重难点15重力场电场磁场的组合

1．如图所示为一种质谱仪示意图，由加速电场、静电分析器和磁分析器组成.若静电分析器通道中心线的半径为R，通道内均匀辐射电场在中心线处的电场强度大小为E，磁分析器有范围足够大的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外。一质量为m、电荷量为q的粒子从静止开始经加速电场加速后沿中心线通过静电分析器，由P点垂直边界进入磁分析器，最终打到胶片上的Q点.不计粒子重力，下列说法中正确的是（　　）

A．极板M比极板N电势低
B．加速电场的电压

C．直径

D．若一群粒子从静止开始经过上述过程都落在胶片上同一点，则该群粒子具有相同的电荷量
2．在光滑绝缘的水平面上建有如图所示的平面直角坐标系Oxy，在二、三象限的y=L和y=-L区域中，存在平行于y轴且与y轴正向相反的匀强电场；在一、四象限的正方形区域abcd内存在竖直向下的匀强磁场，正方形的边长为2L，坐标原点O为ab边的中点。一质量为m的绝缘不带电小球甲，以速度v₀沿x轴正向做匀速运动，与静止在坐标原点的带正电小球乙发生弹性正碰（碰撞时间很短），乙球的质量为2m，带电量为q，碰撞前后电量保持不变，甲、乙两球均可视为质点，且m、q、L、v₀均为已知，sin53°=0.8，cos53°=0.6。（　　）

A．碰撞后甲球的速度大小为

B．两球碰后，若乙球恰从d点离开磁场则乙球在磁场中的运动时间

C．要使两球再次相碰，磁感应强度必须大于

D．要使两球再次相碰，电场强度和磁感应强度大小必须满足

3．如图所示，在x轴上方的空间存在竖直向下的匀强电场，在x轴下方的空间存在垂直于

平面向外的匀强磁场，电场强度、磁感应强度的大小均未知。一质量为m、电荷量为q（

）的粒子从y轴上

处的P点以初速度

垂直y轴向右射出，刚进入磁场时的速度方向与x轴正方向夹角为

。已知粒子恰好能回到y轴上的P点。不计粒子重力。
(1)求匀强电场的电场强度的大小；
(2)求粒子从P点射出到第一次回到P点所经历的时间；
(3)若改变匀强磁场的磁感应强度大小，将粒子在P点以不同初速度

垂直y轴向右射出，要使粒子均能回到y轴上的P点，求匀强磁场的磁感应强度大小。

4．如图，在y＞0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E；在y＜0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场。一个氕核

和一个氘核

先后从y轴上y＝h点以相同的动能射出，速度方向沿x轴正方向。已知

进入磁场时，速度方向与x轴正方向的夹角为60°，并从坐标原点O处第一次射出磁场。

的质量为m，电荷量为q。不计重力。求：
(1)

第一次进入磁场的位置到原点O的距离；
(2)磁场的磁感应强度大小；
(3)

第一次离开磁场的位置到原点O的距离。

5．如图所示，极板A、B间有

的加速电场，加速电场的右侧有电压可调的偏转电场U₁，且上极板C带正电，S₂O为偏转电场的中线。偏转电场的极板长为

，间距为

。最右侧紧靠偏转电场的是宽度为

的匀强磁场区域，磁感应强度为

（边界上也有磁场）、该磁场上下足够长。现有比荷为

的质子（重力不计），从小孔S₁飘入加速电场，被加速后经S₂沿偏转电场中线飞入偏转电场。已知：

，

。试回答下列问题：
(1)质子飞入偏转电场的初速度v₀；
(2)若偏转电压

，求质子离开磁场时的位置与O点间的距离；
(3)为使质子能进入磁场（即能离开偏转电场），所加偏转电压U₁的最大值；
(4)若保证质子能进入磁场，且从磁场的左边界离开磁场区城，求质子在磁场中运动的最长时间（计算结果保留2位有效数字）。

