美与数学
十九世纪数学的三大最高成就是热力学、电磁学和统计量热法。 其中，统计热是基于麦克斯韦（J.，1831-1879）、玻尔兹曼（L.，1844-1905）和吉布斯（W.Gibbs，1839-1903）的工作。 玻尔兹曼曾说过：音乐家看过几个韵母就能辨别出莫扎特（ ）、贝多芬（ ）或舒伯特（ ）的音乐。 同样，数学家或化学家在阅读几页后可以识别柯西、高斯、雅可比、亥姆霍兹或克绍的工作。
其实，有人可能对他的这段话有疑问：科学是研究事实，事实就是事实。 哪有什么风格？ 我之前已经讨论过这个问题如下：
我们以数学为例。 数学原理有其结构。 这个结构充满了美丽和奇迹。 不同的数学家对这种结构的不同美感和奇迹有不同的欣赏。 因为有不同的经历，每个工作者都会形成自己独特的研究方向和研究方法。 也就是说，他会产生自己的风格。
我明天的演讲将尝试探讨前面的段落。 让我们从两位著名化学家的风格开始吧。
1.狄拉克
狄拉克（P.Dirac，1902-1984）是二十世纪伟大的化学家。 关于他的故事有很多。 例如：有一次狄拉克在耶鲁大学演讲。 讲座结束后，有观众站起来说：“我有一个问题，请回答：我不知道如何从式（2）推导出式（5）。” 狄拉克没有回答。 主持人说：“狄拉克院士，请回答他的问题。” 狄拉克说：“他没有问问题，只是说了一句话。”
这个故事之所以被广泛流传，是因为它确实描述了狄拉克的一个特点：话不多，但却富含简单、直接、原始的逻辑。 一旦掌握了别人想不到的独特逻辑，他的文章读起来就如“秋水文章不染尘埃”一样流畅，不留任何残渣，直达宇宙的深处和奥秘。 。
狄拉克最杰出的作品是 1928 年发表的两篇短论文，记录了狄拉克多项式。 这个简单的方程是一项惊天动地的成就，一个划时代的里程碑：它为原子和分子结构提供了新的维度和新的、极其精确的理解。 没有这个多项式，就不会有明天的原子分子化学和物理学。 如果没有狄拉克提出的想法，就不会有明天临床上常见的磁共振成像（MRI）技术，但这项技术实际上只是狄拉克多项式的一个非常小的应用。
狄拉克多项式“无中生有、开创性”强调了为什么电子有“自旋”（自旋），以及为什么“自旋角动量”是1/2而不是整数。 第一次了解其中奥秘的人，难免赞叹它是一支“神笔”，是别人难以想象的奇妙计算。 当时最著名的海森堡（W.，1901-1976）读了狄拉克的文章，很难理解狄拉克是如何想出这支神笔的。 1928年5月3日，他给泡利（W. Pauli，1900年-1958年）写了一封信，描述了他的苦恼：
为了不被狄拉克不断打扰，我改变了话题，得到了一些结果。 （按：这个结果是另一个重要贡献：为什么磁铁是磁铁。）
狄拉克多项式的美妙立刻得到了当时的同事们的认可，但是它有一个前所未有的特点，叫做“负能量”现象，这是你绝对不能接受的。 狄拉克文章发表后的两年里，关于负能量现象有很多复杂的讨论。 最后，狄拉克在1931年大胆提出“反粒子”理论来解释负能量现象。 这一理论更不被当时的同事所接受，因此流传出许多半羡慕半开玩笑的故事。 直到1932年秋安德森（CD，1905-1991）发现了电子的反粒子，你才逐渐认识到反粒子理论是数学的又一个里程碑。
在20世纪的数学殿堂中，风格最为奇特的当属狄拉克。 我曾想向文学、历史、艺术界的同仁展示他的文章风格，但一直不知道如何写。 今年，我偶然在台湾《明报》风景专栏看到一篇文章，引用了高适（700-765）在《答侯少甫》中的一句话：“灵性生于万象，力生于万象”。品格超越一般道德。” 我很高兴，我想用这两行诗来形容狄拉克多项式和反粒子论是最好的：一方面，狄拉克多项式确实包罗万象，而“出”字来形容狄拉克的灵感尤为突出。生动。 另一方面，在1928年之后的四年里，尽管受到玻尔（N. Bohr，1885-1962）、海森堡、泡利等当时伟大的化学家的冷嘲热讽，他仍然坚持自己的理论，并最终获得了全面的认可。认出。 胜利，正好符合“品德不凡”。
