本专题主要考查波的特性、振动图象与波动图象，注意振动方程和波的图象有机结合的考查，题型在选择题和计算题中均有涉及。

一、机械振动
1．简谐运动表达式
(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
(2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ0)，其中A代表振幅，ω＝2πf代表简谐运动的快慢，ωt＋φ0代表简谐运动的相位，φ0叫做初相。
2．简谐运动图像
(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asin ωt，图像如图甲所示。
(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acos ωt，图像如图乙所示。

二、机械波
1．波的传播问题
(1)沿波的传播方向上各质点的起振方向与波源的起振方向一致。
(2)介质中各质点随波振动，但并不随波迁移。
(3)沿波的传播方向上波每个周期传播一个波长的距离。
(4)在波的传播过程中，同一时刻如果一个质点处于波峰，而另一质点处于波谷，则这两个质点一定是反相点。
2．波的叠加问题
(1)两个振动情况相同的波源形成的波，在空间某点振动加强的条件为Δx＝nλ(n＝0，1，2，…)，振动减弱的条件为Δx＝nλ＋λ2(n＝0，1，2，…)。两个振动情况相反的波源形成的波，在空间某点振动加强的条件为Δx＝nλ＋λ2(n＝0，1，2，…)，振动减弱的条件为Δx＝nλ(n＝0，1，2，…)。
(2)振动加强点的位移随时间而改变，振幅最大。

1．(2019•全国卷Ⅱ)如图，长为l的细绳下方悬挂一小球a，绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方34l的O′处有一固定细铁钉。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放，并从释放时开始计时。当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡。设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正。下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的x－t关系的是(　　)

2．(多选)(2019•天津高考)一列简谐横波沿x轴传播，已知x轴上x1＝1 m和x2＝7 m 处质点的振动图像分别如图甲、乙所示，则此列波的传播速率可能是(　　)

A．7 m/s B．2 m/sC．1.2 m/s D．1 m/s

1．(多选)一列简谐横波沿x轴的负方向传播，振幅为4 cm，周期为T。已知在t＝0时刻波上平衡位置相距40 cm的两质点a、b的位移都是2 cm，但运动方向相反，其中质点a沿y轴正方向运动，如图所示，下列说法正确的是(　　)

A．该列简谐横波波长可能为7.5 cm
B．质点a振动周期是1.2 s
C．当质点a的位移为＋4 cm时，质点b的位移为0
D．在t＝T3时刻质点b的位移是－4 cm
2．一列简谐横波，某时刻的波形图象如图甲所示，从该时刻开始计时，波上A质点的振动图象如图乙所示，则：

(1)从该时刻起，再经过Δt＝0.4 s，P质点的位移、通过的路程和波传播的距离分别为多少？
(2)若t＝0时振动刚刚传到A质点，从该时刻起再经多长时间坐标为45 m的质点(未画出)第二次位于波峰？

1．某一列沿x轴传播的简谐横波，在t＝T4时刻的波形图如图所示，P、Q为介质中的两质点，质点P正在向动能增大的方向运动。下列说法正确的是(　　)

A．波沿x轴正方向传播
B．t＝T4时刻，Q的速度比P的速度大
C．t＝3T4时刻，Q到达平衡位置
D．t＝3T4时刻，P向y轴正方向运动
2．(多选)由波源S形成的简谐横波在均匀介质中向左、右传播．波源振动的频率为10 Hz，波速为12 m/s.已知介质中P、Q两质点位于波源S的两侧，如图所示，且P、Q和S的平衡位置在一条直线上，P、Q的平衡位置到S的平衡位置之间的距离分别为12.3 m、10.5 m，P、Q开始振动后，下列判断正确的是(　　)

A．P、Q两质点运动的方向始终相同
B．当S恰好通过平衡位置时，P、Q两点也正好通过平衡位置
C．当S恰好通过平衡位置向上运动时，P在波谷
D．当S恰好通过平衡位置向上运动时，Q在波峰
3．图甲为演示单摆共振的装置，实验时依次让不同的单摆先摆起来，观察单摆P(图中未标出)能达到的最大振幅A和稳定时的振动频率f，并描点记录在图乙中，用光滑曲线连接各点得到如图乙所示曲线。取重力加速度g＝π2 m/s2，下列说法正确的是(　　)

