碰撞是自然界中常见的现象，大到宇宙中天体间的碰撞，小到微观中基本粒子的碰撞；无论是不该发生的动车追尾，还是各类给人类带来无限乐趣的棋类运动中的碰撞……碰撞也是中学数学中常见的、重要的数学模型。研究碰撞的特性和所遵守的规律，可以使我们更深刻地了解自然、宇宙，宽阔眼界，可以使我们更深刻地理解化学规律的内涵和外延，锻炼思维能力，增强综合剖析问题的能力。
寻根探源·根题诠释
方式总结·规律提练
一、动量守恒定理
1.内容：互相作用的物体，假若不受外力或所受外力的合力为零，它们的总动量保持不变，即作用前的总动量与作用后的总动量相等．
2.常见的表达式
①p＇=p，其中p＇、p分别表示系统的末动量和初动量，表示系统作用前的总动量等于作用后的总动量。
②Δp=0，表示系统总动量的增量等于零。
③Δp1=－Δp2，其中Δp1、Δp2分别表示系统内两个物体初、末动量的变化量，表示两个物体组成的系统，各自动量的增量大小相等、方向相反。
二、碰撞有三种类型：
1.弹性碰撞：碰撞过程中所形成的形变才能完全恢复的碰撞；碰撞过程中没有机械能损失，即同时满足动量守恒和机械能守恒。
2.非弹性碰撞：碰撞过程中所形成的形变不能否完全恢复的碰撞；碰撞过程中有机械能损失。
3.完全非弹性碰撞：碰撞过程中所形成的形变完全不能否恢复的非碰撞。碰撞过程中机械能损失最多。
说明：在非弹性碰撞和完全非弹性碰撞的过程中，尽管机械能不守恒，但动量始终是守恒的。所有的碰撞，只要外力远小于内内，动量都是守恒的。
考场精彩·衍题百变
一、弹性碰撞模型探究及拓展
【衍题4】（2019全省1）竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑弧形平滑联接，小物块B静止于水平轨道的最下端，如图（a）所示。t=0时刻，小物块A在倾斜轨道上从静止开始下降，一段时间后与B发生弹性碰撞（碰撞时间极短）；当A返回到倾斜轨道上的P点（图中未标出）时，速率减为0，此时对其施加一外力，使其在倾斜轨道上保持静止。物块A运动的v-t图象如图（b）所示，图中的v1和t1均为未知量。已知A的质量为m，初始时A与B的高度差为H，重力加速度大小为g，不计空气阻力。
（1）求物块B的质量；
（2）在图（b）所描述的整个运动过程中，求物块A克服磨擦力所做的功；
（3）已知两物块与轨道间的动磨擦质数均相等，在物块B停止运动后，改变物块与轨道间的动磨擦质数，之后将A从P点释放，一段时间后A恰好能与B再度碰上。求改变上面动磨擦质数的比值。
（2）（3）与动量守恒定理无相关性，解析略。这也说明在热学综合估算题中大多数情况下，是牛顿第二定理、动能定律（或能量守恒定理）以及动量守恒定理多个规律综合解题，可能只在某一个过程使用动量守恒定理。
二、完全非弹性模型的剖析和拓展
完全非弹性碰撞：碰撞过程中所形成的形变完全不才能恢复的碰撞。特征是互相作用的末态系统具有相同的速率。碰撞过程中动量守恒，机械能损失最多。
【衍题6】如图6所示,一质量为M的铁块置于光滑的水平面上，一质量m的炮弹以初速率v水平飞来打进铁块并留在其中，设互相斥力为Ff．试求：
（1）炮弹、木块相对静止时的速率v？
（2）炮弹、木块发生的位移s1、s2以及炮弹打进铁块的深度l相分别为多少？
（3）系统损失的机械能、系统降低的内能分别为多少？
拓展延展·纵横推演
动量守恒在力电综合问题中的应用
小试身手·根题精练
1.（2010·全国Ⅱ）小球A和B的质量分别为mA和mB且mA＞mB，在某高度处将A和B先后从静止释放。小球A与水平地面碰撞后向下弹回，在释放处的下方与释放初距离为H的地方正好与正在下落的小球B发生正撞，设所有碰撞都是弹性的动量定理人船模型解析，碰撞时间极短。求小球A、B碰撞后B上升的最大高度。
2.（2014·全国卷1）如图所示，质量分别为mA、mB的两个弹性小球A、B静止在地面上，B球距地面的高度h＝0.8m，A球在B球的正上方动量定理人船模型解析，先将B球释放，经过一段时间后再将A球释放，当A球下落t＝0.3s时，正好与B球在地面上方的P点处相撞，碰撞时间极短，碰后顿时A球的速率恰为零，已知mB＝3mA，重力加速度大小g取10m/s2，忽视空气阻力及碰撞中的动能损失．求：
(1)B球第一次到过地面时的速率；
(2)P点距离地面的高度．
(1)B球第一次到过地面时的速率；
(2)P点距离地面的高度．
【答案】见解析
【解析】（1）设B球第一次抵达地面时的速率大小为vB，由运动学公式有
vB＝①
将h＝0.8m代入上式，得
v1＝4m/s.②
(2)设两球相撞前后，A球的速率大小分别为v1和v′1(v′1＝0)，B球的速率分别为v2和v′2，由运动学规律可得
v1＝gt③
因为碰撞时间极短，重力的作用可以忽视，两球相撞前后的动量守恒，总动能保持不变，规定向上的方向为正，有
mAv1＋mBv2＝mBv′2④
2(1)mAv1(2)＋2(1)mBv2(2)＝2(1)mv′2(2)⑤
设B球与地面相撞后速率大小为v′B，由运动学及碰撞的规律可得
v′B＝vB⑥
设P点距地面的高度为h′，由运动学规律可得
h′＝（v′B^2-v^2)/2g⑦
联立②③④⑤⑥⑦式，并代入已知条件可得
h′＝0.75m．⑧
3.(2015全省1).如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C坐落同仍然线上，A坐落B、C之间。A的质量为m，B、C的质量都为M，两者都处于静止状态，现使A以某一速率往右运动，求m和M之间满足哪些条件才会使A只与B、C各发生一次碰撞。设物体间的碰撞都是弹性的。
4.（2011全省2）装甲车和战舰采用多层厚板比采用同样质量的双层厚板更能抵挡烟幕弹的射箭。通过对一下简化模型的估算可以简略说明其缘由。
质量为2m、厚度为2d的厚板静止在水平光滑桌面上。质量为m的炮弹以某一速率垂直射向该厚板，恰好能将厚板射穿。现把厚板分成长度均为d、质量均为m的相同两块，间隔一段距离水平放置，如图所示。若炮弹以相同的速率垂直射向第一块厚板，穿出后再射向第二块厚板，求炮弹射入第二块厚板的深度。设炮弹在厚板中遭到的阻力为恒力，且两块厚板不会发生碰撞不计重力影响。
