新书进展-开启第8章静电场
郑琪 2024.03.10
目前新书进展如下：
3月5日，我完成了力学的最后一章第七章振动和波，准备开始第八章静电场。
这是我个人的网上书的写作历程，我把书中的例题和练习收集整理成网上书，供我自己的学生使用。
现在我是班主任，只教这一个班，所以我把他们当作实验鼠。
制作了如下两套练习，分别为力学前6章，共计739道例题及练习。
目前高中生复习进度到第五章5.5能量的机械能守恒定律，昨天作业到522题：
下周，我们将尝试解决能源章节的最后 4 个模型：
前几天把第八章的练习归档完了，一共232道题，分为9个模块，其中95%都是高考真题：
本章内容如下：
昨晚把9.1库仑定律的讲义部分讲完了，今天补上了例题和练习，并完成了格式化。
以下摘自 9.1 库仑定律：
第 2 部分 电磁学
第 8 章静电场
我教书快二十年了，发现一个很有意思的现象，刚进高一的学生，总是对物理充满兴趣。学了近一年的力学，虽然物理折磨了我千百遍，但我还是把物理当初恋。也许我跟不上，但我还是认为自己物理学的不错。然而，一到“静电场”，很多当时我以为学的不错的学生就败下阵来，“感觉自己被电场电死了一样”。
我很理解他们，因为他们对于电的理解还停留在初中阶段，摆弄着电池、电阻等元器件，计算着串联、并联的等效电阻等等，从来没有想过，电的起源会是“场”这个怪物。
他们发现，在机械学阶段所积累的生命值和防御，在面对“静电场”这个大BOSS时，完全派不上用场。原因很简单，机械学阶段所练就的防御是物理防御，而现在遇到的是一种新物质——领域物质，想要抵挡它所释放的破坏力，恐怕就需要提升属性抗性，而学生们对于这方面是完全没有准备的。
因此，当学生们快要读完高一，需要在文理科之间二选一、七选三或六选三的时候，他们都放弃了参加物理考试。
基于上述认识，作为整个电磁学的开端，本章的学习难度可想而知。
因此，我在介绍本章知识的时候，会尽力还原物理学的真实历史，让大家体会到科学家对这个问题的认识有多么深刻。
他们在深入观察、思考的过程中，纷纷引入概念、定理、公式，并出于某种原因设立符号。
我想，只有了解了整个物理学史，才能真正体会到物理学的魅力，才能明白一些物理量、物理定律的出现是历史的必然。
在这一章中，我将介绍三大模块。这三个模块在我上一本书《一书强化基础物理-增加高中物理难度》中被写成三个独立的章节。这本书的难度仅限于高考阶段，所以我会将它们整合成一章。因此，预计这一章的篇幅会非常大。
第一模块介绍了电磁学中第一个重要定律——库仑定律。通过对库仑定律的深入思考，我们引入了特殊物质“场”。接下来，我们来介绍场物质的两大特性之一——在场中对其他带电物质施加力。具体来说：
8.1 库仑定律简介；
8.2 介绍点电荷周围的电场分布；
8.3介绍最常见的电场类型——均匀电场；
8.4 介绍了计算场强的其他方法。本节仅重点介绍测试准备。
在第二个模块中，我们将介绍场物质两大特性中的第二项——赋予场中的其他带电物质以一定的保守势能，并解释这两个特性的本质区别和联系。具体来说：
8.5 介绍电势能和电势的来源；
8.6 介绍电势与电场强度的关系；
8.7 将重点讨论一个实际问题：将导体放置在静电场中，静电场如何影响它，以及它如何响应外界场；
第三个模块是对一个非常特殊的电子元件——电容器的基本介绍。具体来说：
8.8会介绍常见的电容以及相关知识，然后把它们放入电路中，看看它们是如何变化的；
8.9 让电容器成为一个均匀电场的发生器，让带电粒子在电容器内部运动，使电容器成为粒子运动的自然场所。
以上就是本章的基本安排。需要指出的是，本书我们以高中物理课本知识为主，尽量不提课本以外的知识。有兴趣的同学可以自行查阅《一本通》，但有些知识我们可能避免不了用到。这些课本以外的知识的介绍不是为了炫耀，纯粹是为了讲解或解题方便。最典型的就是点电荷在周围空间感应的电势公式。
以及电容器储能公式
。
8.1 库仑定律
