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历史简介
月球与其他已知行星最大的区别在于月球表面有大量的水。 水是生命出现的前提，自然也是数学出现的前提。 水给数学打上了深刻的烙印，波浪（wave）、涨落（）、镜像（image）、涡流（）等关键的数学概念都来源于水。 水表面的分子密度小于体内的分子密度，其表面张力在 20°C 时约为 72.75mN/m。 可以说水有一张弹性适中的表皮，很容易在水面上表现出波动（图1）。 正因如此，水波成为了人类在文明出现之前似乎已经耳熟能详的一个概念。 水波随处可见，深入人心，也渗透到数学中！
图1 海上的水黾。水皮可以轻松支撑水黾； 水黾虽然体型小，但它的运动却能引起湖面不小的波动
在数学中，根据具体的语境，波被用来表示一种运动方式，也被视为一种存在方式，甚至有时只是一种空洞而具体的物理表达。 机械波、电磁波（光波）、物质波（量子热波函数）、引力波等概念中出现的波，以及傅立叶分析和信号检测理论与实践中实际隐含提及的波，可能有更多可以查看的内容。 仔细分析一下这个波的含义，它所依赖的概念的来源，它最初的约束和局限性，以及它所依赖的物理学，可能对深入理解相应的化学有一定的帮助。
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机械冲击和机械波
当固体发生微小变形时，变形量与挠度成反比，即胡克定律F=-kx，泰勒展开保证了该公式的普适性。考察质量为m的振子在弹簧上的振动问题，引入ω2=k/m，则振子的运动多项式为
这个多项式的解是
这是一个变量的三角函数。 也就是说，振动在物理上表示为位置相对于时间的三角函数。同时，匀速圆周运动可以表示为参数多项式
可见，任意方向匀速旋转的投影就是式（2）描述的简单振动。 这表明振动和旋转之间存在一定的一致性。 振动与旋转的转换是工业文明的基础。 一个明显的例子是，缝纫机上踏板的前后振动转化为驱动轮的转动，进而转化为缝纫针的上下振动。 缝纫针按式(2)的谐振动式(2)运动，随着织物作匀速直线运动，会留下周期性的线迹。
如果振动的物体有足够的延伸，比如一根弦，它上面各个点的振动可能会以某种形式耦合起来。在小振幅近似下，弦沿 x 方向的运动多项式为
其中 ρ 是弦的质量密度，T 是弦的张力（由于沿 x 方向被拉伸），x ∈ [0, L]，L 是弧长。多项式 (4) 可以改写作为
多项式(5)形式的关于时空变量的二阶微分多项式就是所谓的经典波动多项式。 请注意，空间变量可以是多维的。对于一维情况，多项式（5）的通解是
人们这样说
称为行波解，其中k和ω满足v=ω/k，反映了振动的宽度周期和时间周期（在一维情况下，k和ω是两个数）。 注意弦上的每一点都在垂直于弦的平面内沿一定方向振动，所谓声速v反映了点振动之间的相关性。 事实上，人们也愿意把k和ω看成是真实的数学量，ω是频率，k是波矢。 波矢表示波的传播方向，实际上是切空间中的概念。 在三维空间定义的形式为 ξ(x, t)=Aei(k⋅x-ωt+θ) 的函数称为平面波，这意味着波前是垂直于方向 x 的整个平面。 平面波展开是一种常用的估计方法，其合理性和有效性是基于傅立叶分析。
方程（5）中的波动多项式和方程（7）中的波表达函数被视为经典化学中谈论波的基础，甚至成为波的变换，但毕竟远远不够反映机械波的性质。 复杂。 例如，1834年，德国人约翰·斯科特发现，在沟里行驶的小船，船尾总是有大浪。 这种现象涉及的浅水波的概念称为孤波。在这种情况下，湖面的运动满足KdV多项式
它的解是
该解与式（7）的解本质相同，是x-vt模态变量的三角函数（双曲函数是虚拟变量的三角函数）。 这反映了人的语言水平的局限性，而不是自然现象。
