(1)整体法与隔离法的应用，物体的受力分析；(2)共点力的平衡条件及分析；(3)动态平衡问题分析、正交分解法应用。

例1．(2020∙全国III卷∙17)如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β。若α＝70°，则β等于(　　)

A．45° B．55° C．60° D．70°
【答案】B
【解析】甲物体是拴牢在O点，且甲、乙两物体的质量相等，则甲、乙绳的拉力大小相等，O点处于平衡状态，则左侧绳子拉力的方向在甲、乙绳子的角平分线上，如图所示，根据几何关系有180°＝2β＋α，解得β＝55°。

【点睛】本题考查共点力平衡的应用，掌握力的平行四边形定则的内容，利用几何关系列式即可求解。体现了核心素养中科学推理、科学论证要素。
例2．(2020∙山东卷∙8)如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行。A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为(　　)

A．13 B．14 C． D．16
【答案】C
【解析】当木板与水平面的夹角为45°时，两物块刚好滑动，对A物块受力分析如图，A、B之间的滑动摩擦力f1＝μmgcos 45°，根据平衡条件可知T＝mgsin 45°＋f1；对B物块受力分析如图沿斜面方向，B与斜面之间的滑动摩擦力f2＝μ•3mgcos 45°，根据平衡条件可知2mgsin 45°＝T＋f1＋f2，解得。

【点睛】本题考查了多个物体的平衡问题，解题的关键是对选取的对象进行正确的受力分析，不多力，不少力，同时注意摩擦力中正压力的求解。体现了模型建构、科学推理等核心素养。

1．水平地面上叠放着A、B两物体，如图所示，现在B上施加一个水平恒定拉力F，在力作用下A、B两物块静止，某时刻撤去力F后，二者仍静止.下列说法正确的是(　　)

A．撤去F之前A受2个力作用
B．撤去F之前B受到6个力作用
C．撤去F前后，A的受力个数由3个变为2个
D．A、B间的动摩擦因数一定等于B与地面间的动摩擦因数
【答案】A
【解析】撤去F之前，物体A受重力和B对A的支持力，共2个力的作用；B受到重力、A对B的压力，地面对B的支持力、拉力和地面对B的摩擦力共5个力的作用；撤去F之后，物体A受重力和B对A的支持力，共2个力的作用；B受到重力、A对B的压力，地面对B的支持力共3个力的作用。故A正确，BC错误；A、B间没有摩擦力作用，B与地面间是静摩擦力，所以无关判断A、B间的动摩擦因数与B与地面间的动摩擦因数之间的关系，故D错误。
2．动画片《猫和老鼠》中有这样的片段：可爱的老鼠“杰瑞”跳上滑雪板，在雪地上滑雪前行，此来逃避调皮猫“汤姆”的追赶。假设在某段倾斜的雪坡上，“杰瑞”不使用雪杖时恰能匀速沿雪坡向下滑行，不考虑空气阻力，“杰瑞”在此雪坡上向下滑行的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．匀速滑行时，倾斜雪坡对滑雪板支持力的方向竖直向上
B．匀速滑行时，滑雪板对“杰瑞”作用力的方向垂直于板面向上
C．若“杰瑞”抛掉两个雪杖，它仍能沿雪坡匀速下滑
D．若“杰瑞”抛掉两个雪杖，它将沿雪坡加速下滑
【答案】C
【解析】匀速滑行时，倾斜雪坡对滑雪板支持力的方向垂直斜坡向上，选项A错误；匀速滑行时，滑雪板对“杰瑞”作用力的与重力等大反向，即方向竖直向上，选项B错误；因匀速下滑时mgsin θ＝μmgcos θ，即sin θ＝μcos θ，与质量无关，则若“杰瑞”抛掉两个雪杖，它仍能沿雪坡匀速下滑，选项C正确，D错误。
3．如图所示，质量为m的小球置于倾角为30°的光滑斜面上，劲度系数为k的轻弹簧一端系在小球上，另一端固定在P点，小球静止时，弹簧与竖直方向的夹角为30°，则弹簧的伸长量为(　　)

A．mgk B．3mg2k
C．3mg3k D．3mgk
【答案】C
【解析】对小球受力分析可知小球受力平衡，由题意可知弹簧弹力与竖直方向夹角为30°，竖直方向上弹簧弹力与斜面支持力的合力与重力平衡，根据几何关系可知2kxcos 30°＝mg，解得x＝3mg3k，故C项正确。
4．(多选)如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是(　　)

