热点5　万有引力定律的应用
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1．某行星的同步卫星下方的行星表面上有一观察者，行星的自转周期为T，他用天文望远镜观察被太阳照射的此卫星，发现日落的 T2 时间内有T6的时间看不见此卫星，不考虑大气对光的折射，则该行星的密度为(　　)
A.24πGT2　　　　　　　　　   B.3πGT2
C.8πGT2    D.16πGT2
2．(2019•青岛模拟)2019年1月12日，我国以“一箭双星”方式成功发射第26、第27颗北斗导航卫星，拉开2019年将发射16颗北斗卫星的序幕．北斗导航卫星的轨道有三种：地球静止轨道(高度35 809 km)、倾斜地球同步轨道(高度35 809 km)、中圆地球轨道(高度21 607 km)，如图所示．下列说法正确的是(　　)

A．中圆轨道卫星的周期一定比静止轨道卫星的周期长
B．中圆轨道卫星受到的万有引力一定比静止轨道卫星受到的万有引力大
C．倾斜同步轨道卫星始终位于地球表面某点的正上方
D．倾斜同步轨道卫星每天在固定的时间经过同一地区的正上方
3．(多选)近年来，我国航天与深海潜水事业交相辉映，“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”已经不再是梦想．处于7 062 m深海处随地球自转的蛟龙号的向心加速度为a1，转动角速度为ω1；处于393 km高空圆轨道的神舟十一号向心加速度为a2，转动角速度为ω2；处于36 000 km高空圆轨道的地球同步卫星的向心加速度为a3，转动角速度为ω3.下列说法正确的是(　　)
A．a2>a3>a1    B.a1<a2<a3
C．ω2>ω3＝ω1    D.ω2<ω3＝ω1
4．(2019•烟台模拟)2019年1月3日，“嫦娥四号”成功着陆在月球背面南极，由前期发射的“鹊桥”号中继星为其探测器提供地月中继通信支持，“鹊桥”号中继星于“地月系统拉格朗日－2点”(简称地月L2点)附近运动，地月L2点位于地球和月球两点连线的延长线上的某点，在月球背对地球的一侧，探测器处于该点可在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做圆周运动，关于定点于地月L2点的探测器的说法正确的是(　　)
A．探测器与月球绕地球做圆周运动的周期之比等于它们的轨道半径的二分之三次方之比
B．探测器与月球绕地球做圆周运动的向心加速度与它们的轨道半径的平方成反比
C．探测器与月球绕地球做圆周运动的线速度之比等于它们的轨道半径之比
D．不可能有探测器能定点于地月连线之间某点
5．在人类太空征服史中，让人类遗憾的是“太空加油站”的缺乏．当通信卫星轨道校正能源耗尽的时候，它的生命就走到了尽头，有很多成了太空垃圾．如今“轨道康复者”是救助此类卫星的新型太空航天器，图甲是“轨道康复者”航天器在给太空中“垃圾”卫星补充能源，可简化为图乙所示的模型，让“轨道康复者”N对已偏离原来正常工作轨道的卫星M进行校正，则(　　)

A．“轨道康复者”N从图乙所示轨道上加速，与卫星M对接补充能源后开动M上的小发动机向前喷气，能校正卫星M到较低的轨道运行
B．让M降低到N所在轨道上，补充能源后再开启卫星M上的小发动机校正
C．在图乙中M的动能一定小于N的动能
D．在图乙中，M、N和地球球心三者不可能处在同一直线上
6．(2019•枣庄模拟)某行星的质量约为地球质量的12，半径约为地球半径的18，那么在此行星上的“第一宇宙速度”与地球上的第一宇宙速度之比为(　　)
A．2∶1    B.1∶2
C．1∶4    D.4∶1
7．(2019•济宁二模)如图所示，1、3轨道均是卫星绕地球做圆周运动的轨道示意图，1轨道的半径为R，2轨道是一颗卫星绕地球做椭圆运动的轨道示意图，3轨道与2轨道相切于B点，O点为地球球心，AB为椭圆的长轴，三轨道和地心都在同一平面内．已知在1、2两轨道上运动的卫星的周期相等，引力常量为G，地球质量为M，三颗卫星的质量相等，则下列说法正确的是(　　)
A．卫星在3轨道上的机械能小于在2轨道上的机械能
B．若卫星在1轨道上的速率为v1，卫星在2轨道A点的速率为vA，则v1＜vA
C．若卫星在1、3轨道上的加速度大小分别为a1、a3，卫星在2轨道A点的加速度大小为aA，则aA＜a1＜a3
D．若OA＝0.4R，则卫星在2轨道B点的速率vB＞ 5GM8R
8.如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速度v0拋出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜坡的倾角为θ，已知该星球半径为R，
引力常量为G，下列说法错误的是(　　)
A．星球表面的重力加速度为v0tan θt
B．该星球的质量为2v0R2tan θGt
C．在该星球上发射卫星的发射速度一定大于　2v0Rtan θt
D．在该星球上不可能发射周期小于π　2Rtv0tan θ的卫星
热点5　万有引力定律的应用
1．解析：选A.设行星质量为M，半径为R，密度为ρ，卫星质量为m，如图所示，发现日落的T2时间内有T6的时间看不见同步卫星，则θ＝360°6＝60°，故φ＝60°，r＝Rcos φ＝2R，根据GMm（2R）2＝m2πT2•2R，M＝ρ43πR3，解得ρ＝24πGT2.

