(1)   洛伦兹力、洛伦兹力的方向；(2)洛伦兹力公式、洛伦兹力作用下的有界磁场中的偏转运动；(3)带电粒子在匀强磁场中运动的时间、半径及轨迹判定等。

例1．(2020•全国I卷•18)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，弧AB为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为(　　)

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝2πmqB，粒子在磁场中运动的时间，则粒子在磁场中运动的时间与速度无关，轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长。粒子垂直ac射入磁场，则轨迹圆心必在ac直线上，将粒子的轨迹半径由零逐渐放大。当半径r≤0.5R和r≥1.5R时，粒子分别从ac、bd区域射出，磁场中的轨迹为半圆，运动时间等于半个周期；当0.5R<r<1.5R时，粒子从半圆边界射出，逐渐将轨迹半径从0.5R逐渐放大，粒子射出位置从半圆顶端向下移动，轨迹圆心角从π逐渐增大，当轨迹半径为R时，轨迹圆心角最大，然后再增大轨迹半径，轨迹圆心角减小，因此当轨迹半径等于R时轨迹圆心角最大，即轨迹对应的最大圆心角θ＝43π，粒子运动最长时间，故选C。

【点睛】本题考查带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动，难点是应用放缩法作图，找到粒子运动轨迹对应的最大圆心角。
例2．(2019•全国I卷•24)如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力。求：

(1)带电粒子的比荷；
(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。
【解析】(1)设带电粒子的质量为m，电荷量为q，加速后的速度大小为v。由动能定理有：qU＝12mv2   ①
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有：

qvB＝mv2r   ②
由几何关系知d＝2r   ③
联立①②③式得qm＝4UB2d2。   ④
(2)由几何关系知，带电粒子射入磁场后运动到x轴所经过的路程为s＝πr2＋rtan 30°   ⑤
带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为t＝sv   ⑥
联立②④⑤⑥式得t＝Bd24Uπ2＋33。
【点睛】本题考查了带电粒子在磁场中的匀速圆周运动问题,考查了考生应用数学知识处理、分析物理问题的能力,体现了物理学科中的运动与相互作用观念的素养要素以及科学推理的核心素养。

1．已知通入电流为I的长直导线在周围某点产生的磁感应强度大小B与该点到导线间的距离r的关系为B＝kIr(k为常量)。如图所示，竖直通电长直导线中的电流I方向向上，绝缘的光滑水平面上P处有一带正电小球从图示位置以初速度v0水平向右运动，小球始终在水平面上运动，运动轨迹用实线表示，若从上向下看，则小球的运动轨迹可能是(　　)

【答案】A
【解析】通电长直导线产生的磁场的磁感应强度B方向在水平面内，由于洛伦兹力F与B、v0的方面均垂直，所以F沿竖直方向，小球在水平方向上不受力而做匀速直线运动，只有A项正确。
2．质量和电量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图中虚线所示，下列表述正确的是(　　)

A．M带负电，N带正电
B．M的速率小于N的速率
C．洛伦兹力对M、N做正功
D．M的运行时间大于N的运行时间
【答案】A
【解析】由左手定则可知M带负电，N带正电，故A选项正确。由qvB＝mv2R得R＝mvBq，由题意可知两个带电粒子的质量和电量都相等，又进入到同一个匀强磁场中，由题图可知RN<RM，故vN<vM，所以B选项错误。由于洛伦兹力的方向始终与带电粒子的运动方向垂直，故洛伦兹力永远不会对M、N做功，则C选项错误。由T＝2πRv＝2πmBq及题给条件可知，这两个带电粒子在磁场中运动的周期相等，又由题图可知两个带电粒子在磁场中的偏转角相等，均偏转了180°，故在磁场中运动的时间相等，所以D选项错误。
3．(多选)如图所示，虚线MN将平面分成Ⅰ和Ⅱ两个区域，两个区域都存在与纸面垂直的匀强磁场。一带电粒子仅在磁场力作用下由Ⅰ区运动到Ⅱ区，弧线aPb为运动过程中的一段轨迹，其中弧aP与弧Pb的弧长之比为2∶1，下列判断一定正确的是(　　)