物体因带电而相互吸引或排斥的现象是一个十分重要的新发现，丰富了非接触力的范围，在引力、磁力的基础上又增加了电力，但电力与引力、磁力稍有不同。
（1）与引力相比，电力既有吸引力，又有排斥力，电荷可正可负，而引力总是吸引，不排斥。
（2）与磁力相比，带电体则不同。正负电荷可以比喻为磁铁的南极和北极，但带电体不受外界磁铁的影响。而且与磁单极子不存在不同，带电体可以独立存在，即电单极子存在，而磁单极子不存在。
这表明电是一种全新类型的力。
人类对电现象的认识走过了漫长而曲折的道路。商代，甲骨文中就出现了“雷”、“闪电”等声义字。但直到16世纪，人们才对电现象有了更深入的认识。英国女王伊丽莎白一世的御医吉尔伯特（W.，1544-1603）首次引入“电引力”的概念，系统地研究了静电现象。1600年，吉尔伯特发现某些物质相互摩擦后能吸引轻的和小的物体，他把这种力称为“琥珀力”。后来的科学术语“电”就是根据希腊语“琥珀”的词根制定的。
1733年，法国科学家C.杜费（1698-1739）根据大量实验事实，大胆断定自然界中存在着不同类型的电荷，一种叫“琥珀电荷”，一种叫“玻璃电荷”。1747年，美国科学家富兰克林（B. ，1706-1790）把用丝绸摩擦过的玻璃棒产生的电荷称为“正电荷”，把用毛皮摩擦过的琥珀产生的电荷称为“负电荷”，从而提出了正电荷和负电荷的概念。
1759年，德国科学家埃皮努斯（F.，1724-1802）提出一个假说，即电荷之间的排斥力和吸引力随着带电体之间距离的减小而增大。但埃皮努斯并没有通过实验验证这一假说。1760年，伯努利（D.，1700-1782）推测电是否也像引力一样遵循平方反比定律。他的想法在当时具有代表性。
1755年，富兰克林观察到电荷只分布在导体表面，导体内部不存在静电效应。如图所示，当一个用细导线悬挂的带电软木球放在带电金属圆柱体外时，球明显受到电力的作用而倾斜，但当球放在圆柱体内时，几乎不受电力的影响，细导线保持垂直下垂。
他把这一现象告诉了自己的好友英国科学家J.普里斯特利（J. ，1733-1804），建议普里斯特利重复这个实验加以证实。普里斯特利曾根据牛顿万有引力理论，将电荷作用力与引力进行了对比，推测电荷作用力也符合平方反比定律高中物理的相关科学家，但他没有用实验去证实这个结果，因此停留在推测阶段，最终被束之高阁。他的说法出现于1769年，但当时并未受到重视。
科学史上曾有两位英国科学家对电进行了定量的实验研究，并得到了明确的结论，可惜他们未能及时发表自己的研究成果，没有对科学发展起到应有的推动作用。
一个是罗宾逊（J.，1739-1805）。1769年，罗宾逊设计了一个杠杆装置，并得出结论，电服从平方反比定律。他得到的修正数是，即，不幸的是，他认为大指数是由于实验误差造成的。直到1801年，罗宾逊才公布了这一研究成果。
另一位是卡文迪许（H. ，1731-1810）。1772年至1773年间，卡文迪许做了双层同心球实验，精确地测量了电力与距离的关系，如图所示。
卡文迪什分析说，由于带电金属球壳内部任何一点都没有电力网校头条，如果把球壳切成两半，在空腔中放置一个电荷，电荷将不受任何力的作用，这意味着两半球壳上的电荷对点电荷的静电力相互抵消。卡文迪什证明了只有当静电力与距离的平方成反比时，这两种力才会抵消。他由此得出电力服从平方反比定律，并将电力表示为
卡文迪许的同心球实验比库仑的扭秤实验早了13年，卡文迪许用的是当时最原始的电学测量仪器，由于设计巧妙，得到了非常可靠的结果，但这个结果却从未发表过，这是为什么呢？
卡文迪什虽然是“学者中最富有的人，也是最富有的人中最博学的人”，但他生性孤僻，很少与人交往，又十分害怕成名后患上社交恐惧症，所以干脆不发表研究成果，直到卡文迪什去世，研究成果才公之于众。
直到一百年后，他的家人才将他的手稿交给了剑桥大学卡文迪什实验室的首任主任麦克斯韦。经过系统的整理后，麦克斯韦惊讶地发现，卡文迪什的许多工作都是超越时代的，其中就包括对电学平方反比定律的探索。
1785年，库仑也独立测得了这一结果，虽然方法不同，但精度与13年前卡文迪许的实验结果相差无几。