A．单摆P的固有频率约为1 Hz
B．装置甲中只有一个单摆的摆长约为1.0 m
C．当单摆P稳定时的振动频率为1.0 Hz时，先振动的单摆摆长约为0.25 m
D．单摆P的振动周期总为2 s
4．(多选)一列简谐横波在某均匀介质中沿x轴传播，从x＝3 m处的质点a开始振动时计时，质点a的振动方程为y＝－5sin 5πt cm，t0时刻该波的波形如图所示，质点a正沿y轴正方向运动，则下列说法正确的是(　　)

A．该波的传播速度为20 m/s
B．该波是沿x轴负方向传播的
C．从t0时刻起，经0.1 s质点b通过的路程为5 cm
D．从t0时刻起，经0.15 s质点a回到平衡位置
5．如图所示，图甲是t＝5 s时刻一简谐横波沿x轴正方向传播的波形图，图乙为这列波上某质点的振动图象，则(　　)

A．该列波的波速为4 m/s
B．图乙可能是质点b的振动图象
C．质点c的振动方程为y＝6sinπt2＋π cm
D．t＝10 s时，a点的振动方向向上
6．两列简谐横波a、b在同一均匀介质中沿x轴同一方向传播，t＝0时刻各自的波形图如图甲所示，横波b上x＝0处的质点的振动图象如图乙所示，下列说法正确的是(　　)

A．横波b沿x轴正方向传播
B．t＝0时刻横波b上x＝0处的质点的位移为－5 cm
C．横波a在介质中传播的速度为2 m/s
D．t＝13.5 s时x＝1.0 m处的质点的位移为20 cm
7．(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，波刚传到x1＝5 m的质点P处时的波形如图所示，已知质点P连续两次位于波峰的时间间隔为0.2 s，质点Q位于x2＝6 m处。若从图示时刻开始计时，则下列说法正确的是(　　)

A．此列波的传播速度是10 m/s
B．t＝0.2 s时质点Q第一次到达波谷位置
C．质点Q刚开始振动的方向为沿y轴正方向
D．当质点Q第一次到达波谷位置时，质点P通过的路程为15 cm
8．直角坐标系xOy的y轴为两种均匀介质Ⅰ、Ⅱ的分界线，位于x＝0处的一波源发出的两列机械波a、b同时分别在介质Ⅰ、Ⅱ中传播，某时刻的部分波形图如图所示，此时刻a波恰好传到x＝4 m处，下列说法正确的是(　　)

A．波源的起振方向沿y轴正方向
B．两列波的频率关系fa＝4fb
C．此时刻b波传到x＝－16 m处
D．质点P在这段时间内的路程为30 cm
9．(多选)一列沿x轴正方向传播的简谐横波，t＝0时刻的波形如图所示，波速大小为v＝0.6 m/s，此时波刚好传到0.24 m的位置，P为0.60 m处的质点，下列说法正确的是(　　)

A．该波经过0.6 s传播到P点
B．该波刚传播到P点时P点由平衡位置向上振动
C．该波从t＝0时刻到刚传播到P点过程中O处质点的路程为30 cm
D．x＝0.18 m处的质点的振动方程为y＝5sin5πt＋π2 cm
10．一简谐横波以4 m/s的波速沿水平绳向x轴正方向传播。已知t＝0时的波形如图所示，绳上两质点M、N的平衡位置相距34波长。设向上为正，经时间t1(小于一个周期)，此时质点M向下运动，其位移仍为0.02 m。求：

