张天蓉博士率领你溯源物理数学的源头、从趣味中感受物理之美，带你步入物理数学及与其发展紧密相关的理论化学的房门。
知名化学学家杨振宁在日本作的一次讲演《二十世纪物理与数学的分与合》中，提到物理与数学学之间的微妙关系时说，物理和数学如“书画同源”，来自一个源头，以前一度分家，而到了现代，虽然又形成了密不可分的关系。
考察物理和数学发展的历史，的确可以说是“数理同源”，这两个科学上最重要的分支，它们的关系就像男女之间的恋爱、结合、离婚、结婚，纷繁又复杂，真实而自然，堪称妙不可言。
在古埃及的时侯，所有的科学都没有区别，几乎每位科学家都是通才：既是物理家，又是化学学家，也是哲学家。大约由于那时侯科学水平还比较低，完全不同于现今这些“隔行如隔山”的局面。而且，令我们如今搞科学的人憎恨的是：那时侯的科学家们，所思索的都是“大”问题：宇宙、天地、星星、月亮，生命的起源，万物的秘密……那个年代可能也只有这些大问题可想，由于人类的知识宝库里还只有简短的几条框框，没有这个定理那种定律、这个技术那种工程的。既没有纷扰无比的公式可推论，也不须要用计算机编程序来进行三天半个月之久的大量数字估算，为此数学物理专业，科学家们动脑子的时间多，因此她们几乎全都是杰出的思想家。
阿基米德（前287～前212年）便是古埃及这样一位思索“大”事情的伟大人物。他被觉得是历史上最伟大的物理家之一，同时又是伟大的化学学家。不过，阿基米德不仅思索之外，动手能力也极强，因而，他被冠以的头衔好多：哲学家、数学家、物理学家、发明家、工程师、天文学家等。
阿基米德距离我们的时代早已有两千二百多年，但他在物理、物理、天文等方面的功底之深，不得不令我们现代人也惊讶万分，非常是前几年才使用现代科技方式恢复再现的阿基米德的手迹：失落的牛皮书，让我们真正见识了那位伟人的超时代智慧。
阿基米德在物理上成就非凡，他借助所发明的“逼近法”，算出了球面的面积、球体的容积、椭圆和抛物线等所围成的平面图形的面积，他还研究出螺旋形曲线，即现代称之为“阿基米德螺线”的性质。直至一千八百多年以后，牛顿和莱布尼茨才根据类似的极限思想，将其发展成了近代的“微积分”概念。
化学上，阿基米德发觉压强定理的故事被广为留传。听说阿基米德为了帮助叙拉古的国王识破金匠掺假造皇冠一事，而想办法检测形状复杂的皇冠的容积，因此他绞尽了脑汁未得其法。后来有三天，当阿基米德曝晒在浴缸里泡澡的时侯，看到盆中的海面随着自己身体浸下去而下降，忽然从中悟出了问题的答案：假如将皇冠溶入水底的话，盆中的水降低的容积应当等于浸在其中的皇冠的容积。这时，兴奋无比的阿基米德从浴缸里跳了下来，光着身体就跑了出去，还边跑边喊“尤里卡！尤里卡！”，“尤里卡”是葡萄牙语，意思是“我发觉了”。阿基米德当时所发觉的便是我们如今熟知的“阿基米德压强定理”。
在天文学方面，阿基米德以前制做了一座运行精确的星象仪，球面上有太阳、月亮及五大行星，可以展示太阳系的运行，能够预测近日内将发生的日全食和月全食。阿基米德甚至开始怀疑地心说，脑海中早已形成了距离他一千六百多年以后哥白尼提出的日心说的迷蒙猜测。
第1章无穷小的魔术
1.从微积分说起
2.阿基里斯能追上兔子吗？
3.谁发明了微积分？
4.阿基米德牛皮书
5.阿涅西的女巫
6.“傻博士”相亲
7.图解微积分
物理化学的轶事好多，本书主要涉及微积分以后与数学相关的物理。
牛顿
阿基米德以后的另一个伟大的物理化学通才是牛顿。牛顿为了完善他的数学理论而发明了微积分，并用微积分的语言写下了牛顿三大定理和万有引力定理。微积分无疑是物理观念上的一场革命，它将无穷小量、极限、变量、函数等概念带进了科学世界。让各个科学技术领域如虎添翼数学物理专业，得以蓬勃发展，惠及人类。
微积分的真谛实际上是基于阿基米德时代就早已萌芽的极限概念，中国唐代学者也很早就有了物体可以无限可分直至无穷小的思想。但从这个“无穷小量”的原始雏型，发展到微积分这个严密的物理理论体系，以及后来又在微积分的基础上完善了物理数学等式、黎曼几何等物理分支，却不是一件容易的事。这种物理理论，除了帮助牛顿和麦克斯韦等人构建了宏伟辉煌的精典热学和精典电磁理论，还促进了理论化学中量子热学、相对论、混沌理论等数次革命。回顾其间的漫长历史过程，既耐人寻味，又发人深思。
牛顿的精典数学观念伴随着其精确的现代物理叙述统治了科学世界几百年，直至如今也一直威力不减。现代社会各门科学技术的高速发展少不了精典热学杰出的贡献。
牛顿，那位上帝派来的光明使者，将世界从黑暗中救出下来。作家蒲柏（Pope，1688～1744年）为牛顿写下了知名的碑刻铭：
“and'slawslayhidinnight,Godsaid:"Letbe!andallwaslight.”