但什么是“精神”呢？ 字典里对这两副对联的解释并不切题。 如果直观地加上“性”、“性”、“心”、“魂”、“灵感”、“灵犀”、“圣灵”（鬼）等，似乎指的是直接的、原始的、不加思考的-出想法，而这恰好是狄拉克多项式的精神。 恰在此时，我和新加坡英语学院的童元芳博士在《21世纪》1996年6月号上提到了钱锁桥的一篇文章，然后我们了解到袁弘道（1568-1610）（以及后来的周作人） [1885-1967]、林语堂[1895-1976]等）的灵性理论。 袁宏道说，他的父亲袁仲道（1570-1623）的诗是“独立表达灵魂和精神，不拘泥于公式”，这也是狄拉克风格的特点。 “我不想写任何东西，除非它来自我自己的忧郁”物理学理论的目的和结构，这恰恰描述了狄拉克的独创性！
2.海森堡
海森堡比狄拉克年长一岁，是二十世纪另一位伟大的化学家。 有人认为他稍微领先于狄拉克。 他于 1925 年秋天写了一篇文章，促进了量子热的发展。 三十八年后，科学史家库恩（T. Kuhn，1922-1996）采访他，提到了他构思这类作品时的情况。 海森堡说：徒步旅行的时候，你想爬某座山，但常常到处都是雾……你有一张地图，或者其他索引什么的，你知道你的目的地，但你还是掉进雾里。 然后……突然间，你在短短几秒钟内，模糊地看到雾中出现了一些人影，然后你说：“哦，这就是我要找的巨石。” 不知道你是否能到达那块巨石，但突然你说：“我知道我现在在哪里。我必须靠近那块巨石，然后我就会知道如何移动向前。”
这段对话生动地描述了海森堡在1925年夏天的摸索进展。要了解当时的气氛，必须知道自从1913年玻尔提出他的原子模型以来，数学进入了一个特殊的时代：牛顿的基础（I.，1642） -1727）热力已经动摇，但利用牛顿热力学的一些概念加上一些往往不能成立的新假设，却能准确地描述许多原子结构的独特实验结果。 奥本海默（JR，1904-1967）这样描述这个不寻常的时代：
那是一个在实验室里耐心工作的时代，有许多关键的实验和大胆的决定，有许多错误的试验和不成熟的假设。 那是一个真诚的通信和仓促的会议、大量激烈的辩论和无情的批评、充满巧妙的身体击剑的时代。
对于这些与会者来说，这是一个创新的时代，他们因对宇宙结构的新认识而充满活力，但也感到焦虑。 这段历史似乎从未被完整记录。 要写这段历史，需要用笔写梅赛德斯帕斯或克伦威尔，但由于所涉及的知识与日常生活相距甚远，很难想象任何作家或历史学家有能力做到这一点。
1925年秋，23岁的海森堡在迷雾中摸索，终于找到了方向，写下了上述文章。 有人说，这是继牛顿《数学原理》之后三百年来数学史上影响最深远的一篇文章。
但这篇文章只是创造了一个探索的方向，在接下来的五年里，将经过玻恩（M. Born，1882-1970）、狄拉克、薛定谔（E.，1887-1961）、玻尔等人。 量子热的整体框架是通过自己的努力才逐步完成的。 量子热将化学带入了一个新时代，并直接影响了20世纪的工业发展。 核能发电、核设备、激光器、半导体器件等都是量子热的产物。
1927年夏天，25岁仍未离婚的海森堡出任不莱梅学院理论化学系主任。 后来成名的布洛赫（F.Bloch物理学理论的目的和结构，1905-1983，核磁共振机制的创造者）和泰勒（E.，1908-，“氢弹之父”，我在洛杉矶学院的博士生导师）是都是他的中学生。 他喜欢打乒乓球，而且很有竞争力。 在他上任的第一年，他就主导了这个部门。 1928年秋，一位博士后从日本赶来，海森堡从此只能暂时成为冠军。 这位博士后的名字大家都很熟悉——周培源。