(1)该横波的周期；
(2)t1时刻质点N的位移。

11．一列简谐波在t＝13 s时的波形图如图甲所示，P、Q是介质中的两个质点。图乙是质点Q的振动图象。求

(1)波速及波的传播方向；
(2)质点Q的平衡位置的x坐标。

12．同一种均匀介质中沿x轴正方向传播的简谐横波上有两个质点M和N，其平衡位置分别是xM＝10 cm和xN＝22 cm。t1＝14 s时刻，M离开平衡位置的位移是2 cm，N在波峰；t2＝16 s时刻，质点M第一次回到平衡位置；t3＝20 s时刻，质点N第一次回到平衡位置。求：
(1)简谐横波的波长：
(2)质点M离开平衡位置的位移y与时刻t的关系式。

1．【答案】A
【解析】摆长为l时单摆的周期T1＝2πlg，振幅A1＝lsin α(α为摆角)；摆长为14l时单摆的周期T2＝πlg＝T12，振幅A2＝14lsin β(β为摆角)。根据机械能守恒定律得mgl(1－cos α)＝mgl4(1－cos β)，利用cos α＝1－2sin2α2，cos β＝1－2sin2β2，以及sin α＝tan α＝α(α很小)，解得β＝2α，故A2＝12A1，故A正确。
2．(多选)
【答案】BC
【解析】由振动图像可知周期T＝4 s，零时刻x1处质点在平衡位置且向下振动，而x2处质点在正的最大位移处。①若沿x轴正方向传播，其波形如图甲所示，x2处质点的平衡位置可能在A1或A2或A3……，则波长有x2－x1＝n＋14λ(n＝0，1，2，…)，得波速表达式v＝λT＝64n＋1(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，v＝6 m/s，当n＝1时，v＝1.2 m/s，C正确。

②若沿x轴负方向传播，其波形如图乙所示，则有x2－x1＝n＋34λ(n＝0，1，2，…)，得v＝λT＝64n＋3(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，v＝2 m/s，当n＝1时，v≈0.86 m/s，B正确。

1．(多选)
【解析】设质点的起振方向向上，根据质点振动方程y＝Asin ωt，t＝0时对质点a、b有2＝4sin ωt，可得ωt＝π6＋nπ或5π6＋nπ(n＝0，1，2…)，因为质点b振动的时间比质点a长，所以质点a、b振动的时间差Δt＝5π6ω－π6ω＋nT＝T3＋nT(n＝0，1，2…)，质点a、b间的距离Δx＝vΔt＝vT3＋nvT＝λ3＋nλ(n＝0，1，2…)，则波长λ＝1203n＋1 cm(n＝0，1，2…)；当n＝5时，λ＝7.5 cm，故A正确；根据题给条件，无法求出质点的振动周期，故B错误；当质点a的位移为＋4 cm时，a到达正向最大位移处，a振动的最短时间为π2－π6ω＝T6，此时b的位移为4 cm•sinωT6＋5π6＝－2 cm，故C错误；在t＝T3时刻质点b的位移为4 cm•sinωT3＋5π6＝－4 cm，故D正确。
【答案】AD
【点评】解决波的多解问题，关键是分析哪种情况引起的多解：波的周期引起的多解，则写出时间与周期的关系式或距离与波长的关系式进行求解；波传播双向性引起的多解，则应分两种情况进行讨论；对于有限制条件的问题，要在解出通式以后再限制解，这样可以避免多解。
2．【解析】(1)由振动图象可知，此波的周期为T＝0.8 s，Δt＝0.4 s＝T2
故经Δt＝0.4 s，P质点回到平衡位置，位移为0，P质点通过的路程为2A＝4 cm
波传播的距离为λ2＝10 m。
(2)由波形图象可知，此波的波长λ＝20 m，由A质点在t＝0 时刻向上振动知，波沿x轴正方向传播。
波速v＝λT＝200.8 m/s＝25 m/s
由波的周期性可得，45 m处的质点第一次到达波峰的时间t1＝45－20v＝2525 s＝1 s
此质点第二次位于波峰的时间t＝t1＋T＝1.8 s。
【点评】解答本题的关键是弄清楚以下两点：振动图象和波动图象有什么区别？两种图象分别提供哪些信息？