8.1.1 库仑定律实验
库仑是法国工程师、物理学家，对电学研究做出了巨大贡献。他出生于法国南部昂古莱姆的一个富裕家庭。1806年8月23日，库仑在巴黎逝世，享年70岁。库仑为人正直，品德高尚。托马斯·杨（1773-1829）称赞库仑的品德与他的数学研究一样杰出。为纪念库仑而发行的邮票也包含丰富的物理学历史信息。人们可以看到库仑的肖像和他的生卒日期，以及他使用的扭力秤。
库仑是扭力天平的专家。他利用扭力天平实验精确测量了两个带同种电荷的球之间的电排斥力。那么，什么是扭力天平呢？
在物理学的早期，人们发现测量微弱的效应非常困难，因为它们通常难以察觉。后来，物理学家米歇尔想出了悬空金属线的设想。要折断金属线需要很大的力，但扭转悬空金属线则只需要很小的力。基于这一设想，法国物理学家库仑和英国科学家卡文迪许分别于1785年和1789年独立发明了扭力秤。卡文迪许利用扭力秤测量了引力常数。
1773年，法国科学院悬赏公开征集改进航海罗盘中磁针的方案。四年后，库仑以论文《关于制作磁针的最佳方法》荣获一等奖。库仑认为磁针支架在轴上必然产生摩擦，于是提出用一根细头发丝或丝线将磁针悬挂起来。库仑在实验中发现丝线扭转时的力矩与磁针的角度成正比，因此可用此装置测量静电力和磁力的大小，从而发明了扭力秤。库仑发明扭力秤的灵感来源于纺车。他在乡间发现纱线的断头总是向相反的方向卷曲，纱线捻得越紧，卷曲的圈数就越多。他认为可根据纱线卷曲的程度测出力的大小，进而可用来测量电荷之间的作用力。
库仑进行实验所用的装置叫库仑扭秤。如图所示，一根绝缘的轻棒悬挂在一根细银丝的下端。棒的一端是带电的金属球A，另一端是与球A的重力平衡的不带电的球B。当球上没有力作用时，轻棒处于一定的平衡状态。当将另一个带电球C放入容器中，并靠近A时，C与A之间的力使棒绕悬挂点转动，引起悬挂丝的扭转，直到悬挂丝的扭转力与电力平衡为止。这其实就是扭转力矩与静电力矩之间的平衡。由于悬挂丝很细，作用在球上的很小的力，都可能导致棒明显偏离原来的位置。转动的角度与力的大小成正比。通过悬挂线的扭转角可以比较力的大小，并且两个带电体之间的不同距离易于调整和测量。
保持A、C小球所带电荷不变，改变A、C之间的距离r，记录悬挂丝每次扭转的角度，即可求出力F与距离r的关系。
保持A、C球间距离不变，改变A、C的电荷q1、q2，记录悬挂丝每次扭转的角度，即可求出F与q1、q2的关系。
1785年，库仑在论文《电力定律》中详细介绍了实验装置、测试过程和实验结果。
阐明：
（1）扭秤实验可以测量弱力，其关键在于它把弱力的作用放大了两倍：一方面，微小的力通过较长的杠杆臂产生较大的扭矩，使悬丝发生一定角度的扭转；另一方面，在悬丝上固定一个平面镜，平面镜能把入射光反射到距离平面镜较远的刻度盘上，反射光到刻度盘上的光斑移动，可以揭示悬丝的微小扭转。
（2）在库仑之前，人们对电量的大小没有量化的标准，即无法量化q1和q2的大小。今天我们所说的电量的单位是“库仑”，库仑根本无法定义“1库仑”到底有多大。那么他是如何量化库仑定律的呢？
他用了一个很简单的方法，就是两个完全相同的金属球接触，它们必然会平等地分享电荷，于是不断地分享电荷，就得到了q个电荷，q/2，q/4……，通过控制变量，就得到了F和q之间的定量关系。
（3）库仑用扭力天平实验测量了电排斥力。不过不用担心，除了同种电荷之间的排斥力，异种电荷之间还有吸引力。扭力天平实验得出的同种电荷相互排斥的结论是
异性引力能共用吗？这个还不能确定，所以需要继续进行实验研究电重力，这个扭秤实验就没法做了。因为扭丝的恢复力矩只和角度的一次方成正比，而引力却和距离的平方成反比，也就是说引力的变化比力矩快，这不能保证扭秤的稳定性。如果两个带电小球相距较远，误差就大；如果距离较近，两个小球往往会发生碰撞，因为扭秤很灵活，会有一定的左右摇摆。两个小球之间引力的结果往往是它们接触，电荷被中和，实验就没法继续了。