海森堡的所有散文都有一个共同的特点：云里雾里、不清楚、渣滓，这与狄拉克的散文风格形成了鲜明的对比。 读完海森堡的文章，你会惊叹于他的独创性（），但你会认为问题还没有完成，还得展开； 而读完狄拉克的文章后，你也会惊叹于他的同时，他认为虽然自己已经将一切发展到了最后，但也没有什么可以做的了。
后来提到狄拉克的文章给人的感觉是“秋水文章不染尘埃”。 海森堡的文章则截然不同。 两者的对比是清晰又浑浊。 我想不出任何句子或单词可以描述海森堡的这篇文章，从而既表达了他天才的独创性，又表达了他思想中不明确、粗俗、有时令人沮丧、摸索的品质。
3.物理与物理
为什么海森堡和狄拉克的风格如此不同？ 主要原因是它们关注的数学内涵不同。 为了解释这一点，请看图1所代表的数学的三个部门以及它们之间的关系：现象学理论（）（2）是实验（1）和理论框架（3）之间的研究。 (1)和(2)的结合是实验化学，(2)和(3)的结合是理论化学，理论化学的语言是物理学。
图1 化学的三个领域
化学的发展一般是从实验（1）开始的，即从对现象的研究开始。 对于这个发展过程，我们可以举出很多大大小小的反例。 以牛顿热力学的历史为例。 布拉赫（T.Brahe，1546-1601）是一位实验天文学家，活动领域是（1）。 他对行星轨道进行了精确的观测。 后来，开普勒（J.，1571-1630）仔细分析了布拉赫的数据，发现了著名的开普勒三定理。 这就是现象学理论（2）。 最后，牛顿在开普勒三定理的基础上创建了牛顿的热和万有引力理论。 这就是理论框架（3）。
另一个反例：通过十八世纪末十九世纪初的多次热和磁实验（1），安培（A.）发展了一些现象学理论（2）。最后被麦克斯韦总结成著名的麦克斯韦多项式（即电磁多项式），进而进入理论框架（3）的范畴。
另一个反例：19世纪下半叶的大量实验工作(1)导致了1900年普朗克(M., 1858-1947)的现象学理论(2)。 后来通过爱因斯坦（A.，1879-1955）的文章和前面提到的玻尔的工作有了一些重要的发展，但这些仍然是现象学理论（2）。 最后，通过量子力学的形成，进入理论框架（3）的范畴。
海森堡和狄拉克的工作重点在哪里，如图 1 所示？ 狄拉克最重要的贡献就是上面提到的狄拉克多项式。 海森堡最重要的贡献是海森堡多项式，它是量子热的基础。
这两个方程是理论框架 (3) 中的前沿贡献。 两者都达到了化学的最高水平。 而且这两个方程的写法也大不相同：海森堡的灵感来自于他对实验结果（1）和现象学理论（2）的理解，于是在摸索中得出了方程（H）。 狄拉克受到他对数学之美的直觉欣赏（4）的启发，巧妙地写出了他的多项式（D）。 他们两人喜欢和关注的方向不同，所以他们的工作领域也不同，如图2所示。（该图也标出了玻尔、薛定谔和爱因斯坦的研究领域。爱因斯坦兴趣广泛，从（2）到（3）再到（4）在多个领域做出了划时代的贡献。）
图2 二十世纪几位数学家的研究领域
海森堡从实验（1）和现象学理论（2）开始：实验和现象学理论丰富多彩，错综复杂，所以他必须探索，犹豫，尝试再尝试，所以他的文章也是为了读者。 不知道，有一种残留的感觉。 狄拉克从他对数学的启发出发：物理学的最高境界是结构之美，也就是简洁之美和逻辑之美，因此他的文章给读者以“秋水文章不染尘埃”的味道。
