(1)对直线运动图象的进一步理解，x－t图象与v－t图象的区别，如：点、线、斜率、截距、面积的物理意义；(2)追及、相遇问题。

例1．( 2020山东卷∙1)一质量为m的乘客乘坐竖直电梯下楼，其位移s与时间t的关系图像如图所示。乘客所受支持力的大小用FN表示，速度大小用v表示。重力加速度大小为g。以下判断正确的是（　　）

A. 0～t1时间内，v增大，FN＞m
B. t1～t2 时间内，v减小，FN＜mg
C. t2～t3 时间内，v增大，FN ＜mg
D. t2～t3时间内，v减小，FN ＞mg
【答案】D
【解析】由于s－t图像的斜率表示速度，可知在0～t1时间内速度增加，即乘客的加速度向下，处于失重状态，则FN＜mg，选项A错误；在t1～t2时间内速度不变，即乘客的匀速下降，则FN＝mg，选项B错误；在t2～t3时间内速度减小，即乘客的减速下降，超重，则FN＞mg，选项C错误，D正确。
【点睛】本题以位移图象给出解题信息，考查对位移图象的理解及其相关的知识点。在位移—时间图象中，纵轴表示位移，横轴表示时间，图线的斜率表示运动质点的速度。
例2．( 2018全国II卷∙19)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度－时间图象分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶。下列说法正确的是(　　)

A．两车在t1时刻也并排行驶
B．在t1时刻甲车在后，乙车在前
C．甲车的加速度大小先增大后减小
D．乙车的加速度大小先减小后增大
【答案】BD
【解析】本题可巧用逆向思维分析，两车在t2时刻并排行驶，根据题图分析可知在t1～t2时间内甲车运动的位移大于乙车运动的位移，所以在t1时刻甲车在后，乙车在前，B正确，A错误；依据v－t图象斜率表示加速度分析出C错误，D正确。
【点睛】本题考查了对图象的理解及利用图象解题的能力问题。理解在v－t图象中图象包围的面积代表了运动走过的位移，图象的斜率代表加速度，是解答此题的关键。

1．(多选)一条东西方向的平直公路边上有两块路牌A、B，A在西B在东，一辆匀速行驶的汽车自东向西经过B时，一只小鸟恰自A向B匀速飞去，小鸟飞到汽车正上方立即折返，以原速率飞回A，过一段时间后，汽车也行驶到A。它们的位置—时间图象如图所示，图中t2＝2t1，由图可知(　　)

A．小鸟的速率是汽车速率的两倍
B．第一次相遇时小鸟与汽车位移的大小之比是3∶1
C．小鸟飞行的总路程是汽车的1.5倍
D．小鸟和汽车在0～t2时间内位移相等
【答案】BC
【解析】由题意可知，相遇所用时间t0＝12t1＝14t2，故相遇时汽车的位移为全程的14，所以小鸟与汽车的位移大小之比为3∶1，小鸟飞过的路程为全程的32倍，即汽车的1.5倍，所以BC正确；由题图知，小鸟用时为汽车的12，根据v＝st可得，小鸟的速率为汽车的3倍，所以A错误；位移是矢量，在此过程中，小鸟的位移为0，所以D错误。
2．(多选)某时刻，两车从同一地点、沿同一方向做直线运动，下列关于两车的位移x、速度v随时间t变化的图象，能反映t1时刻两车相遇的是(　　)

【答案】BD
【解析】x－t图象中，x轴表示物体位移，则由题图可知，两车不会相遇，故A错误；由题图可知，t1时刻两图线相交，故两车相遇，故B正确；v－t图象表示物体的速度随时间变化的规律，图象与时间轴围成的面积表示物体通过的位移，由题图可知，两车通过的位移不同，故不会相遇，故C错误；由题图可知，两车在t1时间内通过的位移相同，故两车相遇，故D正确。
3．(多选)在平直公路上，汽车以10 m/s的速度匀速驶向路口，当行驶至距路口停车线20 m处时，还有3 s绿灯就要熄灭。而该汽车在绿灯熄灭时刚好停在停车线处，则汽车运动的速度—时间图象可能有(　　)