6．如图所示，真空中有一个半径

的圆形磁场区域，与x轴相切于坐标原点O，磁感应强度

，方向垂直于纸面向外，在圆形磁场区域的右侧有一水平放置的正对平行金属板M、N，板间距离为

，板长

，板间中线

的反向延长线恰好过磁场圆的圆心

。若在O点处有一粒子源，能均匀的向磁场中各个方向源源不断地发射速率相同、比荷为

且带正电的粒子，粒子的运动轨迹在纸面内。已知一个沿y轴正方向射入磁场的粒子，恰能沿直线

方向射入平行板间。不计重力、阻力及粒子间的相互作用力，求：
（1）粒子入射的速度

的大小；
（2）若已知两平行金属板间电场强度

，则从M、N板右端射出平行板间的粒子数与从O点射入磁场的总粒子的比值

。
（3）若平行板足够长，且在平行板的左端装上一挡板（图中未画出），挡板正中间

处有一小孔，恰能让单个粒子通过，且在两板间加上沿y轴负方向的匀强电场E和垂直

平面向里的匀强磁场

，要使粒子能从两极板间射出。求电场强度E的大小范围。（提示：带电粒子在复合场中的运动可以看成匀速直线运动和匀速圆周运动的合运动）

7．如图所示，在直角坐标系内，

射线（O为顶点）与y轴夹角为30°，

与y轴所围区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，

与x轴之间存在匀强电场，方向沿x轴负方向。一个带电粒子经加速电压U加速后，以与

平行的速度从N点进入磁场，

间距为

，带电粒子从

上的某点A（图中未画出）垂直于

离开磁场，从x轴上的某点C（图中未画出）垂直于x轴离开电场，不计粒子的重力。求∶
(1)带电粒子的电性及比荷；
(2)带电粒子在第一象限中的运动时间；
(3)匀强电场的电场强度。

8．如图所示，在xoy平面内，第一象限中有匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向，在x轴的下方有匀强磁场，方向垂直于纸面向里，有一个质量为m，电荷量为q的带负电的粒子（不计重力），从y轴上的P点以初速度

垂直于电场方向进入电场。经电场偏转后，沿着与x轴正方向成

进入磁场，并能垂直于y轴进入第三象限。求：
(1) p点离坐标原点的距离y；
(2)匀强磁场的磁感应强度；
(3)粒子从P点开始到离开磁场所用的时间t。

9．如图所示装置中，区域Ⅰ和Ⅲ中分别有竖直向上和水平向右的匀强电场，电场强度分别为E₁和E₂；Ⅱ区域内有垂直向外的水平匀强磁场，磁感应强度为B。一质量为m、带电量为q的带负电粒子（不计重力）从左边界O点正上方的M点以速度v₀水平射入电场，经水平分界线OP上的A点（图中未画出）与OP成60°角射入Ⅱ区域的磁场，并垂直竖直边界CD进入Ⅲ区域的匀强电场中。求：
(1)粒子在Ⅱ区域匀强磁场中运动的轨道半径；
(2)O、M间的距离；
(3)粒子从M点出发到第二次通过CD边界所经历的时间。

10．如图所示，在平面直角坐标系

的第Ⅱ、Ⅲ象限内放置着两个带有等量异种电荷的带电平行板，板间电压为U，间距为

，平板内部存在着垂直于坐标平面向外的匀强场，磁感应强度大小为

；第Ⅰ、Ⅳ象限内存在半径为L的圆形匀强磁场，磁场圆心在

点，磁场方向垂直于坐标平面向里，在第Ⅰ象限内纵坐标

的区域内存在方向沿着y轴负方向的匀强电场。现有一电荷量为

，质量为m的粒子，从

处以水平速度沿x轴正方向射出，恰好从坐标原点O进入磁场，然后从

点射出磁场进入电场区域且恰好未穿出电场。（粒子重力可忽略不计）求：
(1)平行板的上极板带何种电荷，圆形区域内磁场的磁感应强度大小；
(2)第Ⅰ象限

的区域内匀强电场的场强大小；
(3)粒子从

处开始沿x轴正方向运动到再次回到x轴所用时间。

11．如图所示，在平面直角坐标系

内，圆形区域半径为

，在

点与

轴相切且关于

轴对称。bc是圆形区域与

轴平行的一条直径，图中虚线是一条过b点的切线，虚线上方有沿

轴负方向的匀强电场，场强大小未知；圆形区域内有垂直

平面向外的匀强磁场；某带正电粒子，质量为

，带电量为

，以速度

从

点垂直

轴进入电场中，然后从b点进入磁场，最后从c点离开磁场。已知a点纵坐标

，带电粒子的重力忽略不计。求：
(1)匀强电场的电场强度

；
(2)匀强磁场的磁感应强度

(3)粒子从

点运动到达

轴的时间。

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直角三角形区域ABC内存在垂直纸面向里的匀强磁场B₁，线段CO=OB=L，θ=30°；第三象限内存在垂直纸面的匀强磁场B₂（图中未画出），过C点放置着一面与y轴平行的足够大荧光屏CD；第四象限正方形区域OBFE内存在沿x轴正方向的匀强电场。一电子以速度v₀从x轴上P点沿y轴正方向射入磁场，恰以O点为圆心做圆周运动且刚好不从AC边射出磁场；此后电子经第四象限进入第三象限，经过y轴时速度方向与y轴负方向成60°角，最后到达荧光屏时速度方向恰好与荧光屏平行。已知电子的质量为m、电荷量为e，不计电子的重力，求：
(1)P点距O点的距离d；
(2)电子在电场中的运动时间t；
(3)第三象限内的磁感应强度B₂的大小。

