忽略所有摩擦力）。
回答：
初始时刻的质心位置为：
x_{text{质心}}(0)=frac{m_{2}L}{m_{1}+m_{2}} \
易知，质心以速度u保持匀速直线运动，且速度u满足：
(m_{1}+m_{2})u=m_{1}v_{0} \
则质心位置坐标随时间变化的表达式为：
begin{} x_{text{质心}}(t)&=ut+x_{text{质心}}(0)\ &=frac{m_{1}v_{0}} {m_{1 }+m_{2}}t+frac{m_{2}L}{m_{1}+m_{2}}\ end{} \
以质心为参考系，球A、B分别做简谐振动。 弹簧整体可以看作是两个弹簧的串联。 球A到质心的弹簧刚度系数k_{1}和球B到质心的弹簧刚度系数k_{2}分别满足：
k_{1}x_{text{质心}}(0)=k_{2}(L-x_{text{质心}}(0))=kL \
不难理解：
begin{} k_{1}&=frac{k(m_{1}+m_{2})}{m_{2}}\ k_{2}&=frac{k(m_{1}+ m_{2})}{m_{1}} end{} \
因此，不难得出高中物理弹簧，球A相对于质心做简谐振动的角速度{1}，球B相对于质心做简谐振动的角速度{2}分别满足：
begin{} {1}&=sqrt{frac{k_{1}}{m_{1}}}=sqrt{frac{k(m_{1}+m_{2})}{m_ {1}m_{2}}}\ {2}&=sqrt{frac{k_{2}}{m_{2}}}=sqrt{frac{k(m_{1}+m_ {2})}{m_{1}m_{2}}}\ end{} \
因此，小球A相对于质心的简谐振动的振幅A_{1}和小球B相对于质心的简谐振动的振幅A_{2}分别满足：
begin{} A_{1}&=frac{v_{0}-u}{{1}}=frac{m_{2}v_{0}}{m_{1}+m_{2}} sqrt{frac{m_{1}m_{2}}{k(m_{1}+m_{2})}}\ A_{2}&=frac{u}{{2}}= frac{m_{1}v_{0}}{m_{1}+m_{2}}sqrt{frac{m_{1}m_{2}}{k(m_{1}+m_{2} ）}}\ 结尾{} \
因此，如果以质心为参考系，小球A和小球B相对于质心做简谐振动，相对于质心的位置坐标为x_{1}^{ prime}(t) 和 x_{2}^{ prime}(t) （以任意时刻的质心为坐标原点，水平向右为正方向）分别满足：
begin{} x_{1}^{prime}(t)&=-(x_{text{质心}}(0)-A_{1}sin{1}t)\ &= frac {m_{2}v_{0}}{m_{1}+m_{2}}sqrt{frac{m_{1}m_{2}}{k(m_{1}+m_{2} )} }sinsqrt{frac{k(m_{1}+m_{2})}{m_{1}m_{2}}}t-frac{m_{2}L}{m_{1 }+ m_{2}}\ x_{2}^{prime}(t)&=(L-x_{text{质心}}(0)-A_{2}sin{2} t)\ &=frac{m_{1}L}{m_{1}+m_{2}}-frac{m_{1}v_{0}}{m_{1}+m_{2}} sqrt{ frac{m_{1}m_{2}}{k(m_{1}+m_{2})}}sinsqrt{frac{k(m_{1}+m_{2}) }{m_{ 1}m_{2}}}t\ end{} \
因此，球A和B相对于地面的位置坐标x_{1}(t)和x_{2}(t)分别满足：
begin{} x_{1}(t)&=x_{1}^{prime}(t)+ut+x_{text{质心}}(0)\ &=frac{m_{ 2} v_{0}}{m_{1}+m_{2}}sqrt{frac{m_{1}m_{2}}{k(m_{1}+m_{2})}}sin sqrt {frac{k(m_{1}+m_{2})}{m_{1}m_{2}}}t+frac{m_{1}v_{0}}{m_{1}+m_ {2 }}t\ x_{2}(t)&=x_{2}^{prime}(t)+ut+x_{text{质心}}(0)\ &=-压裂{m_{1}v_{0}}{m_{1}+m_{2}}sqrt{压裂{m_{1}m_{2}}{k(m_{1}+m_{2}) }}sin sqrt{frac{k(m_{1}+m_{2})}{m_{1}m_{2}}}t+L+frac{m_{1}v_{0}}{ m_{1} +m_{2}}t\ end{} \
任意时刻A球与B球之间的距离d满足：
begin{} d(t)&=x_{2}(t)-x_{1}(t)\ &=x_{2}^{prime}(t)-x_{1}^{prime }(t)\ &=L-v_{0}sqrt{frac{m_{1}m_{2}}{k(m_{1}+m_{2})}}sinsqrt{压裂{k(m_{1}+m_{2})}{m_{1}m_{2}}}t end{} \
有一种更简单的方法可以求解球 A 和 B 相对于地面的位置坐标 x_{1}(t) 和 x_{2}(t)。 假设还有另一个轻质弹簧高中物理弹簧，其质心位置和运动速度与问题中的弹簧一致。 不同的是，假想的弹簧没有变形。 假设假想弹簧左端的位置坐标为P_{1}(t)，右端的位置坐标为P_{2}(t)。 那么小球A相对于P_{1}(t)的位置坐标为x^{prime prime}_{1}(t)为：
begin{} x^{primeprime}_{1}(t)&=A_{1}sin{1}t\ &=frac{m_{2}v_{0}}{m_ {1}+m_{2}}sqrt{frac{m_{1}m_{2}}{k(m_{1}+m_{2})}}sinsqrt{frac{k(m_ {1}+m_{2})}{m_{1}m_{2}}}t\ end{} \
同理，球B相对于P_{2}(t)的位置坐标x^{primeprime}_{2}(t)为：
begin{} x^{primeprime}_{2}(t)&=-A_{2}sin{2}t\ &=-frac{m_{1}v_{0}} {m_{1}+m_{2}}sqrt{frac{m_{1}m_{2}}{k(m_{1}+m_{2})}}sinsqrt{frac{k (m_{1}+m_{2})}{m_{1}m_{2}}}t\ end{} \
不难发现，P_{1}(t)和P_{2}(t)的位置坐标满足：
begin{} P_{1}(t)&=ut\ &=frac{m_{1}v_{0}}{m_{1}+m_{2}}t\ P_{2}(t )&=ut+L\ &=frac{m_{1}v_{0}}{m_{1}+m_{2}}t+L\ end{} \
因此，容易发现球A和球B相对于地面的位置坐标满足：
begin{} x_{1}(t)&=x^{primeprime}_{1}(t)+P_{1}(t)\ &=frac{m_{2}v_{0 }}{m_{1}+m_{2}}sqrt{frac{m_{1}m_{2}}{k(m_{1}+m_{2})}}sinsqrt{frac {k(m_{1}+m_{2})}{m_{1}m_{2}}}t+frac{m_{1}v_{0}}{m_{1}+m_{2}}t \ x_{2}(t)&=x^{primeprime}_{2}(t)+P_{2}(t)\ &=-frac{m_{1}v_{0} {m_{1}+m_{2}}sqrt{frac{m_{1}m_{2}}{k(m_{1}+m_{2})}}sinsqrt{frac{ k(m_{1}+m_{2})}{m_{1}m_{2}}}t+frac{m_{1}v_{0}}{m_{1}+m_{2}}t+ L \ 结尾{} \