与微积分一样，物理中好多思想的源泉都来自于对化学的研究。由于物理和数学都是起源于人们对于世界的观察和认识，数学规律常常须要借助物理的方式来进行定量描述。微积分的发觉是科学界的重大历史风波，自此以后科学家有了一套得心应手的理论工具，微积分学技巧的精确描述使得生物、化学、力学、电子、工程等学科和技术得以长足发展，而物理作为“科学的皇后”，其价值观也渐渐独立。为此，自从牛顿以后，物理和化学也开始驶向不同的目标，逐步迈向了各自不同的发展公路。
不过，物理与理论化学的关系一直密切，理论化学的目的是解释自然现象、总结普遍的规律。理论化学学家爱美，热衷于揭发大自然的“数学之美”，而自然现象中原本就隐藏着奇妙的物理结构。为此，继牛顿以后，又有了欧拉、拉格朗日、傅立叶、麦克斯韦、庞加莱、高斯、希尔伯特……这一个个的知名人物，既是物理大师，也对理论化学作出了杰出的贡献。
牛顿像是个上帝派来的魔法师，他双手照亮精典热学之火，右手握着微积分，物理和数学的殿堂自此有了光明。笔者在介绍微积分发展的历史以后，紧接着重点介绍了另一个物理化学的交叉领域：变分法和最小作药量原理。就在牛顿发表他的《自然哲学的物理原理》之后一百年，拉格朗日出版了他的《分析热学》。拉格朗日将变分法和最小作药量原理用于牛顿热学，完全用剖析的方式进行推论，构建起一套完整和谐的热学体系，显示了剖析学的巨大威力，也展示了物理和数学的成功结合。
变分法和最小作药量原理中涉及的“求极大极小、最优化”等一类问题，与我们的日常生活紧密相关，牵连到不少历史上知名的物理困局。因此，笔者在本书中并不是表述沉闷而艰深的物理公式，而是通过有趣的故事、生动的图解、通俗的语言、出神入化的描述，为你介绍故事中隐藏着的深刻的物理化学原理。
第2章微积分到变分法
1.哪条滑梯最快？
2.安全抛物线
3.物理家的秘诀
4.弦震动问题
5.狄多女王的智慧
6.上帝也懂经济学吗？
7.美丽的对称
8.自发对称破缺
9.费曼的故事
10.顺着历史的路径积分
对称性和化学的关系是笔者在本书第2章中表述的另一个重点。对化学现象对称性的研究，充分彰显了物理和数学的互推互进、相辅相长。对称性很早就是数学学研究的指导性原则，从有限对称到连续对称，美丽的大自然处处有对称。对称原本是物理概念，守恒是数学定理，知名的女物理家诺特所证明的诺特定律却阐明了二者间存在紧密而奇妙的联系。有一段时间，化学学家沉迷于对称之美，觉得对称性可能是许多化学现象的本质所在，以至于量子热学的创始人之一海森堡发表过一个奇怪的观点，觉得化学学家不用去详尽研究夸克等基本粒子，只须要代之相应的对称性到理论中就行了。
对称中又暗含着不对称。七彩斑斓的大自然是这么，数学学也是这么。数学规律的对称性表现在真实世界中的具体现象时，却似乎不是对称的，由于它们是“自发对称破缺”的结果。笔者以此理论详尽介绍了与2013年诺贝尔化学学奖的相关发觉：“上帝粒子”——希格斯粒子之事。
在微积分基础上发展下来的、最有效的科学技术工具莫过分微分等式。微分等式早已成为科技工程领域中最基本的物理模型。现在，不仅仅在数学学中，科研的各个领域都少不了它。它的结果和方式甚至被应用到人文学科中。非常是当估算技术发展到能否求出微分多项式的数值解过后，它更是在各项研究中大展身手。因而，笔者在第3章中提到了几个重要的微分等式以及它们的应用，包括弦震动多项式、薛定谔多项式、麦克斯韦多项式等。
第3章微分等式拾趣
1.物理的诗篇
2.微分等式展宏图
3.三体问题
4.奇妙无比的混沌
5.不可思议的分形
7.无穷小量遇到“量子”
8.电磁波的赞歌
微分等式除了作为科学技术的工具而存在，对非线性微分多项式的深入研究打开了整个非线性科学的房门。其中的混沌和分形以其独特美妙的图形尤为引人注目。笔者也对这两个领域给与了详尽的介绍。
在最后一章中，笔者首先重点介绍了3维空间中曲线和曲面微分几何的基本概念。通过直观易懂的图象、趣味生动的实例，让读者了解微分几何中的一些基础性专业术语，例如曲率、挠率、活动标架、可展面、不可展面、最面馆、高斯曲率等。之后，简略地介绍了黎曼几何、张量剖析以及它们对爱因斯坦创建广义相对论的重要性。