A．两个磁场的磁感应强度方向相反，大小之比为2∶1
B．粒子在两个磁场中的运动速度大小之比为1∶1
C．粒子通过aP、Pb两段弧的时间之比为2∶1
D．弧aP与弧Pb对应的圆心角之比为2∶1
【答案】BC
【解析】粒子在磁场中所受的洛伦兹力指向运动轨迹的凹侧，结合左手定则可知，两个磁场的磁感应强度方向相反，根据题中信息无法求得粒子在两个磁场中运动轨迹所在圆周的半径之比，所以无法求出两个磁场的磁感应强度之比，A项错误；运动轨迹粒子只受洛伦兹力的作用，而洛伦兹力不做功，所以粒子的动能不变，速度大小不变，B项正确；已知粒子通过aP、Pb两段弧的速度大小不变，而路程之比为2∶1，可求出运动时间之比为2∶1，C项正确；由图知两个磁场的磁感应强度大小不等，粒子在两个磁场中做圆周运动时的周期T＝2πmBq也不等，粒子通过弧aP与弧Pb的运动时间之比并不等于弧aP与弧Pb对应的圆心角之比，D项错误。
4．(多选)如图所示，MN、PQ之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁场区域水平方向足够长，MN、PQ间距为L，现用电子枪将电子从O点垂直边界MN射入磁场区域，调整电子枪中的加速电压可使电子从磁场边界不同位置射出。a、b、c为磁场边界上的三点，下列分析正确的是　(　　)

A．从a、b、c三点射出的电子速率关系为va＜vb＜vc
B．从a、b、c三点射出的电子速率关系为va＜vc＜vb
C．若从边界MN射出的电子出射点与O点的距离为s，则无论怎样调整加速电压，必有0＜s＜2L
D．若从边界PQ射出的电子出射点与O点的距离为s，则无论怎样调整加速电压，必有L＜s＜2L
【答案】AC
【解析】画出轨迹圆可知，从a、b、c三点射出的电子的半径关系为Ra＜Rb＜Rc，由R＝mvBq，知va＜vb＜vc，A项对，B项错；电子垂直于边界MN射入磁场，能从边界MN射出，其轨迹的最大圆与边界PQ相切，则无论怎样调整加速电压，必有0＜s＜2L，C项对；若电子从边界PQ射出，其轨迹的最小圆也与边界PQ相切，则无论怎样调整加速电压，必有L＜s＜2L，D项错。
5．如图所示，一个带负电的物体从粗糙斜面顶端滑到斜面底端时的速度为v。若加上一个垂直纸面指向读者方向的磁场，则滑到底端时(　　)

A．v变大 B．v变小
C．v不变 D．不能确定
【答案】B
【解析】洛伦兹力虽然不做功，但其方向垂直斜面向下，使物体与斜面间的正压力变大，故摩擦力变大，损失的机械能增加。
6．(多选)如图所示，两个相同的半圆形光滑绝缘轨道分别竖直放置在匀强电场E和匀强磁场B中，轨道两端在同一高度上，两个相同的带正电小球a、b同时从轨道左端最高点由静止释放，在运动中都能通过各自轨道的最低点M、N，则(　　)

A．两小球每次到达轨道最低点时的速度都有vN>vM
B．两小球每次经过轨道最低点时对轨道的压力都有FN>FM
C．小球b第一次到达N点的时刻与小球a第一次到达M点的时刻相同
D．小球b能到达轨道的最右端，小球a不能到达轨道的最右端
【答案】AD
【解析】到M点的过程中重力做正功，电场力做负功，到达N点时只有重力做正功，因能量守恒，所以vN>vM，故A项正确；对M点，FM＝mg＋mv2MR。对N点，FN＝mg＋mv2NR±F洛，可以看出无法确定FN与FM的大小关系，故B项错误；电场力沿轨道切线分量减小了小球a的下滑速度，故C项错误；b向右运动过程中机械能守恒，能到最右端，a向右运动过程中机械能减小，不能到最右端，故D项正确。
7．(多选)如图所示，正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O点是cd边的中点。若一个带正电的粒子(重力忽略不计)从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°的方向(如图中虚线所示)，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法正确的是(　　)