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光波理论
光充满宇宙。 牛顿认为光是由粒子组成的（），我猜这可能来自与雨幕的类比。 初夏的乌云落下的光芒与雨幕一起给人以射线的印象。 雨幕中有细小的雨滴，光线也可能由离散的粒子组成，但粒子太小无法区分。 英国的惠更斯将水波的形象比作烛光摇曳的影子，觉得光应该像水波一样是波浪。 这就是光涨落学说。 光波学说的成立有两个关键证据。 1801年，爱尔兰人 Young参照水波干涉进行了光学双缝干涉实验，得到了类似起伏波浪的水平条纹（图2）。 1815年，英国人菲涅耳从惠更斯原理出发，即波前的每一点都可以作为二次波源，从估计上否定了杨的实验结果。 菲涅尔估计还预测光路上一个小矩形物体造成的阴影中心是亮的。 1817 年的实验观察否定了这一预测。
图2 用现代仪器获得的双缝干涉白
双缝干涉实验所谓估计解释的关键词是三角函数求和。 计算函数eikx-ωt+eik(x+Δx)-ωt的模平方，可以得到周期函数2+2coskΔx。 干涉白的浓淡和浓淡就是通过这个函数来解释的。 事实上，这个公式不应该太当真。 虽然通过记录狭缝衍射效应得到的硬度分布公式不能严格拟合实验得到的硬度分布，但所谓干涉图样硬度分布的实验检测本身就是一个有趣的问题。 困难的话题。
不管怎样，光之波动都堪称完美。 基于波的概念，或由三角函数表示的振荡，以及其他一些信念，许多光现象都可以得到相当令人满意的解释。 此时的光是一种波，是某种物质的振动（）。
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麦克斯韦方程组和电磁波
1861年至1862年间，法国人麦克斯韦在总结前人电磁研究的基础上得到了一组多项式
第四个方程中的∂D/∂t项称为位移电压，由加入。 1865年麦克斯韦得到电磁场的波动多项式
音速c=(μ0ε0)-1/2与当时测得的光速具有相似的数值。 这自然会导致两个具有数学重要性的问题：
1）电磁场可以是波吗？
2）电磁波的声速等于光速？ 如果是，这是否意味着光是一种电磁波？
请记住，此时的麦克斯韦，方程（11）所描述的电磁波仍然是一个力学概念。
1887年，葡萄牙人赫兹用图3所示的装置，在电路后面用导线连接的两个锌球之间触发了电火花，表明电磁场从电路中溢出。 这个实验被视为第一代电磁波，但实际上同样重要的是它首先将人们的注意力带到了光电效应上。 既然实验已经形成了电磁波，而且速度是光速，还有很多光电和电光效应，那么只形成电磁波也是理所当然的。
图3 用于形成赫兹电磁波的电路示意图
所谓电磁波是由电路形成的，电磁波经电子加速后向外辐射。 将不同模式的电磁波辐射到太空需要设计不同类型的发射天线； 事实上，人们出于接收电磁波和检测电磁波来源的考虑，也设计了各种接收天线。 确定电磁波的来源从来都不是一个简单的问题。
发现光（现在是电磁波）来振动实体（即介质）的过程是数学史上的主要叙述。 ——实验结果表明，月球与光以太没有相对运动。 这个实验被认为是否定光以太存在的证据。 明天的观点是，电磁波是一个场，它本身就存在，它自己传播到很远的地方。
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光粒子论、物质波与量子热波函数