A．绳的右端上移到b′，绳子拉力不变
B. 将杆N向右移一些，绳子拉力变大
C. 绳的两端高度差越小，绳子拉力越小
D. 若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
【答案】AB
【解析】受力分析如图所示，若将绳的右端上移到b′点，左端绳子与竖直方向夹角θ不变，由于衣服及挂钩的重力mg不变，又2Tcos θ＝mg，则T＝mg2cosθ，所以绳子拉力不变，故A项正确；若将杆向右移一些，则绳子与竖直方向夹角θ增大，由T＝mg2cosθ知绳子拉力增大，故B项正确；绳的两端高度差无论如何变化，绳子与竖直方向的夹角θ都不变，由T＝mg2cosθ知，绳子拉力始终不变，故C项错误；若换挂质量更大的衣服，只是衣服的重力增大，绳子与竖直方向的夹角θ不变，则衣架悬挂点不变，故D项错误。

5．如图所示，有一质量不计的杆AO，长为R，可绕A自由转动。用绳在O点悬挂一个重为G的物体，另一根绳一端系在O点，另一端系在圆弧形墙壁上的C点。当点C由图示位置逐渐向上沿圆弧CB移动过程中(保持OA与地面夹角θ不变)，OC绳所受拉力的大小变化情况是(　　)

A．逐渐减小
B．逐渐增大
C．先减小后增大
D．先增大后减小
【答案】C
【解析】对G分析，G受力平衡，则拉力等于重力，故竖直绳的拉力不变；再对O点分析，O受绳子的拉力、OA的支持力及OC的拉力而处于平衡；受力分析如图所示；将F和OC绳上的拉力合成，其合力与G大小相等，方向相反，则在OC上移的过程中，平行四边形的对角线保持不变，平行四边形发生图中所示变化，则由图可知OC的拉力先减小后增大，图中D点时力最小；故选C项。
6．A、B、C三个物体通过细线和光滑的滑轮相连，处于静止状态，如图所示，C是一箱砂子，砂子和箱的重力都等于G，动滑轮的质量不计，打开箱子下端开口，使砂子均匀流出，经过时间t0流完，则下图中哪个图线表示在这个过程中桌面对物体B的摩擦力f随时间的变化关系(　　)

【答案】B
【解析】选择A、B整体作为研究对象，由于这个整体开始处于静止状态，所以后来应该一直处于静止状态，整体共受到5个力的作用，即重力G＝GA＋GB，支持力N、静摩擦力f、两根绳子的拉力F1和F2，其中F1＝F2＝GC2，根据力的平衡得f＝F1＋F2＝GC，所以当砂子均匀流出时，B项正确。
7．在水平地面上固定一个上表面光滑的斜面体，在它上面放有质量为m的木块，用一根平行于斜面的细线连接一个轻环，并将轻环套在一根两端固定、粗糙的水平直杆上，整个系统处于静止状态，如图所示，则杆对环的摩擦力大小为(　　)

A．mgsin θ B．mgcos θ
C．mgtan θ D．mgsin θcos θ
【答案】D
【解析】设细线的弹力为F，对斜面上的物块由共点力平衡条件有F－mgsin θ＝0，对轻环由共点力平衡条件有Fcos θ－f＝0，解得杆对环的摩擦力大小为f＝mgsin θcos θ。
8．如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O是球心，碗的内表面光滑，一根轻质杆的两端固定有两个小球，质量分别是m1、m2，当它们静止时，m1、m2与球心的连线跟水平面分别成60°、30°，则碗对两小球m1、m2的弹力大小之比是(　　)

A．1∶2 B．3∶1
C．1∶3 D．3∶2
【答案】B
【解析】m1、m2组成的系统处于平衡状态，对m1、m2整体受力分析如图所示，N1、N2分别为碗对m1和m2的弹力，水平方向上合力为零，N1sin 30°＝N2sin 60°，则 N1∶N2＝3∶1，B项正确。

9．如图所示，在细绳AC和水平拉力共同作用下竖直轻杆AB处于平衡状态。若AC加长，使C点左移，AB仍保持平衡状态。细绳AC上的拉力T和杆AB受到的压力N与原先相比，下列说法正确的是(　　)

