万有引力定律应用的12个典型案例
万有引力定律不仅是高考的一大看点，也是学生最感兴趣的科学话题之一。下面我们来探讨一下万有引力定律在天文学中应用的12个典型案例：
【案例一】天体质量与密度估算
下列哪些数据可以估算地球的质量？
A.月球绕地球公转的周期和月球与地球之间的距离
B.地球表面的重力加速度和地球半径
C.卫星绕地球运行的周期和线速度
D. 地球表面卫星的周期与地球的密度
分析：人造卫星绕地球做匀速圆周运动，月球也是地球的卫星，设地球质量为M，卫星质量为m，卫星轨道周期为T，轨道半径为r。
根据万有引力定律：
【讨论与评价】根据牛顿定律，我们只能求出中心天体的质量，而求不出周围天体的质量；我们可以根据已知条件、已知常数，利用物理定律估算物理量，这也是高考对学生的要求。总之，牛顿万有引力定律是解决天体运动问题的关键。
【案例二】普通卫星的运动问题
我国自主研制发射的“风云一号”和“风云二号”气象卫星轨道不同。“风云一号”为极地圆轨道卫星，轨道平面垂直于赤道平面，周期为12小时。“风云二号”为同步轨道卫星，轨道为赤道平面，周期为24小时。问：哪颗卫星的向心加速度大？哪颗卫星的线速度大？如果某天早上8点，“风云一号”恰好经过赤道附近太平洋上的一个小岛，那么下次“风云一号”什么时候经过这个小岛呢？
分析：本题主要考查普通卫星的运动特性和规律
开普勒第三定律T2∝r3表明，风云二号卫星的轨道半径较大。
（1）一切运动学量都是r的函数，要树立函数思想。（2）运动学量v、a、ω、f随r的增大而减小，只有T随r的增大而增大。（3）任何卫星的轨道运行速度不大于7.9km/s，运动周期不小于85min。（4）学会总结规律，灵活运用规律解决问题，也是重要的学习方法。
【案例三】同步卫星移动
下列哪项关于地球同步卫星的表述是正确的？
A.为了避免通信卫星之间发生碰撞，应该将它们放置在不同的轨道上。
B. 通讯卫星固定在地球赤道上空某处。所有通讯卫星的运行周期为24小时。
C.不同的国家从不同的地点发射通信卫星，这些卫星的轨道不一定在同一平面上。
D.不同通信卫星的线速度相同，且其加速度的大小也相同。
分析：本题考查地球同步卫星的特点和规律。
同步卫星运动周期与地球自转周期相同，T=24h，角速度ω恒定。
【讨论与评价】通信卫星属于地球同步通信卫星，其特点是：具有与地球相同的自转周期和角速度；与地球赤道处于同一平面，位于赤道正上方，高度恒定，绕地球做匀速圆周运动；其线速度和向心加速度相同。3颗同步卫星即可覆盖地球。
【案例四】“双星”问题
天文学中，两颗距离较近、距离较远的恒星称为双星，双星之间的距离是恒定的，设双星的质量分别为m1和m2，恒星中心之间的距离为L。问题：
（1）两天体分别做了哪些运动？
（２）两颗恒星的轨道半径分别为多少？（３）两颗恒星的速度分别为多少？
分析：本题主要考查双星的特征及其运动规律
（1）由于双星之间只存在相互引力机械能守恒定律典型例题，质量不变，距离不变，引力大小也不变，根据牛顿第二定律，各恒星的加速度大小不变，因此它们只能做匀速圆周运动。
【讨论与评价】双星的特点是它们之间的距离是恒定的，它们之间只存在相互引力。引力是恒定的，所以加速度的大小是一个常数值，这样的运动只能是匀速圆周运动。这个结论很重要。同时，运用对称性，巧妙地解决问题贝语网校，找出结论的规律，明确结论的和谐美、对称美，对我们以后的学习也很有帮助。
【案例五】“二星”问题
图中两颗人造卫星在同一平面的不同轨道上运行，设它们的运行周期分别为T1和T2（T1＜T2），某一时刻，两颗卫星距离最近。问题：
（一）两颗卫星何时能再次接近？
（２）两颗卫星相距最远的时刻是什么时候？
分析：本题考察两颗在同一平面内不同轨道上运行的人造卫星的位置特性及卫星的运动规律。 （1）由题意可知，T1<T2，轨道半径较大，周期也较大，因此外轨道卫星运行时间较长。假设经过△t之后，两颗卫星再次处于最接近状态。
【讨论与评估】求解曲线运动的时间常用公式为φ=ωt，通过画图可以找出它们旋转与终边相同的角之间的角度关系，这是解决该类问题的关键。
【案例六】同步卫星发射问题
发射地球同步卫星时，先将卫星发射到近地圆轨道1，然后点火使卫星沿椭圆轨道2运行，最后再次点火将卫星送入同步圆轨道3。设轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，当卫星分别在轨道1、2、3上正常运行时，
（1）比较卫星在轨道1、2上通过点Q时的加速度大小；比较卫星在轨道2、3上通过点P时的加速度大小
（２）设轨道１、３上的卫星速度分别为Ｖ１、Ｖ３，椭圆轨道上点Ｑ、Ｐ的速度分别为