1．【答案】D
【解析】根据题述质点P正在向动能增大的方向运动可知，质点P正在向平衡位置运动，可判断出波沿x轴负方向传播，A错误；t＝T4时刻Q处于波谷，速度为零，Q的速度比P的速度小，B错误；在T4时刻Q处于波谷，再经过半个周期即t＝3T4时刻，Q到达波峰，C错误；在T4时刻P向y轴负方向运动(即向下运动)，再经过半个周期即t＝3T4时刻，P向y轴正方向运动，D正确。
2．【答案】CD
【解析】波源振动的频率为10 Hz，波速为12 m/s，由波长公式λ＝vf＝1210 m＝1.2 m；P、Q两质点距离波源的距离之差为：Δx＝12.3 m－10.5 m＝1.8 m＝32λ，为半个波长的奇数倍，所以P、Q两质点振动步调相反，P、Q两质点运动的方向始终相反，故A错误，因为SP＝12.3 m＝10＋14λ，SQ＝10.5 m＝8＋34λ，所以当S恰好通过平衡位置时，P、Q两点都不在平衡位置；当S恰好通过平衡位置向上运动时，P在波谷，Q在波峰位置，故B错误，CD正确。
3．【答案】C
【解析】图乙为单摆P的共振曲线，振幅最大时对应的频率0.50 Hz接近或等于其固有频率，A错误；单摆P振幅最大时，先振动的单摆与P的固有周期相近或相同，P的固有周期约为2.0 s，由T＝2πLg可求得其摆长约为1.0 m，说明装置中至少还有一个单摆的摆长约为1.0 m，B错误；当单摆P稳定时的振动频率为1.0 Hz时，先振动的单摆的固有频率也为1.0 Hz，由T＝2πLg可得摆长约0.25 m，C正确；单摆P做受迫振动的周期与先振动的单摆周期相同，D错误。
4．(多选)
【答案】AD
【解析】由图可知该波的波长为λ＝8 m，由振动方程知周期T＝0.4 s，该波的波速为v＝λT＝80.4 m/s＝20 m/s，故A正确；a点在t0时刻速度方向为沿y轴正方向，故波沿x轴正方向传播，故B错误；从t0时刻起，经0.1 s即T4，质点b通过的路程大于一个振幅，C错误；t0时刻的x＝0处的波形传播到x＝3 m处时，质点a回到平衡位置，所需时间t＝xv＝320 s＝0.15 s，故D正确。
5．【答案】C
【解析】由图甲可知波长λ＝8 m，由图乙可知周期T＝4 s，这列波的传播速度v＝λT＝2 m/s，A错误；波沿x轴正方向传播，由图乙可知t＝5 s时该质点处于波峰(正最大位移处)，图乙可能是质点a的振动图象，B错误；由于t＝5 s时质点c处于波谷(负最大位移处)，振幅A＝6 cm，初相位为φ0，ω＝2πT，所以质点c的振动方程为y＝Asin(ωt＋φ0)＝6sinπ2t＋π cm，C正确；t＝10 s时，a点的振动方向沿y轴负方向，即振动方向向下，D错误。
6．【答案】D
【解析】根据图乙振动图象可知，t＝0时刻横波b上x＝0处的质点振动方向沿y轴负方向，所以横波b沿x轴负方向传播，A错误；同一介质中简谐波的传播速度相同，则波速va＝vb＝0.5 m0.5 s＝1 m/s，选项C错误；由Tb＝λbvb＝4 s，t＝0.5 s时，yb＝－10 cm可知，横波b上x＝0处质点的振动方程为y＝－10sinπ2t＋π4 cm，则t＝0时刻横波b上x＝0处的质点的位移为－52 cm，B错误；根据图甲可知横波a的波长λa＝2.0 m，横波b的波长λb＝4 m，要使x＝1.0 m处的质点的位移为20 cm，设所需时间为t，则t时刻两列波波峰叠加，t＝1.5 m＋mλav＝1.5 m＋nλbv(m，n均为自然数)，得m＝2n(m，n均为自然数)，当m＝6，n＝3时，代入可得t＝13.5 s，符合题，D正确。
7．(多选)
【答案】BC