【答案】BC
【解析】由v－t图象与时间轴围成的图形面积表示位移知sA＝10＋02×3 m≠20 m，A错误；sB>15 m，可能为20 m，B正确；sC＝10×1＋10＋02×2 m＝20 m，C正确；sD＝10×0.5＋10＋02×2.5 m＝17.5 m<20 m，D错误。
4．质点做直线运动时的加速度随时间变化的关系如图所示，该图线的斜率为k，图中斜线部分面积为S，下列说法正确的是(　　)

A．斜率k表示速度变化的快慢
B．斜率k表示速度变化的大小
C．面积S表示t1～t2的过程中质点速度的变化量
D．面积S表示t1～t2的过程中质点的位移
【答案】C
【解析】斜率k表示加速度变化的快慢，A、B项错误；面积S表示t1～t2的过程中质点速度的变化量，C项正确、D项错误。
5．(多选)甲、乙两车某时刻由同一地点，沿同一方向开始做直线运动，以该时刻作为计时起点，得到两车的位移—时间图象，即x－t图象如图所示，甲图象过O点的切线与AB平行，过C点的切线与OA平行，则下列说法中正确的是(　　)

A．在两车相遇前，t1时刻两车相距最远
B．t3时刻甲车在乙车的前方
C．0～t2时间内甲车的瞬时速度始终大于乙车的瞬时速度
D．甲车的初速度等于乙车在t3时刻的速度
【答案】AD
【解析】题中图象的纵坐标表示物体所在的位置，由图可知t1时刻两图线相距最大，即两车的距离最大，故A正确；t3时刻两车处在同一位置，故B错误；图线斜率表示速度，由题图可知，0～t1时间内甲图线的斜率大于乙图线的斜率，之后甲图线的斜率小于乙图线的斜率，故C错误；图线的斜率表示物体的速度，由题图可知，甲车的初速度等于乙车在t3时刻的速度，故D正确。
6．某质点做直线运动，运动速率的倒数1v与位移x的关系如图所示，关于质点的运动，下列说法正确的是(　　)

A．质点做匀加速直线运动
B．1v－x图线斜率等于质点运动的加速度
C．四边形AA′B′B的面积可表示质点从O到C′所用的运动时间
D．四边形BB′C′C的面积可表示质点从C到C′所用的运动时间
【答案】D
【解析】由题中1v－x图象可知，1v与x成正比，即vx＝常数，质点做减速直线运动，故A错误；1v－x图线斜率不等于质点运动的加速度，故B错误；由于三角形OBC的面积S1＝12OC•BC＝x12v1，体现了从O到C所用的时间，同理，从O到C′所用的时间可由S2＝x22v2体现，所以四边形BB′C′C面积可体现质点从C到C′所用的时间，故C错误，D正确。
7．(多选)汽车A和汽车B（均可视为质点）在平直的公路上沿两平行车道同向行驶，A车在后（如图甲所示）。以某时刻作为计时起点，此时两车相距x0＝12 m。汽车A运动的x－t图象如图乙所示，汽车B运动的v－t图象如图丙所示。则下列说法正确的是(　　)