（4）经过反复思考，库仑利用动力学实验解决了这个问题。地面上物体受到的引力与物体到地心距离的平方成反比，即
，必须
。
考虑一个周期为
，所以有
当悬浮在地面的物体绕悬浮点做小振幅摆动时，其振幅周期与物体距地心的距离成正比。
库仑想象，如果不同电荷之间的引力也与它们之间距离的平方成反比，那么只需设计一个电摆就可以进行这个实验。
如图所示，库仑让小球带正电，让圆形金纸盘带负电，实验后得到以下结果：
实验一：将圆形金色纸盘放置在距离球中心9英寸的位置，在20秒内挥动15次。
实验2：圆形金色纸盘距离球中心18英寸，在41秒内摆动15次。
实验三：圆形金色纸盘距离球中心24英寸，60秒内摆动15次。
距离之比为3：6：8，振动周期之比为20：41：60，如果振动周期之比符合距离的平方反比定律，则应为20：40：54。第三次实验的结果接近理论值，库仑正确地解释了这一现象是由漏电引起的。这个漏电取决于带电体的绝缘效率、带电体的大小、其上的电荷密度以及空气湿度。因为每分钟的功率损耗约为四十分之一，而整个实验大约需要四分钟才能完成。在实验的四分钟里，考虑到功率的损耗，引力变小了，所以测得的摆动时间比理论值要长。经过修正后，两个数值非常接近。
库仑认为“带相反电荷的电流体之间的作用力，与带同种电荷的电流体之间的相互作用一样，与距离的平方成反比”。这样，库仑利用类似于单摆的电摆法，测定出带相反电荷的电流体之间的吸引力也与它们距离的平方成反比。在修正了实验中的错误后，库仑用实验揭示了电、磁相互作用的过程。
需要指出的是，库仑只是测量了距离平方的反比关系，才正式把静电力和静磁电力归纳到万有引力的范畴。需要强调的是，库仑并没有具体验证静电力与电荷的乘积成正比，静磁电力与磁荷的乘积成正比。后来，德国物理学家高斯（C. Gauss，1777-1855）提出了直接从库仑定律定义电荷测量的思想。1839年，高斯发表了一篇题为《关于吸引力或排斥力与距离平方成反比的普遍定理》的论文，提出了静电学的高斯定理。
（5）卡文迪什—麦克斯韦实验方案已经成为当今人们验证平方反比定律的最佳实验方案。
由于直接测量困难（漏电等）、干扰和误差大，库仑独创的直接测量电引力或电斥力的方法一般不采用。这时，我们不得不佩服当时的扭秤专家库仑，能把实验进行得如此精确、准确。这也从一个侧面体现了老一辈物理学家的严肃、严谨。
卡文迪什-麦克斯韦实验的思路是，对于均匀带电的球形腔导体，可以测量腔内电荷。若腔内电荷为零，则
，如果不为零，则
。
1772 年，卡文迪什得出结论
19 世纪 70 年代，麦克斯韦重复了这个实验，发现
1971 年，结果
外观
它应该等于零。
（6）但人们仍然非常关心
是否严格为零。
因为电力平方反比定律的准确性不仅直接影响电磁场理论的准确性，而且与光子的静质量是否为零也有直接的关系。
（哪怕是一个非常小的数值），它都会引起连锁反应，导致物理学大厦的重建，具体来说：
① 电动力学的规范不变性将被破坏；
②电荷不再守恒，电荷有可能凭空出现或突然消失；
③光子的偏振态会发生改变；
④黑体辐射公式（见第27章）将被修改，这将破坏量子理论的基础；
⑤还会发生真空色散，即不同频率的光在真空中有不同的速度，从而破坏光速不变性，狭义相对论将被重置。
这些事件严重动摇了物理学的基础，我们必须认真对待。
（7）库仑扭秤实验实际数据其实很少，他只做了几组实验（由于漏算严重等原因），当然他每组实验都做得很认真、很细致，不然也不会有
结果虽然数据太少，但确实是一个硬伤。所以，库仑定律不是大量实验观察的结果，而是基于事实的科学思维外推的结果，就像伽利略的两次著名的理想实验一样。
(8)在该定律中出现了一个新的物理量：电荷的定义。
在电力的表达中，需要引入一个定量描述两个点电荷大小的物理量——电荷量。这样不仅可以表明它是电力，而且可以通过q1、q2的大小和正负来区分电力的大小以及这种力是吸引还是排斥。
在物理学中，开辟一个新领域、发现一个新定律，往往伴随着新概念的提出和新物理量的定义。例如，牛顿定律定义了惯性质量，万有引力定律定义了引力质量高中物理的相关科学家，热力学定义了内能和熵，静磁场定义了磁通量、磁感应强度等，静电场问题中定义了电量、电场强度、电势、电势能、电场能量等。