13．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，等腰三角形ABC区域内左半部分有方向垂直纸面向外磁感应强度大小B₁=1T的匀强磁场，右半部分有方向垂直x轴向下的匀强电场，边界上有磁场或电场。在x轴OA段上的P点（图中未画出）有一粒子源（大小可忽略），能垂直x轴在纸面内以速度v₀（未知）向磁场射人质量m=2.4×10^-7 kg。电荷量q=1×10^-5 C的带正电粒子。粒子源射出的粒子恰好不从磁场的AC边界射出且垂直于y轴射人电场，也恰好不从电场的BC边界射出。已知A、B、C三点的坐标分别为（-3 m，0）、（3 m，0）和（0，4 m），不计粒子受到的重力。求：
(1)P点的坐标和粒子射入磁场的速度大小U₀；
(2)匀强电场的电场强度大小E；
(3)粒子在磁场和电场中运动的总时间t_总。

14．如图1所示，水平直线MN上方有竖直向下的匀强电场，场强

，MN下方有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B随时间t周期性变化的规律如图2所示，规定垂直纸面向外为磁场正方向，在

时，将一带正电的粒子从电场中的O点处由静止释放，在

时通过MN上的P点进入磁场，经过一段时间后，粒子最终打在足够大的挡板上。已知挡板位于P点左侧且垂直于MN，挡板与P点间的距离为100cm；粒子的比荷

，不计粒子的重力；计算中取

。
(1)求粒子从P点进入磁场时速度的大小；
(2)在

至

时间内，求粒子运动的轨道半径和周期；
(3)求粒子从O点出发运动到挡板所需的时间。

15．人类研究磁场的目的之一是为了通过磁场控制带电粒子的运动，某控制带电粒子运动的仪器原理如图所示，区域PP′M′M内有竖直向下的匀强电场，电场场强为E=1×10³V/m，宽度为d=0.05m，长度为L=0.40m；区域MM′N′N内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B=2.5×10^-2T，长度也为L=0.40m，磁场宽度足够。比荷为

的带正电的粒子以水平初速度从P点射入电场。边界MM′不影响粒子的运动，不计粒子重力。
(1)若带电粒子以水平初速度v₀=8×10⁵m/s从P点射入电场后，求粒子从PP′M′M区域射出的位置；
(2)当带电粒子射入电场的水平初速度为多大时，粒子只进入磁场一次就恰好垂直P′N′边界射出。

16．如图所示，平行金属板MN水平放置，板间距为d，板长为

，板间接有恒定电压，两板间电场可看做匀强电场，且两板外无电场。紧邻金属板右侧有垂直纸面向里的匀强磁场，边界线为CD．线状离子源均匀发射出大量比荷为k的粒子，粒子以相同的速度由板的左侧进入板间，粒子速度方向与板平行，若有50%的粒子能从板间射出，不计粒子间的相互作用及粒子重力。
(1)求两极板所加电压U的大小；
(2)射出的粒子经磁场偏转后能全部回到板间，求磁感应强度B的最小值。

17．如图所示，在平直角坐标系

的第Ⅰ象限内有沿

轴正方向的匀强电场，质量为

、电荷量为

的带电粒子，在

轴上坐标为

的

点，以大小为

的速度沿

轴正方向射入电场，从

轴上坐标为

的

点进入处在第四象限内垂直于坐标平面向里的有界匀强磁场（图中未画出），

为磁场边界上一点。粒子出磁场后速度沿

轴负方向，并经过

轴的位置坐标为

。不计粒子的重力，求：
(1)匀强电场的电场强度

的大小；
(2)匀强磁场的磁感应强度

的大小；
(3)若有界磁场为圆形，且圆与

轴相切于

点，则圆面积多大。

18．如图所示，xOy坐标平面的第一象限内，下方为匀强电场，上方为匀强磁场B₁，边界如图所示，其中匀强电场E=1000V/m，方向沿y轴正向，大小为B₁=1T的匀强磁场垂直纸面向里，第二象限中存在B₂=2T的匀强磁场，方向垂直纸面向里。现有大量比荷为