A．在t＝3 s时两车相距最远，且最远距离为20 m
B．B车在0～6 s内的位移为23 m
C．在t＝8 s时两车相遇
D．若t＝1 s时A车紧急制动(视为匀变速)，要使A车追不上B车，则A车的加速度大小应大于0.25 m/s2
【答案】AD
【解析】当两车速度相等时，两车相距最远，由图象可知，vA＝4 m/s，B车的加速度a＝－2m/s2，由vA＝vB＋at，得t＝2 s，即在3 s时二者相距最远，此时xA＝vAt＝12 m，xB＝20 m，最远距离Δx＝xB＋x0－xA＝20 m，故A正确；B车在0～6 s内的位移等于在0～5 s内的位移x＝24 m，故B错误；t＝8 s时A车位移xA＝vAt′＝4 m，因为xB＋x0>xA，两车不相遇，故C错误；t＝1 s时，A匀速位移xA＝vAt＝1 m，B车匀速位移xB＝vBt＝8 m，两车间的距离Δx′＝8 m＋12 m－4 m＝16 m，B车匀减速到停止的位移xB′＝16 m，当B停止时，A也停止时，A的加速度最小，A车匀减速运动的总位移xA总＝Δx′＋xB′＝32 m，对A车，根据速度位移公式vA2＝2axA总，可得A车的加速度至少为0.25 m/s2，故D正确。
8．有一人在平直马路边漫步(速度不变)，他发现每隔t1时间有一路公共汽车迎面开过，他还发现每隔t2时间有一辆这路公共汽车从身后开过(公共汽车匀速行驶)，于是他计算出这路车从汽车站发车的时间间隔是(　　)
A．2t1t2t1＋t2 B．2t1t22t1＋t2 C．t1t22t1＋t2 D．2t1t2t1＋t2
【答案】D
【解析】设车的速度是a，人的速度是b，每隔t时间发一辆车。两辆车之间的距离是at，车从前面来是相遇问题，人与车之间的距离也是at，那么at＝t1(a＋b)①；车从背后超过是一个追及问题，那么at＝t2(a－b)②，则由①式和②式可知，t1(a＋b)＝t2(a－b)，化简得b＝at2－t1t1＋t2，所以，at＝t1(a＋b)＝t1a＋at2－t1t1＋t2，化简得t＝t11＋t2－t1t2＋t1，从而得出t＝2t1t2t1＋t2，故D正确，A、B、C错误。
9．随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显，分析交通违法事例，将警示我们遵守交通法规，珍惜生命。如图所示为某型号货车紧急制动时(假设做匀减速直线运动)的v2－x图象(v为货车的速度，x为制动距离)，其中图线1为满载时符合安全要求的制动图象，图线2为严重超载时的制动图象。某路段限速72 km/h，是根据该型号货车满载时安全制动时间和制动距离确定的，现有一辆该型号的货车严重超载并以54 km/h的速度行驶。
通过计算求解：

(1)驾驶员紧急制动时，该型号严重超载的货车制动时间和制动距离是否符合安全要求；
(2)若驾驶员从发现险情到采取紧急制动措施的反应时间为1 s，则该型号货车满载时以72 km/h速度正常行驶的跟车距离至少应为多远。
【解析】(1)根据速度位移公式v2－v20＝2ax，有v2＝2ax＋v20，图线斜率的一半表示加速度
根据题中图象得到：满载时，加速度为5 m/s2，严重超载时加速度为2.5 m/s2
设该型号货车满载时以72 km/h(20 m/s)的速度减速
制动距离x1＝v22a1＝4002×5 m＝40 m
制动时间为t1＝va1＝205 s＝4 s
设该型号货车严重超载时以54 km/h(15 m/s)的速度减速，制动距离x2＝v′22a2＝1522×2.5 m＝45 m>x1
制动时间为t2＝v′a2＝152.5 s＝6 s>t1
所以驾驶员紧急制动时，该型号严重超载的货车制动时间和制动距离均不符合安全要求。
(2)货车在反应时间内做匀速直线运动
x3＝vt3＝20×1 m＝20 m
跟车距离最小值x＝v22a1＋x3＝40 m＋20 m＝60 m。
10．货车A正在公路上以20 m/s的速度匀速行驶，因疲劳驾驶，司机注意力不集中，当司机发现正前方有一辆静止的轿车B时，两车距离仅有75 m。
(1)若此时B车立即以2 m/s2的加速度启动，通过计算判断：如果A车司机没有刹车，是否会撞上B车；若不相撞，求两车相距最近时的距离；若相撞，求出从A车发现B车开始到撞上B车的时间。
(2)若A车司机发现B车，立即刹车(不计反应时间)做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2(两车均视为质点)，为避免碰撞，在A车刹车的同时，B车立即做匀加速直线运动(不计反应时间)，问：B车加速度至少多大才能避免相撞。(这段公路很窄，无法靠边让道)
【解析】(1)当两车速度相等时，设经过的时间为t，则：vA＝vB
对B车，vB＝at
联立可得：t＝10 s
A车的位移为：xA＝vAt＝200 m
B车的位移为：xB＝12at2＝100 m
因为xB＋x0＝175 m<xA
所以两车会相撞，设经过时间t相撞，有：vAt＝x0＋12at2
代入数据解得：t1＝5 s，t2＝15 s(舍去)。
(2)已知A车的加速度大小aA＝2 m/s2，初速度v0＝20 m/s
设B车的加速度为aB，B车运动经过时间t，两车相遇时，两车速度相等，则有：
vA＝v0－aAt，vB＝aBt
且vA＝vB
在时间t内A车的位移为：xA＝v0t－12aAt2
B车的位移为：xB＝12aBt2
又xB＋x0＝xA
联立可得：aB≈0.67 m/s2。
11．甲、乙两车从相距110 m的两地相向运动，它们的v－t图象如图所示，忽略车掉头所需时间。

