应用数学知识解题六化
高中数学教学中，常会出现应用数学题，令有些朋友无所适从，倘若能在求解时加以辨识、转化实际问题为数学问题，就不难解了，以下是常用的几种途径。一、对照转换，实际问题规范化如图所示，甲、乙两个容器等重，底面积相同，内装有同一深度的水，水平放置在桌面上，①比较甲、乙两容器顶部遭到的压力和浮力的大小；②比较甲、乙两容器对桌面的压力和浮力的大小；
甲乙
这是一道有关容器顶部压力和浮力的习题。由于容器底有两个面，上表面和液体接触，所以是液体的压力和浮力问题；下表面和桌面接触，所以是固体的压力和浮力问题。解答这种问题，要反复用到公式P=F/S和P=ρgh。这么在比较其压力和浮力时，其思路怎样呢？从液体浮力公式P=ρgh可以看出，液体的浮力只跟液体的密度有关，跟液重无关，再由F=PS=ρghs可知物理中的升华和凝华的概念，液体对容器顶部的压力也跟液重无关，所以比较液体对容器顶部的压力和浮力时，不管容器的形状怎样，通常应先由公式P=ρgh比较出液体对容器顶部的浮力，之后由公式F=PS比较其压力。容器连同它所盛的液体都支承在椅子上，对椅子的压力就等于它们的总重，而浮力则是单位面积上遭到的压力。因而要比较容器对桌面的压力和浮力，应该比较它们对支承物的压力，之后再由公式P=F/S比较其浮力。弄清这种问题的思路，问题也就迎刃而解了。二、抓住本质，研究对象模型化如图，一重为500牛，直径为0.5米的车轮F置于高为30分米的台阶旁，车轮与台阶接触A处是粗糙的。要想将车轮刚能开始向台阶上O滚，所用的最小力应为多少？作用在何处？方向怎样？G剖析：本题中隐蔽条件有：1车轮与台阶接触处是粗糙的；2车轮刚能开始向台阶上滚即已知“地面对车轮的支持力为零”；3对车轮施以最小的力即已知所施力的力臂最长；至此，已知条件皆已明晰，按照杠杆的平衡条件不难求解。
解：按照以上剖析，如图所示，力作用于A点，且力的方向垂直于AO其大小可依照杠杆平衡条件得：F.2R=G.LL=R=0.5G=500牛，h=0.3米代人得：F=229牛再例如有诸如下：电热器淋浴器分为储水式和无水箱式两种。储水式淋浴器要用较长时间把水箱中的水加热，待温度达到要求后用水箱中的冷水淋浴。无水箱式淋浴器使热水流过电热器就达到要求的体温而立刻从喷嘴流出供淋浴。已知热水的气温为16℃，淋浴所需的冷水水温为38℃，淋浴所需冷水流量为4×10-3米3/分，水的比热是4.2×103焦耳/（千克.℃），家庭电路容许通过的最大电压为5A。请你借助以上数据通过估算说明家庭中不宜使用无水箱式电热淋浴器。剖析：本题是热电综合题，从题给条件可知，每秒钟所需冷水的容积和每秒钟所需冷水的质量，因而求知每秒钟将水加热所需的热量。从题目看，为说明家庭中不宜使用无水箱式电热淋浴器，可以从电压考虑，看实际电压是否超过容许通过的最大电压5A。此题就弄成“要使流量为4×10-3米3/分的水从16℃升高到38℃，所需的家庭电路的电压是多少？”解：每秒钟所需加热的水的质量m=ρV=1.0×103千克/米3×(4×10-3×1/60)米3=6.67×10-2千克每秒钟将水从16℃加热到38℃所需的热量Q=cm(t-t0)=4.2×103×6.67×10-2×(38-16)焦=6163焦由于P=UI所以I=P/U=Q/Ut=6163/220A=28A＞＞5A∴家庭不宜使用无水箱式电热淋浴器。
三、细致剖析，模糊目标清晰化例1煮饭至沸腾时，壶口的“白汽”是（）A)水蒸汽B)水汽C)小水珠D)水蒸汽和水的混和物剖析：初中中学生常选水蒸汽，但正确答案却是小水珠。由于水蒸汽是一种无色无味的看不见的二氧化碳，而壶口的白汽是看得见的，它是水蒸汽遇冷液化而成的小水珠飘浮在空中。例2离开枪口的炮弹遭到（）力的作用。（空气阻力忽视不计）A)只有重力B)有重力和推力C)有惯性D)不受力剖析：中学生常常选B，也有的选C，但正确答案是A；由于炮弹离开枪口后已不遭到手对它的力的作用。它之所以能运动是由于炮弹具有惯性，在空中它将编曲线运动，由于重力的影响。例3有一个铜坯料，在它浇铸时所用的实心木模是12千克，木模的密度是0.6×103千克/米3。称出这个坯料的质量是175千克，按照这种数据判定这个铜坯料有没有气孔？剖析：本题待求的问题是“判断铜坯料有没有气孔？”正确理解关键词句“有无气孔”是解题的关键所在。认真剖析，不难发觉本题实际上是判定铜坯料是否实心的问题。归根究竟是比较此坯料的密度与铜的密度大小的问题。若此坯料密度值恰为铜的密度，则实心，无气孔。若大于铜的密度，则说明此坯料必有气孔。