A．该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场
B．若该带电粒子从ab边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0
C．若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是32t0
D．若该带电粒子从cd边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定是53t0
【答案】AD
【解析】由题，带电粒子以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场，则知带电粒子的运动周期为T＝2t0。随粒子速度逐渐增大，轨迹由①→②→③→④依次渐变，由图可以知道粒子在四个边射出时，射出范围分别为OG、FE、DC、BA之间，不可能从四个顶点射出，所以A项正确；当粒子从O点沿纸面垂直于cd边射入正方形内，轨迹恰好为半个圆周，即时间t0刚好为半周期，从ab边射出的粒子所用时间小于半周期t0，从bc边射出的粒子所用时间小于23T＝4t03，所有从cd边射出的粒子圆心角都是300°，所用时间为5T6＝5t03，故B、C项错误，A、D项正确。

8．(多选)在xOy平面上以O为圆心，半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，从原点O以初速度v沿y轴正方向开始运动，经时间t后经过x轴上的P点，此时速度与x轴正方向成θ角，如图所示。不计重力的影响，则下列关系一定成立的是(　　)

A．若r＜2mvqB，则0°＜θ＜90°
B．若r≥2mvqB，则t≥πmqB
C．若t＝πmqB，则r＝2mvqB
D．若r＝2mvqB，则t＝πmqB
【答案】AD
【解析】带电粒子在磁场中从O点沿y轴正方向开始运动，圆心一定在垂直于速度的方向上，即在x轴上，轨道半径R＝mvqB。当r≥2mvqB时，P点在磁场内，粒子不能射出磁场区，所以垂直于x轴过P点，θ最大且为90°，运动时间为半个周期，即t＝πmqB；当r＜2mvqB时，粒子在到达P点之前射出圆形磁场区，速度偏转角φ在大于0°、小于180°范围内，如图所示，能过x轴的粒子的速度偏转角φ＞90°，所以过x轴时0°＜θ＜90°，A项对，B项错；同理，若t＝πmqB，则r≥2mvqB，若r＝2mvqB，则t＝πmqB，C项错，D项对。

9．如图，在直角坐标系xOy中，x轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向外。许多质量为m、电荷量为＋q的粒子，以相同的速率v沿纸面内由x轴负方向与y轴正方向之间各个方向从原点O射入磁场区域，不计重力及粒子间的相互作用，下列图中阴影部分表示带电粒子在磁场中可能经过的区域，其中R＝mvqB，正确的图是(　　)

【答案】D
【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，以x轴为边界的磁场，粒子从x轴进入磁场后再离开，速度v与x轴的夹角相同，根据左手定则和R＝mvqB，知射入粒子沿x轴负方向的刚好进入磁场做一个圆周，沿y轴正方向进入的刚好转半个周期，如图，在两图形的相交的部分是粒子不经过的地方，故D项正确。

10．如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A2A4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A2A4与A1A3的夹角为60°。一质量为m、电荷量为＋q的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A1处沿与A1A3成30°角的方向射入磁场，随后该粒子沿垂直于A2A4的方向经过圆心O进入Ⅱ区，最后再从A4处射出磁场。已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t，求：

(1)画出粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的运动轨迹。
(2)粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的轨迹半径R1和R2的比值。
(3)Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小(忽略粒子重力)。
【解析】(1)画出粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的运动轨迹如图所示。
(2)设粒子的入射速度为v，已知粒子带正电，故它在磁场中先顺时针做圆周运动，再逆时针做圆周运动，最后从A4点射出，用B1、B2，R1、R2，T1、T2分别表示在磁场Ⅰ、Ⅱ区的磁感应强度、轨迹半径和周期。
设圆形区域的半径为r，已知带电粒子过圆心且垂直A2A4进入Ⅱ区磁场，连接A1A2，△A1OA2为等边三角形，A2为带电粒子在Ⅰ区磁场中运动轨迹的圆心，其半径