(1)求t＝4 s时甲、乙两车各自的位移大小。
(2)通过计算说明两车是否相遇。如能相遇，则计算相遇点的位置；如不能相遇，则计算两车间的最小距离。
【解析】(1)由v－t图象可知，甲向乙做匀减速运动，加速度大小a1＝4 m/s2
乙向甲先做加速运动后做减速运动，加速度大小分别为
a2＝10 m/s2和a2′＝30 m/s2
t＝4 s时甲的位移大小为x1＝v0t－12a1t2＝48 m
乙的位移大小为x2＝12×4×30 m＝60 m。
(2)乙车在t＝4 s时掉头开始做与甲同向的初速度为零的匀加速运动，甲、乙两车此时相距Δx＝110 m－x1－x2＝2 m，甲的速度大小为v1＝v0－a1t＝4 m/s
假设两车从t＝4 s时再经t1时间能够相遇
乙的位移大小x2′＝12a2′t12
甲的位移大小x1′＝v1t1－12a1t12
两车相遇应满足x2′＝x1′－Δx
联立并整理得17t12－4t1＋2＝0，由判别式可知方程无解，所以假设不成立，两车不能相遇。
设从t＝4 s时再经t2时间两车速度相等，即两车相距最近，有a2′t2＝v1－a1t2，可得t2＝217 s
即两车间最小距离xmin＝12a2′t22＋Δx－v1t2－12a1t22＝1.76 m。

12．今年夏天南方暴雨多发，多地发生山体滑坡事故。假设某旅游区在发生山体滑坡时，山坡的底部B处正有一游客逗留，如图所示，此时距坡底160 m的山坡A处有一圆形石头正以2 m/s的速度、1 m/s2的加速度匀加速下滑，游客发现后，立即以0.4 m/s2的加速度由静止开始做匀加速直线运动跑离坡底，石头滑到B处前后速度大小不变，但开始以2 m/s2的加速度匀减速运动。已知游客从发现圆形石头到开始逃跑的反应时间为1 s，游客跑动的最大速度为6 m/s，且游客的运动与圆形石头的运动在同一竖直平面内。试求：

(1)圆形石头滑到坡底B处时，游客前进的位移大小；
(2)该游客若能脱离危险，请计算石头与游客间的最小距离，若不能脱离危险，请通过计算说明理由。
【解析】(1)设石头从A处滑到坡底B处的时间为t1，到达坡底B处速度为v1，则：
x1＝v0t1＋12at12
代入数据解得t1＝16 s
游客加速到最大速度用时t2＝＝15 s
t1＝t2＋1 s，此过程游客一直在加速前进
游客前进的位移x2＝12a′t22＝45 m。
(2)石头滑到坡底B处时，石头的速度v1＝v0＋at1＝18 m/s
游客的速度v2＝a′t2＝6 m/s
此时游客刚好达到最大速度，此后石头做匀减速运动，游客开始以vm做匀速运动，设又经历时间t3二者的速度相等，即：
v共＝v1－a石t3＝vm
解得：t3＝6 s
石头在这段时间内的位移x石＝ t3＝72 m
游客此时的总位移x游＝x2＋vmt3＝81 m
说明石头此刻未能追上游客，游客能脱离危险
石头与游客间的最小距离Δxmin＝81 m－72 m＝9 m。

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小题必练2：运动图象与追击相遇问题

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