【解析】根据题意可知，该简谐横波的周期为0.2 s，波长为4 m，所以其波速为20 m/s，A错误。由题图可知，质点P和Q刚开始振动时的方向都沿y轴正方向，而且质点Q比P晚四分之一周期，所以t＝0.2 s时，质点P正好完成了一次全振动，质点Q第一次到达波谷位置，而这一过程中质点P通过的路程为20 cm，BC正确，D错误。
8．【答案】C
【解析】题图所示时刻，a波恰好传到x＝4 m位置，位于x＝4 m的质点将要沿y轴负方向振动，即波源的起振方向沿y轴负方向，A错误。波的频率等于波源的频率，与介质无关，两列波频率相等，B错误。由图可得波长λa＝1 m，λb＝4 m，由波速v＝λf和Δx＝vΔt知当a波向右传播4 m时，b波向左传播16 m，C正确。题图所示时刻，质点P已经振动了212T，经过的路程为10×5 cm＝50 cm，D错误。]
9．(多选)
【答案】AC　
【解析】根据题意可知，该简谐横波的波速为0.6 m/s，波长为0.24 m，所以其周期为T＝λv＝0.4 s，起振方向向下，B错误。对质点P，Δx＝0.60 m－0.24 m＝0.36 m，所以该波经Δt＝Δxv＝0.6 s传播到P点，A正确。从t＝0时刻到波传到P的过程中，由于N＝ΔtT＝1.5，所以O处质点的路程为L＝1.5×4A＝30 cm，C正确。x＝0.18 m处的质点的振动方程为y＝5sin5πt－π2 cm，D错误。
10．【解析】(1)由波形图象知，波长：λ＝4 m
又波长、波速和周期关系为：v＝λT
联立得该波的周期为：T＝1 s。
(2)由已知条件知从t＝0时刻起，质点M做简谐振动的位移表达式为：yM＝0.04sin2πt＋π6
经时间t1(小于一个周期)，M点的位移仍为0.02 m，运动方向向下。
可解得：t1＝13 s
由于N点在M点右侧34波长处，所以N点的振动滞后34个周期，其振动方程为：
yN＝0.04sin2πTt－34T＋π6＝0.04sin2πt－4π3
当t1＝13 s时，yN＝0.04sin2π•13－4π3＝－0.023 m。
11．【解析】(1)由图甲可以看出，该波的波长为λ＝36 cm   ①
由图乙可以看出，周期为T＝2 s   ②
波速为v＝λT＝18 cm/s   ③
由图乙知，当t＝13 s时，Q点向上运动，结合图甲可得，波沿x轴负方向传播。
(2)设质点P、Q平衡位置的x坐标分别为xP、xQ.由图甲知，x＝0处y＝－A2＝Asin(－30°)
因此xP＝30°360°λ＝3 cm   ④
由图乙知，在t＝0时Q点处于平衡位置，经Δt＝13 s，其振动状态向x轴负方向传播至P点处，由此及③式有：xQ－xP＝vΔt＝6 cm   ⑤
由④⑤式得，质点Q的平衡位置的x坐标为xQ＝9 cm。
12．【解析】(1)质点N，t1＝14 s时刻在波峰，t3＝20 s时刻第一次回到平衡位置，经过了四分之一个周期，设简谐波的周期为T，则T4＝t3－t1
解得T＝24 s
t2＝16 s时刻，质点M第一次回到平衡位置，t3＝20 s时，质点N第一次回到平衡位置，即波从M到N经过的时间为t3－t2，设波速为v，则v＝xN－xMt3－t2
解得v＝3 cm/s
设简谐横波的波长为λ，则λ＝vT，解得λ＝72 cm。
(2)设质点M振幅为A，初相位为φ，则质点M离开平衡位置的位移x与时刻t的关系式是
y＝Asin(2πTt＋φ)
将质点M在t1＝14 s时刻位移2 cm，t2＝16 s时刻质点M第一次回到平衡位置，代入有
2＝Asin2π24×14＋φ
0＝Asin2π24×16＋φ
解得A＝4 cm，φ＝－π3
则y＝0(0≤t≤4 s)
所以y＝4sinπ12t－13πcm(t≥4 s)。

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