R1＝A1A2＝OA2＝r
粒子在Ⅱ区磁场中运动的轨迹半径R2＝r2
即R1R2＝2∶1。
(3)qvB1＝mv2R1
qvB2＝mv2R2
T1＝2πR1v＝2πmqB1
T2＝2πR2v＝2πmqB2
圆心角∠A1A2O＝60°，带电粒子在Ⅰ区磁场中运动的时间为t1＝16T1
在Ⅱ区磁场中运动的时间为t2＝12T2
带电粒子从射入到射出磁场所用的总时间t＝t1＋t2
由以上各式可得B1＝5πm6qt，B2＝5πm3qt。
11．为了进一步提高回旋加速器的能量，科学家建造了“扇形聚焦回旋加速器”。在扇形聚焦过程中，离子能以不变的速率在闭合平衡轨道上周期性旋转。扇形聚焦磁场分布的简化图如图所示，圆心为O的圆形区域等分成六个扇形区域，其中三个为峰区，三个为谷区，峰区和谷区相间分布。峰区内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，谷区内没有磁场。质量为m，电荷量为q的正离子，以不变的速率v旋转，其闭合平衡轨道如图中虚线所示。

(1)求闭合平衡轨道在峰区内圆弧的半径r，并判断离子旋转的方向是顺时针还是逆时针。
(2)求轨道在一个峰区内圆弧的圆心角θ，及离子绕闭合平衡轨道旋转的周期T。
(3)在谷区也施加垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B′，新的闭合平衡轨道在一个峰区内的圆心角θ变为90°，求B′和B的关系。(已知：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β，cos α＝1－2sin2α2)
【解析】(1)峰区内圆弧半径r＝mvqB，旋转方向为逆时针。
(2)由对称性，峰区内圆弧的圆心角θ＝2π3
每个圆弧的长度l＝2πr3＝2πmv3qB

每段直线长度L＝2rcosπ6＝3r＝3mvqB
周期T＝
代入得T＝。
(3)谷区内的圆心角θ′＝120°－90°＝30°
谷区内的轨道圆弧半径r′＝mvqB′
由几何关系rsinθ2＝r′sinθ′2
由三角关系sin30°2＝sin15°＝6－24
代入得B′＝3－12B。

12．如图所示的xOy平面上，以坐标原点O为圆心的四分之一圆形区域MON内分布着磁感应强度为B＝2.0×10－3T的匀强磁场，其中M、N点距坐标原点O为2 m，磁场方向垂直纸面向里，坐标原点O处有一个粒子源，不断地向xOy平面发射比荷为qm＝5×107 C/kg的带正电粒子，它们的速度大小都是v＝1×105 m/s，与x轴正方向的夹角分布在0～90°范围内，不计粒子重力。

(1)求平行于x轴射入的粒子，射出磁场的位置及在磁场中的运动时间；
(2)求恰好从M点射出磁场的粒子，从粒子源O发射时的速度与x轴正向的夹角；
(3)若粒子进入磁场前经加速使其动能增加为原来的2倍，仍从O点垂直磁场方向射入第一象限，求粒子在磁场中运动的时间t与射入时与x轴正向的夹角θ的关系。
【解析】(1)平行于x轴射入的粒子，轨迹如图甲所示，设出射点为P，由qvB＝mv2R
得R＝1 m。
由几何关系可知O1P＝O1O＝1 m，OP＝2 m，则△O1OP为等腰直角三角形，x＝y＝1 m，α＝π2
故P点坐标为(1 m，1 m)
运动时间为t0＝α2π•2πmqB＝π2×10－5 s。

(2)如图乙所示，由几何关系可知：O2M＝O2O＝1 m，OM＝2 m
则△O2OM为等腰直角三角形，∠O2OM＝45°
则θ＝∠O2OM＝45°。
(3)由R＝mvqB，Ek＝12mv2可知R＝2mEkqB，R′R＝Ek′Ek＝2
则R′＝2 m。
粒子从M点出射时OM＝R′，如图丙所示，△O3OM为正三角形，圆心角α′＝π3，出射角θ′＝π3
若粒子从弧MN上射出时，弦长均为2 m，圆心角均为α′＝π3
运动时间均为t＝α′2π•2πmqB＝π3×10－5 s，故0≤θ≤π3时，t＝π3×10－5 s
若粒子从边OM出射时，如图丁所示，α″＝2π2－θ＝π－2θ
运动时间t″＝α″2π•2πmqB＝(π－2θ)×10－5 s，故π3<θ≤π2时，t＝(π－2θ)×10－5 s。

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小题必练21：磁场对运动电荷的作用(图文)

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