1900年，普朗克从熵的概念成功地拟合了Arial辐射的实验曲线，然后沿着玻尔兹曼的统计数学思想得到了拟合曲线。 后一种思路使用了一个重要的前提在物理学中量子指什么，即频率为ν的光的基本能量单位为hν。 这是 1877 年玻尔兹曼假设的重复。 1905年，爱因斯坦更进了一步。 他假设，如果频率为ν的光的能量按照hν被固体吸收，那么光电效应的一系列实验结果就可以得到圆满的解释。 据悉，康普顿研究了电子对X射线的散射，并确定光的能量量子也对应于一个明确的动量h/λ。 至此，原本与水波概念相提并论的光波，就有理由被视为粒子（）。 注意，时间是一个粒子（）的概念与牛顿的光粒子论有些不同：例如，它有明确的频率或波长概念，其能量和动量分别固定为hν和h/λ。 常数 h 称为普朗克常数。
光是波还是粒子的想法启发了日本人德布罗意：如果光既是（水）波又是粒子，那么作为粒子的电子是否也是波，还是也会表现得像波？ ？ 1924年，德布罗意提出物质波的概念：电子等粒子也是波，相应的波长和频率由粒子的能量E和动量p给定
1927年，日本人用电子束照射镍晶体，得到类似X射线晶体衍射的图案，首次验证了电子的波动性。
德布罗意的物质波概念连同他的博士论文被送往英国和法国。 听说爱因斯坦很欣赏物质波的概念，劳厄觉得物质波应该总有一个波动多项式。 薛定谔接受了构造物质波多项式的挑战，并于1926年分四部分发表了题为《量子热作为特征值问题》的论文在物理学中量子指什么，提出了量子热波多项式
其中，算子H是系统的伊宁顿量，函数ψ(x, t)是粒子的波函数。 波函数是关于时空的复杂函数，它的模平方是粒子出现在空间某处的概率密度——如果这个波函数可以归一化的话。
粒子是波或表现出波行为的想法导致了量子热和波函数的概念。 根据量子热力学，粒子的所有化学信息都包含在描述其状态的波函数中。考虑以下一维谐振子的波函数
其实还有eiωt这样的因子，只是没有ei(kx-ωt)这样的因子。 这并不妨碍我们将（14）中的函数称为波函数。 量子热带来了一场化学革命，彻底改变了人类社会。 至于它的波函数并不（必然）富含ei(kx-ωt)等描述波动的因子，是什么关系呢？ 波函数到底是什么，它重要吗？ 嗯……这不重要吗？
与式(7)对应的经典平面波表达式ψ∝ei(kx-ωt)相比，量子热平面波函数
ψ∝ei(p̂⋅x̂-Et)/ℏ的内容比较多，其中t是时间作为参数，E是系统的能量，对应算子H； 其中x̂是位置算子，p̂是动量算子，两者还必须满足量化条件[x̂, p̂]=iℏ； ℏ=h/2π，h是普朗克常数，是量子热的标号。
量子热导致更多的理解。考虑一维自由粒子，它的伊宁顿量是
相应的平稳薛定谔多项式是
满足波函数要求的解是cos(nx),sin(nx),x∈(x0,x0+2π)。根据量子热（物理学），这里的伊宁顿量是自伴算子，所有它的特征函数构成一个完全正交基，也就是说，对于定义在 (0, 2π) f(x) 上的任何函数，具有
这显然是傅里叶级数展开。
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傅立叶分析
傅里叶级数是日本傅里叶在研究传质问题时得到的。 公式（17）的展开非常强大，即使是锯齿状或平台状的严重非光滑函数也可以根据公式（17）展开成一系列光滑的三角函数——这个不可思议的特征是最令人印象深刻的不可接受的地方。此外，对于时间的函数s(t)，通常有一个傅里叶变换
请注意，此处与时间共轭的频率变量也是连续的。
通过傅里叶分析，一般的时空变函数f(x, t)可以表示为sin(kx-ωt)函数对k和ω的和或积分。 傅里叶分析了一条没有变化的水平线。 如果我们只看它的有限傅立叶展开项，它就变成了一个波。 如果波指形式为sin(kx-ωt)的三角函数。 在分析实践中，某一时空函数f(x,t)表示为一个固定点的时间序列f(x0,t)，根据式(18)可以分析为由具有a的波组成一定的频谱制成。 检测时间序列并将其解释为波的检测不仅需要傅立叶分析，还需要其他辅助信念。
