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例题:一质量为 m 的小球,从高度为 H 的光滑斜面顶端自由下滑,斜面的底端处连接一个半径为 R 的光滑半圆环,求小球在半圆环上能够达到最高点时对环的压力大小。
分析:小球在斜面上自由下滑的过程中,受到重力、支持力和摩擦力,由于斜面光滑,故支持力和摩擦力可以忽略。当小球到达斜面底端时,速度达到最大值 v_m,此时小球受到重力和支持力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律和运动学公式可以求得支持力和压力的大小。
解:小球到达斜面底端时速度达到最大值 v_m,此时小球的加速度为零,根据牛顿第二定律,有
mg - F_N = 0
其中 F_N 为支持力
又因为小球在半圆环上能够达到最高点时,速度也为零,根据动能定理,有
mg(H+R) = 0 - 0.5mv_m^2
其中 H 为斜面的高度
联立以上两式可得
F_N = mg
根据牛顿第三定律,小球对环的压力大小也为 mg
答案:小球对环的压力大小为 mg。