=2×10³C/kg的粒子，从x轴上由静止释放，经电场加速后进入B₁区域，最终到达y轴，且所有粒子均垂直穿过y轴。求：
(1)第一象限内匀强电场和匀强磁场B₁的边界曲线应满足的方程；
(2)y轴上y_P=2m处存在P点，经过P点时粒子的最大速度v_m；
(3)能够经过题(2)中P点的所有粒子，其释放点的横坐标满足的条件。

19．如图所示，在纸面上的矩形ABCD区域内，对角线BD以上的区域有电场强度大小为E、方向平行于AD向下的匀强电场，对角线BD以下的区域有方向垂直纸面的匀强磁场（图中未画出），AD边长为L、AB边长为2L。一带电粒子以大小为v₀的初速度从A点沿AB方向进入电场，从对角线BD的中点P进入磁场，并从DC边上的M点垂直于DC边离开磁场。不计粒子所受重力。求：
（1）粒子的比荷

；
（2）粒子到达P点时速度v的大小和方向；
（3）磁场的磁感应强度大小B。

20．如图所示，一个质量为

带电荷量

的带电微粒（不计重力），从贴近左侧板的位置

由静止开始经宽为

，电压为

加速电场加速后经

，从偏转电压为

（未知）、板间距和板长均为

的偏转电场左侧正中间位置水平射入两平行金属板间，偏转电场右侧是区域足够大垂直纸面向里的匀强磁场。
(1)若微粒能射入右侧匀强磁场区域，求

的最大值；
(2)满足(1)条件且

取最大值时，微粒经磁场运动后射出磁场时偏转电场正好反向（

大小不变），微粒恰能经

返回到初始位置

，求磁感应强度

的大小；
(3)求(2)问情景下微粒从

到第一次返回

所需的时间？

21．如图所示，在xoy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内存在电场强度大小E=10V/m、方向沿x轴负方向的匀强电场；在第Ⅱ、Ⅲ象限内存在磁感应强度大小B=1T、方向垂直xoy平面向外的匀强磁场。一个比荷

的带正电粒子在x轴上横坐标x=0.08m处的P点以v₀=16m/s的初速度沿y轴正方向开始运动，不计带电粒子所受的重力。求：
(1)带电粒子开始运动后第一次通过y轴时距O点的距离

；
(2)带电粒子运动的周期t。

22．如图所示，在平面直角坐标系xoy的第二象限内有平行于y轴的匀强电场，电场强度大小为E，方向沿y轴负方向。在第一、四象限内有一个半径为R的圆，圆心坐标为（R，0），圆内有方向垂直于xoy平面向里的匀强磁场。一带正电的粒子（不计重力），以速度为v₀从第二象限的P点，沿平行于x轴正方向射入电场，通过坐标原点O进入第四象限，速度方向与x轴正方向成

，最后从Q点平行于y轴离开磁场，已知P点的横坐标为

。求：
（1）带电粒子的比荷

；
（2）圆内磁场的磁感应强度B的大小；
（3）带电粒子从P点进入电场到从Q点射出磁场的总时间。

23．如图所示，平面直角坐标xOy的第一象限内存在着有界匀强磁场和匀强电场直线y=d与y轴相交于P点，磁场分布在x轴与直线y=d之间，方向垂直纸面向里；电场分布在直线y=d上方，电场强度为E，方向竖直向下质量为m、电荷量为q的带正电荷的粒子从坐标原点O垂直磁场方向射入，射入时的速度大小为v₀，方向与x轴正方向成60°，并恰好从P点离开磁场。(不计粒子的重力)
(1)求磁场的磁感应强度大小B；
(2)若将磁感应强度大小变为