（9）电力的方向恰好在两个点电荷的连线上，电力在空间中具有球对称性。需要注意的是，虽然这两个性质与实验大致相符，但前者并不是后者的严格要求。即便如此，我们还是愿意相信它们是正确的，因为我们更愿意相信空间是各向同性的，没有偏好性。
这个例子说明，物理定律有高低两级之分，它们之间有一定的从属关系，而且高级别定律会包含低级别定律，显得更有普遍性。
（以上物理学史部分内容参考自微信公众号“中国科学院高能物理研究所”2017年2月9日文章-新知丨物理学史上的库仑定律）
电荷的单位是“库仑”，用符号C表示。其实C是一个非常大的单位。想象两个点电荷，每个电荷为1C，距离为1m。库仑斥力为
这相当于
其实这么大的电量是不可能存在的，因为周围的空气已经被击穿了，所以带电体的电量一般不会很大。
8.1.2库仑法律持有的条件
仔细地看着教科书，在描述库仑定律中，有一个句子“在真空中静止”，这表明库仑的定律是有条件的：①真空。
（1）真空。
真空状况实际上是不必要的。 GES中的GES等。
在介电系统的实际应用中，我们将增加一个物理量
（相对介电常数），用于描述介电环境和真空环境之间的差异。
（2）静止。
积分指控是否是静止的，这是一个非常严重的问题，需要详细且深入的解释。
众所周知，牛顿的第三定律实际上是在特殊条件下的势头保护范围的产物，如果两个物体形成一个封闭的系统，而不是由外部力量采用的，那么它们的动力是通过彼此之间的内部力量来保存的。
但是，在电荷系统中，库仑不再遵循牛顿的第三定律。可能会有挪用公款和反馈，这会导致两种电荷的总动量增加或减少，如果将电场添加到该系统中，则该系统的势头再次保留，牛顿的第三定律再次成立。
当我们谈论时，似乎我们引入了一种非同寻常的物质形式 - “字段”。
使用D'方程式（请参见下文，读者不必担心等式中的各种物理数量），可以计算出移动电荷周围的电势时的电势会滞后，而该电位始终落后于及时激发它的源头，我们称这种潜在的潜在潜力是延迟的潜力。
延迟电位（）表明，电荷产生的物理效应不能立即传输到场点，但在以后的时间内传输。
（3）点充电。
理想的点电荷模型的引入说明了电荷的量子性质。
在进行大量实验后，在1834年，法拉第（）给出了电解定律：当相等的电荷通过不同的电解质时，电极上沉淀的物质的量与物质的化学等效物成正比（相对原子质量与原子价的比率）。
换句话说，E应该是基本电荷，所有对象的电荷应该是它的整数倍数。
1909年，的油滴实验（如图所示）直接测量了油滴的电荷。
我们还发现电子几乎永远不会衰减，它们的衰减周期大约
年份比已知宇宙的年龄要大得多（138.2亿年）。
总而言之，可以说，守护指控定律既不能创建也不能被销毁，也不能被销毁，只能将费用从一个对象转移到另一个对象，或者从一个对象的一个部分转移到另一个对象到另一个对象，在任何物理过程中，保留了代数的费用。
阐明：
从库仑定律的整个过程中，我们可以理解：
（1）物理学非常严格。
（2）物理学对于特定的实验定律非常精确，表达式必须非常合适，必须精确，确定法律的条件必须非常严格和客观，并且法律的应用范围必须明确且明确。
（3）物理法律是一个很长的过程。
（4）从发现库仑定律的发现，我们还应该了解，得出一般物理定理和法律的过程经历了以下过程：
obse obse;
②提出问题；
③猜猜答案；
④设计实验测量；
并找到关系并发现模式；
⑥形成定理和法律（通常需要引入新的物理数量或新模型，找到新的内容和正确的表达式）；
⑦检查其建立，应用范围，准确性，理论地位和现代意义的条件；
⑧在追求法律的有效性背后是否存在更高和更深的物理原因，因为在正确的陈述背后必须有正确的理解。
（5）此案还告诉我们，创新的思维很难通过练习来发展创新思维和创新能力，这是俗话说的持续积累，只有一个伟大的积累才能取得巨大的成就，只有一个伟大的知识才能使我们的态度良好。