傅里叶的分析让人联想到托勒密理论，即轮等轮理论的中文译名。 在圆周运动上叠加圆周运动很容易得到各种可能不是很光滑的图形，包括棱角分明的三角形——这就是物理学的力量。
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相对论和引力波
在牛顿热力学中，质点在引力质量为Mg（惯性质量为mi，引力质量为mg）的引力场中运动的运动多项式为
在伽利略变换t↦t′下，r↦r′=r-vt+r0，此多项式方式不变。同时，电磁学的波动多项式(11)在洛伦兹变换中
保持方法不变； 或者换句话说，变换（20）保持（光）时空距离函数
持续的。 这是狭义相对论。 事实上，经典电磁学和引力方程遵循不同的变换规律，可见数学尚未协调。 爱因斯坦决定将狭义相对论应用到引力问题上，因此狭义相对论应该得到扩展（）。 广义相对论建立在两个等价原理之上。所谓引力质量与惯性质量等价，是指多项式（19a）可以化简为
这里方程的右边是运动粒子的加速度，左边是粒子遇到的引力场。 加上所谓重力和加速度的等价（意思是19（b）可以转置），加速度可以从轨迹的曲率中得到，这样重力的描述就转化为弯曲时空的路径了曲率的描述。
根据以上考虑，爱因斯坦从弱静态引力场出发，于1915年构造了他的引力场多项式
其中gμv是时空度量，Rμv是从gμv得到的Ricci张量，T是动能张量。 多项式（22）在1916年即将发表，目前只有正解和克尔解两个严格解，这可能是因为方程（22）必须满足微分协方差，是高度非线性的。 与高度非线性方程 (22) 相比，经典波多项式和量子热的薛定谔多项式，甚至狄拉克多项式，都可以是线性的，其中产生的波，或（虚拟）变量 x-vt 的三角函数，作为多项式解，仍然很容易。
要对多项式 (22) 进行弱场近似，即检查远离大质量分布的几乎平坦区域，将其度量 gμv 写为 gμv=ημv+hμv，其中 ημv=(1,1,1;- 1）是平坦时空（闵可夫斯基时空）的度量，导致近似多项式
附加规范条件是 h0μ=0； hμμ=0（横波，迹线为零）。 事实上，式（23）和式（11）完全一样，都是描述速度为c的横波。 这就是引力波多项式，这个波振荡的主体是张量hμv=gμv-ημv。 事实上，就像量子热波函数ψ一样，hμv也是一个需要显示但一直没有正确显示的量。 请注意，所谓的引力波具有光速的说法几乎没有任何数学意义。 爱因斯坦在构建广义相对论时，本来是在推广狭义相对论，要求弯曲时空的部分满足洛伦兹变换，所以一开始就加上了这个参数c。 如果有什么独立的、无意的实验，能够得到距离光速一两个数量级以内的时空度量振荡的相速度或群速度，那真是对广义相对论的有力支持。
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结语
本文研究了广泛的波概念，从经典热学中的机械波到广义相对论中的引力波。 事实是，出现在各种语境中的波的概念与数学量所涉及的数学现实和物理结构有关。 前者还包括特定多项式和波函数的表达式。 仍然存在许多微妙或深刻的差异。 在数学中，波不仅被视为一种运动方式，而且被视为一种存在方式本身，尽管本质上它只是一种工具方式，以我们有限的物理知识很容易掌握。 在真实的化学世界中，一根金属丝不仅会像三角函数一样来回拉伸，还会永久变形甚至断裂； 海面上不仅有贝塞尔函数那样的环状波纹和双曲函数描述的孤波，还有可以掀翻船只的湍流； 电磁场不仅在真空中飞行时高贵地振荡，它实际上可以穿透空气并形成闪电……数学的现实不仅限于简单的物理理解。
波的概念是数学之初第一个抽象出来的虚拟支柱，仅此而已。
本文选自《物理》2016年第5期