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题目:
一质量为 m 的小球,从距地面高为 H 的位置沿光滑斜面由静止开始下滑,到达底端时与挡板 P 发生碰撞,碰撞后小球返回原高度的一半。求小球在运动过程中所受的阻力大小。
答案:
根据能量守恒定律,小球在运动过程中所受阻力做的功等于小球动能的变化量。设阻力大小为 f,根据能量守恒定律可得:
mgH = (1/2)mv^2 + fs
其中,v 是小球到达底端时的速度,s 是小球在斜面上的位移。由于小球在碰撞后反弹的高度为 H/2,所以反弹后的速度为 v/2。根据动量定理可得:
mv = mv + fs'
其中,s' 是小球反弹后的位移。由于小球在斜面上的运动是匀减速直线运动,所以有:
s = v^2/(2a)
其中,a 是小球受到的阻力加速度。将上述三个式子代入能量守恒定律的式子中可得:
mgH = (1/2)m(v/2)^2 + fs = (1/8)mv^2 + fs
将上述式子代入动量定理的式子中可得:
(1/8)mv = (1/8)mv + fs'
将 s' 代入上式可得:
fs = (3/8)mgH - (1/4)mv^2
其中,f 是阻力大小,m 是小球的质量,H 是小球初始高度,v 是小球到达底端时的速度。因此,阻力大小为 (3mgH/8v) - (mv^2/4)。