2．解析：选D.中圆轨道卫星的轨道半径比地球静止同步轨道半径小，做圆周运动的周期短，选项A错误；由于不知道中圆轨道卫星与静止轨道卫星的质量，无法比较二者与地球之间的万有引力大小，选项B错误；地球静止轨道卫星始终位于地球表面某点的正上方，选项C错误；倾斜同步轨道卫星的周期与地球的自转周期相同，都是24小时，所以倾斜同步轨道卫星每天在固定的时间经过同一地区的正上方，选项D正确．
3．解析：选AC.由题意可知ω3＝ω1，由GMmr2＝mω2r知，ω2>ω3，C正确，D错误；由于地球同步卫星比蛟龙号的轨道半径大，根据a＝rω2，可知a3>a1，由GMmr2＝ma知，a2>a3，A正确，B错误．
4．解析：选C.定点于L2处的探测器与月球公转同周期，因此A错；由a＝ω2r知B错；由v＝ωr知C对；在地月连线之间会有一处满足F地－F月＝mω2r，D错．
5．解析：选A.根据向心运动条件知，卫星M减速，即开启的发动机向前喷气，万有引力大于圆周运动所需的向心力，故卫星M会降低轨道运行，A正确；卫星M在没有补充能源情况下，不能降低到“轨道康复者”N所在轨道上，B错误；根据万有引力定律和牛顿第二定律知GMmr2＝mv2r，得v＝ GMr，虽然M运行的轨道半径大于N的轨道半径，M的运行速率小于N的运行速率，但二者质量的大小关系不确定，所以不能判断动能大小，C错误；在题图乙中M绕地球的运行周期大于N绕地球的运行周期，所以经过一段时间卫星M、康复者N和地球球心三者是有可能处在同一直线上的，D错误．
6．解析：选A.设地球质量为M，地球半径为R，由GMmR2＝mv2R，可知地球上的第一宇宙速度v地＝ GMR，同理可得，行星上的第一宇宙速度v行＝12GM18R＝2GMR，所以v行∶v地＝2∶1，则A正确，B、C、D错误．
7．解析：选B.2、3轨道在B点相切，卫星在3轨道相对于2轨道是做离心运动的，卫星在3轨道上的线速度大于在2轨道上B点的线速度，因卫星质量相同，所以卫星在3轨道上的机械能大于在2轨道上的机械能，A错误；以OA为半径作一个圆轨道4与2轨道相切于A点，则v4＜vA，又因v1＜v4，所以v1＜vA，B正确；加速度是万有引力产生的，只需要比较卫星到地心的高度即可，应是aA＞a1＞a3，C错误；由开普勒第三定律可知，2轨道的半长轴为R，OB＝1.6R，3轨道上的线速度v3＝5GM8R，又因vB＜v3，所以vB＜ 5GM8R，D错误．
8．解析：选A.根据tan θ＝12gt2v0 t解得，星球表面的重力加速度g＝2v0tan θt，A错误；在星球表面，有GMmR2＝mg，解得M＝gR2G＝2v0R2tan θGt，B正确；根据重力提供向心力，有mg＝mv2R，解得第一宇宙速度为v＝gR＝ 2v0Rtan θt，因此发射卫星的速度一定大于 2v0Rtan θt，C正确；根据GMmr2＝m2πT2r可得T2∝r3，当r＝R时，最小周期为π 2Rtv0tan θ，故在该星球上不可能发射周期小于π 2Rtv0tan θ的卫星，D正确．

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