解：铜坯料的容积即为木模的容积：V=V木=m/V=12/0.6×103=0.02(米3)则铜坯料的密度：ρ=m/V=175/0.02=8.75×103（千克/米3）因ρ铜=8.9×103（千克/米3）故说明此坯料有气孔。四、认真辨识，题设条件明朗化冰裹着物体，悬浮在海面上，当冰完全凝固以后，湖面是上升，增长还是不变？这种题目多次在中学物体大赛题中出现，粗看上去比较难解，似有无从人手的觉得。是否真的无从人手，找不到判别方式呢？可通过以下例题来说明问题：例1海面下浮有一大块0℃的冰，冰中包有一实心的铁块，当冰全部溶化以后，关于液面升降的'正确判定是：A)增长B)不变C)上升D)难以判定剖析：由于压强的大小等于物体排开液体的重力，所以判定液面的升降我们可以从包有石块的冰溶化过程中，压强大小变化去考虑；假如压强减小，则排开液体的容积减小，即液面上升；假如压强降低，则排开液体的容积增大，液面增长；假如压强不变，则排开液体容积不变，液面高度就不变。而总的压强又可分为两部份：冰和其中包的物体在冰溶化前后受的压强。因为冰全部溶化为水后的容积不影响海面的高低，只要看冰中所包含的物体，在冰溶化前后所受压强是否变化，就很容易找到问题的答案。
上题中的石块在冰中时，压强等于它的重力，而冰溶化后石块坠入容器的底，这时它所受的压强大于重力。也就是它所受的压强降低，造成总的压强降低，因而排开的水的容积增大，湖面增长。答案应为A。由此可见，解这类题的锁匙是考察压强的变化。五、寻找联系，实际问题物理化例1：请选出其中“热”指的是“内能”的反例：A)明天天气很热；B)热运动；C)热传递；D)磨擦生热；中学数学中提及“热”字的地方好多，并且“热”在不同的地方它的涵义是不同的。常见的有三种情况：一是指气温，气温是表示物体冷热程度的化学量。“今天天气很热”；“物体的热膨胀”；“热得烫手”；“热运动”都指的是气温；二是指热量；热量是在热传递过程中的一个数学量，它的实质是在热传递过程中能量转移的数目。如“煤燃烧放出热”；“铜是热的良导体”；“热传递”；“冰放热会凝固”中的“热”指的都是“热量”。三是指内能，它与分子的运动有关。“摩擦生热”；“消耗热可以作功”“热机”中的“热”指的是“内能”；所以本题的正确答案是D。例2：在下边列出的现象中，属于升华现象的是：A)秋天，冰淇淋周围冒“白气”；B)严寒的夏季，玻璃窗上结冰花；C)萘制的卫生球日久变小；D)秋天物理中的升华和凝华的概念，木盆外壁“出汗”；剖析：本题中的“冒白气”`“出汗”`“结冰花”等都是生活语言，必须把它跟“蒸发”`“液化”`“凝华”`“凝固”等化学概念联系上去。
冒“白气”实质上是冰淇淋周围空气中的水蒸汽遇冷“液化”成小水滴；玻璃上结冰是室外空气中含的体温较高的水蒸汽遇冷弄成固态的冰花，属“凝华”现象；而木盆“出汗”是“液化”现象；只有卫生球日久变小是“物质从固态直接弄成气态”，属升华现象，故正确答案是C。六、加强基础，克服思维定势化例1:有仍然线行驶的车辆（列车或客轮），做一小实验，让手中的小球下落，这么小球会落在A）A处B）B处C）C处CABD）未能判定中学生受思维定势影响，盲目运用过去的解题经验，导致选A的错解。若选A，需存在一前提，即车辆作匀速直线运动，此时，物体因为惯性，要保持原先的运动状态，物体在空中仅受重力作用，（空气阻力忽视不计）。如无此条件，车辆可作加速直线运动、匀速直线运动、减速直线运动，对应的答案分别是B、A、C。所以本题答案是D。再如有以下选择题：使用机械效率高的机械一定（）A)省力B)省功C)省距离D)省时间对这道题，中学生因为受功的原理中“不省功”的影响，选择了除B以外的其他答案。虽然，正确答案恰恰是B。现剖析如下：从机械效率的公式η=W有用/W总,可得W总=W有用/η。在使用不同的机械对物体作功时，由不省有用功（即做同样多的有用功）可知，η高的机械所需的总功（即人们对机械做的功），比η低的机械要多些，即省些。可见，该题备选答案中的“省功”指的是省总功。其实，解答好化学题，不仅要有适当的方式外，还应注意挖掘题中的蕴涵条件；正确判定问题所处的知识范畴；并擅于将题中的日常语言转化为化学语言；即要擅于捉住问题的本质。
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