A．T和N都增大
B．T和N都减小
C．T增大，N减小
D．T减小，N增大
【答案】B
【解析】若AC加长，由于悬挂的重物质量不变，水平拉力不变，分析结点A处受力情况，细绳AC上拉力T 在水平方向分力大小等于悬挂的重物重力，在竖直方向分力等于AB受到的压力，若AC加长，使C点左移，AB仍保持平衡状态，显然T和N都减小，故B项正确。

10．如图所示，高层住宅外安装空调主机时，电机通过缆绳牵引主机沿竖直方向匀速上升。为避免主机与阳台、窗户碰撞，通常会用一根拉绳拽着主机，地面上拽拉绳的人通过移动位置，使拉绳与竖直方向的夹角β保持不变，则在提升主机过程中，下列结论正确的是(　　)

A．缆绳拉力F1和拉绳拉力F2都增大
B．缆绳拉力F1和拉绳拉力F2都不变
C．缆绳与竖直方向的夹角α可能大于角β
D．缆绳拉力F1的功率保持不变
【答案】A
【解析】对物体受力分析如图，物体匀速运动，故合力为零，在竖直方向：F1cos α－mg－F2cos β＝0，在水平方向：F1sin α－F2sin β＝0，在上升过程中，α增大，而β不变，联立可以判断缆绳拉力F1和拉绳拉力F2都增大，故A项正确，B项错误；因F1大于F2，故缆绳与竖直方向的夹角α小于角β，故C项错误；缆绳拉力的功率P＝F1vcos α，由于F1cos α＝mg＋F2cos β增大，v不变，故P增大，故D项错误。
11．如图所示，半圆形框架竖直放置在粗糙的水平地面上，光滑的小球P在水平外力F的作用下处于静止状态，P与圆心O的连线与水平面的夹角为θ，将力F在竖直面内沿顺时针方向缓慢地转过90°，框架与小球始终保持静止状态。在此过程下列说法正确的是(　　)

A．框架对小球的支持力一直减小
B．拉力F的最小值为mgsinθ
C．地面对框架的摩擦力先减小后增加
D．框架对地面的压力一直增大
【答案】A
【解析】用图解法求解，力F顺时针转过90°的过程中，F先减小后增大，最小值为mgcos θ，B项错误；框架对小球的支持力N一直减小，A项正确；以框架为研究对象，由平衡条件得地面对框架的摩擦力大小等于Ncos θ，随N减小，Ncos θ减小，C项错误；框架对地面的压力等于mg＋Nsin θ，随N的减小而减小，D项错误。

12．如图所示，光滑固定斜面上有一个质量为10 kg的小球被轻绳拴住悬挂在天花板上，已知绳子与竖直方向的夹角为45°，斜面倾角为30°，整个装置处于静止状态，g取10 m/s2。求：(2取1.414)

(1)绳中拉力的大小和斜面对小球支持力的大小；
(2)若另外用一个外力拉小球，能够把小球拉离斜面，求最小拉力的大小。
【解析】(1)如图，沿水平方向和竖直方向建立直角坐标系，对小球受力分析，把不在坐标轴上的力沿轴分解。则：

水平方向上：FTsin 45°－FNsin 30°＝0
竖直方向上：FTcos 45°＋FNcos 30°－mg＝0
由以上两式得FN≈73.2 N，FT≈51.8 N。
(2)外力方向与绳子垂直时，拉力最小：Fmin＝mgsin 45°
代入数据，解得：Fmin≈70.7 N。
13．如图所示，质量M＝23 kg的木块A套在水平杆上，并用轻绳将木块A与质量m＝3 kg的小球相连。今用与水平方向成α＝30°角的力F＝103 N，拉着球带动木块一起向右匀速运动，运动中M、m相对位置保持不变，取g＝10 m/s2。求：

(1)运动过程中轻绳与水平方向的夹角θ；
(2)木块与水平杆间的动摩擦因数μ。
【解析】(1)设轻绳对小球的拉力为FT，小球受力如图甲所示，由平衡条件可得：

Fcos 30°－FTcos θ＝0
Fsin 30°＋FTsin θ－mg＝0
解得：FT＝103 N，θ＝30°。
(2)以木块和小球组成的整体为研究对象，受力分析如图乙所示，由平衡条件得：
Fcos 30°－Ff＝0
FN＋Fsin 30°－(M＋m)g＝0
又Ff＝μFN
解得：μ＝35。

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小题必练3：受力分析共点力的平衡

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