第4章几何上的无穷小
1.既古老又现代的几何学
2.弯路上加速运动的车辆
3.平方正比率
4.曲面的微分几何
5.香皂膜上的几何
6.凝练几何
7.黎曼几何
8.张量场上的微积分
9.2维曲面上平行联通和曲率
爱因斯坦当初在德国联邦工大学做中学生时，物理系和化学系还不分家，算是同一系。当时的爱因斯坦重化学而轻物理，他觉得物理搞的是小问题，数学则是研究大问题。不过后来他研究的“大问题”被“小问题”困住了。可以说，没有物理家们的帮助，爱因斯坦研究的相对论大问题不可能成功。
狭义相对论的物理是简单的，但依然须要洛伦兹变换和闵可夫斯基空间来赋于它简约优美的抒发方式。爱因斯坦最得意的是他的广义相对论，他以前说过，假如他没有发觉狭义相对论，5年之内会被人发觉，而且假如他没有发觉广义相对论，50年之内也不会有人发觉。还传说爱因斯坦在几个礼拜之内构建了狭义相对论，但是从1908年开始，就形成了将它推广到引力场中构建广义相对论的看法。并且，爱因斯坦却花了整整7年的时间思索这个问题最后仍旧未得其果。是哪些缘由呢？爱因斯坦正是被他所忽略的物理问题难住了。后来偶然他的一位数学界同事格罗斯曼告诉他，他的引力理论想找寻的那个语文在半个世纪之前就早已被黎曼做下来了。这才解决了爱因斯坦的苦恼，使他顺利地完成了广义相对论。这段经历令爱因斯坦衷心地感慨：“理论化学学家越来越不得不服从于纯物理方式的支配。”
爱因斯坦
虽然，当初的黎曼在提出他的几何思想时，也考虑了这个理论在数学学中的应用问题。黎曼想像了一个有限无界的球状空间，但是推测它其实是宇宙形状的正确描述。我们永远没法晓得，假如黎曼不是39岁便英年病逝的话，他的思想是否会朝着与50年后爱因斯坦类似的方向发展？
再后来，到了20世纪，固体化学中群论的应用、量子热学及量子场论的构建、规范理论及弦论的研究，更促使物理化学这一领域高潮迭出、异常活跃，化学与物理的关系显得非常微妙，理论化学早已离不开物理，非常是当人们疑惑于量子现象的独特唬人以及相对论对时空观念和因果律深层次探求而造成的一些例如“双生子佯谬”之类的蒙蔽时，人们开始对化学形成了一些错觉，仿佛化学早已不是原先的依赖于实验和观察结果的科学，而弄成了从物理逻辑推论下来的一大堆“奇思妙想”。
事实并非这么，再深奥的数学理论依然须要实验和观测的验证。据悉，物理的发展也不能仅仅借助逻辑推理。虽然逻辑推理可以构建起整套确切无误的物理体系，但正确不等于有用，不等于能很快地发展壮大。假如没有在其他科技领域的实用价值，逻辑推理也可能无法持久。而且，语文在现代理论化学中饰演的角色早已不仅仅如过去那样，只是作为研究和估算的工具了。物理早已在好多方面、在极其深刻的背景下与化学融合在一起。由于现今人类对化学风波的探求早已走入了与我们的常识完全不符合的微观世界和宏观世界，这两个世界中的时空观早已赶超了我们原先认知中的简单精典图象。其深层的哲学含意，估计必需要数学和物理的密切结合才有希望得以破解。
其实，理论化学和物理原本就是同族同源的兄弟，她们时分时合、源远流长、交叉渗透、互相影响。从伽利略和牛顿开始，到近代的许多理论化学学家，都既懂数学，又通语文。更有趣的是，数学学界称她们为化学学家，物理界则称她们为物理家。为此，自古以来数理同源，物理为化学学家提供解决问题、实现理论的漂亮手段，数学则在一定程度上成为物理家灵感和直觉的重要源泉。
化学物理、数学化学，“数蕴哲学待回忆、物含妙理总堪寻”。本书率领你溯源物理数学的源头，从趣味中感受物理之美，同时带你步入物理数学及与其发展紧密相关的理论化学的房门。
本文由刘四旦摘编自张天蓉著《数学化学漫谈——从无穷小开始》一书。《数学化学漫谈——从无穷小开始》重点介绍了现代化学中常用的一些物理方式，包括微积分、变分法、微分多项式、微分几何等领域的基础知识。作者以深入浅出的解释、直观明白的图象、生动有趣的语言，使你初步了解那些至少的物理概念，以及与它们相关的数学应用实例。率领你溯源物理数学的源头、从趣味中感受物理之美，带你步入物理数学及与其发展紧密相关的理论化学的房门。