，其他条件不变，求∶
①粒子能达到的纵坐标的最大值y_m；
②粒子在第一象限内运动的时间t。

24．如图所示，宽度为

两平行竖直边界

间有一水平匀强电场，

右侧有一半径为

的圆形匀强磁场区域，

为圆心，磁场方向垂直纸面向里。一质量为

、电荷量为

的粒子在边界

上的

点由静止释放，经电场加速后，以速度

沿轴线

进入磁场区域，最终从磁场区域边界上

点离开磁场，且

。不计粒子重力。
(1)求匀强电场的电场强度

的大小；
(2)求匀强磁场的磁感应强度

的大小；
(3)若在圆形磁场右侧还存在着另一个矩形磁场区域，其一条边平行于

，磁场方向垂直于纸面所在平面，粒子经过该磁场偏转后恰好又能回到

点，求矩形磁场的最大磁感应强度及对应的最小面积。

25．如图所示，在xoy平面第Ⅱ象限内有一长

，宽为

的长方形区域，存在方向垂直xoy平面向里、大小

的匀强磁场。一离子源从长方形顶角处沿左边界竖直向上射入磁场，其速度大小从

到

连续变化。在y轴右侧宽度

的区间内存在沿x方向的匀强电场。在这群离子中，以速度为

入射的粒子打在

处，不计重力和粒子间的相互作用。求：
(1)离子比荷

；
(2)这群离子仅经过磁场偏转直接通过y轴上的区间范围；
(3)若经过

处的离子恰能返回y轴，现仅将粒子源水平向右移动0.04m，其它条件不变，求返回y轴的离子的速度大小范围。

26．图所示，在平面直角坐标系xoy内，第一象限的等腰直角三角形MNP区域内存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，y＜0的区域内存在着沿y轴正方向的匀强电场。一质量为m，电荷量为q的带电粒子从电场中Q（-2h，-h）点以速度v₀水平向右射出，经坐标原点O射入第一象限，最后以垂直于PN的方向射出磁场。已知MN平行于x轴，N点的坐标为（2h，2h），不计粒子的重力，求：
(1)电场强度的大小E和磁感应强度的大小B；
(2)粒子在磁场中运动的时间；
(3)若将磁感应强度大小改为B₁，使得粒子刚好不能从PN射出磁场，求B₁的大小。

27．如图所示，在直角坐标系中，在第三象限有一平行x轴放置的平行板电容器，板间电压U=200V。现有一质量m=1.0×10^－¹⁰kg，带电荷量q=＋1.0×10^－⁸C的粒子(不计重力)，从下极板处由静止开始经电场加速后通过上极板上的小孔，垂直x轴从A点进入第二象限的匀强电场中，电场方向水平向右。粒子在电场中从B点与y轴成45°进入第一象限，第一象限中有向外的匀强磁场，粒子随后垂直经过x轴上的C点，已知OC=(2＋2

)m。求：
(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r；
(2)匀强电场场强E的大小；
(3)匀强磁场B的大小。

28．在平面坐标系第Ⅰ象限内有沿x轴负方向的匀强电场，虚线PQ为在同一平面内的竖直直线边界，在第Ⅱ、Ⅲ象限内虚线PQ与y轴之间有垂直坐标平面向里的大小为B的匀强磁场。C、D两个水平平行金属板之间的电压为U。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子（不计粒子重力）从靠近D板的S点由静止开始做加速运动，从x轴上

处的A点垂直于x轴射入电场，粒子进入磁场时速度方向与y轴正方向

，不计粒子的重力。要使粒子不从PQ边界射出，求：
(1)粒子运动到A点的速度大小

；
(2)匀强电场的场强大小E；
(3)虚线PQ与y轴之间磁场的最小宽度d。

29．如图甲所示，空间存在垂直纸面向里的有界匀强磁场区域，磁感应强度大小为

，虚线

、

为其竖直边界，圆弧

为其半圆边界，圆心为

，半径为

，

、

与圆心

共线，

。在边界左侧平行于竖直边界放置一平行板电容器MN，极板N上有一粒子源，可产生比荷为

、带负电、初速度为零的粒子。极板M上有一小孔，粒子源、小孔和

点正对，粒子可通过

点垂直边界

射入磁场区域。现将电容器MN接入如图乙所示的正弦交变电源，粒子在平行极板间加速时间极短，不计粒子间的相互作用及粒子的重力。求：
(1)电压为峰值时进入极板间的粒子在磁场中运动的半径；
(2)粒子在磁场中运动的最短时间及这些粒子从极板N发射的时刻（最短时间保留一位有效数字）。

30．如图所示，在xOy坐标系中，有垂直坐标平面向里的匀强磁场和沿y轴正向的匀强电场，匀强磁场的磁感应强度为B，电场和磁场的分界线为MN，MN穿过坐标原点和二、四象限，与y轴的夹角为θ＝30°。一个质量为m、带电量为q的带正电粒子，在坐标原点以大小为v₀、方向与x轴正向成θ＝30°的初速度射入磁场，粒子经磁场偏转进入电场后，恰好能到达x轴。不计粒子的重力，求：
（1）匀强电场的电场强度大小；
（2）粒子从O点射出后到第三次经过边界MN时，粒子运动的时间。

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