让我补充一下物理和化学之间的关系。 我最初把两者之间的关系表达为两根茎重叠在茎上。 重叠的地方同时是这三者的根源，也是两者的源头。 比如微分多项式、偏微分多项式、希尔伯特空间、黎曼几何、纤维丛等等，都是明天两人共同分享的基本概念。 这是一个惊人的事实，因为最先提出这个想法的化学家和物理学家遵循了完全不同的道路、完全不同的传统。 为什么不同的路线会达到同一个目标？ 明天你不会有一个好的答案，即使你永远不会，因为答案必须涉及宇宙论、认识论和宗教信仰等困境。
必须说明的是，在重叠的地方，共享的基本概念其实是惊人的相同，而且重叠的地方并不多，只占两者各自的一小部分。 例如，实验（1）和现象学理论（2）并不在重叠区域内，而且大部分体力劳动也在重叠区域外。 另外值得注意的是，虽然在重叠的领域，虽然化学和物理的基本概念是共享的，而且两者的价值观也与传统完全不同，但两者发展的活力也随之而来不同的茎，如图3所示。
年轻的同事经常问我他应该学习数学还是物理。 我的答案是，这取决于你在哪个领域有更高的判断能力以及对美和奇迹的热爱。 爱因斯坦此前曾讨论过他为何在晚年选择数学（1949）。 他说：
在物理学领域，我没有足够的直觉来区分这些是真正重要的研究，而这些只是不重要的主题。 在数学领域，我很快学会了如何找到需要解决的基本问题。
年轻人在面临选择未来方向时，必须对自己的喜好和判断能力有正确的自我评价。
4.美与数学
数学从表层到深层从（1）到（2）再到（3）发展。 表面有表面的结构和表面的美感。 例如，彩虹和霓虹灯都是非常美丽的表面现象，每个人都可以听到。 实验者做了测试后发现，42高曼楚的彩虹外面是红色，里面是紫色； 倪是50高满楚A里面是红色的，外面是紫色的。 这些精确的定律降低了实验者对自然现象之美的认识。 这是第一步（1）。 进一步的现象学理论研究（2）使化学家们了解到，这42升 P50升可以通过阳光在水滴中的折射和反射来推演，而这种理解展现出更深层次的美感。 对折射和反射现象的进一步研究和更深入的理解可以从许可的麦克斯韦多项式中推断出来，这显示了极其深刻的理论框架的美妙（3）。
牛顿运动多项式、麦克斯韦多项式、爱因斯坦狭义相对论和广义相对论方程、狄拉克多项式、海森堡多项式等五六个多项式是数学理论框架的支柱。 他们将几个世纪的实验工作 (1) 和现象学理论 (2) 提炼成科学研究的最高水平。 他们用极其凝练的物理语言写出了化学世界的基本结构，可以说是造物主的诗篇。
这些多项式与诗歌还有另一个共同点：随着物理学的发展，它们的内涵常常形成最初没有想到的新含义。 举两个反例：前面提到的十九世纪中叶写成的麦克斯韦多项式只是通过本世纪初爱因斯坦的工作才表现出高度的对称性，而这些对称性在二十世纪才逐渐发展成为数学中的一个学习最重要的中心思想。 另一个反例是狄拉克多项式。 起初完全被物理学家忽视，如今狄拉克流形（ ）已成为物理学家研究的新热点。
当数学学生理解了这些富有诗意的多项式的含义后，他们对它们之美的欣赏既直接又极其复杂。
他们的极度专注和包罗万象的品质也许可以用 W. Blake（1757-1827）的不朽诗句来描述：
一粒沙的托西世界
安达纳野生
握在手掌上
安迪南小时
他们的巨大影响也许可以用教皇的诗句来描述（A. Pope, 1688-1744）：
和'：
神说，就这样吧！ 一切都很轻松。
但这些还不够，还不足以充分表达学习数学的人对多项式之美的欣赏。 缺乏的是一种庄严感，一种神圣感，以及一种初见宇宙奥秘的恐惧感。 我认为缺少的是哥特式修道院的建筑师想要颂扬的崇高之美、精神之美、宗教之美和终极之美。
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