，比较一下四种速度的大小？
分析：同步卫星的发射方法有两种，本题提供一种同步卫星的发射方法，考察卫星在不同轨道上运行的特性。
【讨论与评价】卫星运动的加速度是由地球引力作用于卫星所提供的，所以研究加速度时，首先要考虑牛顿第二运动定律；卫星在外轨道运动时，做离心运动，半径增大，速度也要增大，所以只能做加速运动。
同步卫星是如何发射的？
通过上面的例子和教材，我们知道发射同步卫星有两种方法，一种是直接发射进入同步轨道；另一种是先发射到低地球轨道，然后加速进入椭圆轨道，再加速进入地球同步轨道。
【案例七】“连续组”与“卫星组”
土星的外层有一个环，为了确定它到底是土星的一部分，也就是土星的“连续体”还是土星的“卫星群”，可以通过测量环内各层的线速度v与该层到土星中心的距离R的关系来确定：
【讨论与评价】土星也在旋转，能分辨出光环是附着在土星上的还是土星的卫星，并理解其中适用的物理定律是解题的关键。同时要注意的是，卫星不一定是同步卫星。
【案例八】空间站“完全失重”问题
假设空间站绕地球做匀速圆周运动，则在空间站上无法进行以下实验：
A. 天平测量物体的质量
B.使用弹簧秤测量物体的重量
C. 用测力计测量力
D.用水银气压表测量飞船密闭舱内的气压
E. 用单摆确定重力加速度
F. 使用点计时器验证机械能守恒定律
分析：本题考察空间站上“完全失重”的现象。
当航天器绕地球做匀速圆周运动时，地球引力提供向心加速度。
答案是：F = 0，即完全失重
在完全失重状态下，物体在重力方向上所受的弹力等于零，物体所受的重力等于重力，所以只能进行实验C和F，其他实验都无法进行。
【讨论与评价】当物体的加速度等于重力加速度时，物体在重力方向上受到的弹力等于零，但物体的重力不等于零；人们可以在人造卫星或空间站上进行机械运动，却无法测量物体的重力。
【案例9】黑洞问题
“黑洞”问题是爱因斯坦广义相对论预言的一种特殊天体，它密度非常大，对周围物质（包括光子）有很强的吸引力。按照爱因斯坦理论，光子是有质量的，光子到达黑洞表面也会被吸入，最多只能绕着黑洞表面做圆周运动。根据天文观测，银河系中心可能存在一个黑洞，距离可能存在的黑洞6.0×1012m处有一颗恒星，以2.0×106m/s的速度围绕其旋转。据此，可能存在的黑洞的最大半径是多少？（保留一位有效数字）解析：本题考查“黑洞”的基本知识，为信息题。
黑洞作为一种特殊的天体，一直受到人们的广泛关注。种种迹象表明，它们确实存在于人类的视觉之外。黑洞的黑性在于，连光子都无法逃脱它的引力束缚。当光子绕黑洞做匀速圆周运动时，它的轨道半径就是黑洞可能的最大半径。设光子的质量为m，黑洞的质量为M，黑洞可能的最大半径为R，光子的速度为c。
【讨论与评价】通过以上数据分析，我们知道黑洞是一种特殊的天体，质量和半径都很大，因此对周围的恒星有特别强的引力，任何物质（包括光子）都会被吸入其中，这就是它被命名为“黑洞”的原因。黑洞是否真的存在，其运动特征和规律是什么，同学们可以上网查找资料，充分考察研究。希望同学们将来成为真正的探索宇宙的科学家，一定要认真学习课本上的阅读材料，能够运用中学物理知识来分析和解决科技问题。
【案例十】宇宙膨胀问题
在研究宇宙发展演化的理论中，有一种理论叫“宇宙膨胀论”，认为引力常数G在慢慢减小。根据该理论，很久很久以前，与现在地球在太阳系公转的情况相比，（1）公转半径如何变化？（2）公转周期如何变化？（3）公转线速度如何变化？要求写出必要的推理依据和推理过程。
分析：这也是一道信息题，主要考查学生运用万有引力定律进行推理分析的能力。提供的信息是“引力常数在慢慢减小”。在漫长的宇宙演化过程中，由于“G”在减小，地球上的引力在变化，因此地球公转的半径和周期速度都在变化。也就是说，地球不再做匀速圆周运动了。但是由于G减小得很慢，在比较短的时间内，可以认为地球还在做匀速圆周运动——引力提供了向心力。设M为太阳质量，m为地球质量，r为地球公转半径，T为地球公转周期，v为地球公转速度。
【讨论与评价】本题为信息推理与论证类题目，由于要求写出推理依据和推理过程，这就要求我们充分利用“引力提供向心加速度”这一重要定律，了解信息，理清规律，找出变量，进行严谨的推理。
【案例11】月球开发问题
科学探索表明，月球拥有丰富的氧、硅、铝、铁等矿产资源。设想人类开发月球，源源不断地把月球上的矿产运往地球。假设经过长时间的开采，月球和地球仍然被认为是均匀的球体，月球仍然在开采前的轨道上运行，请问：
（一）地球和月球的引力如何变化？
（二）月球绕地球公转的周期是怎样变化的？
（三）月球绕地球运动的速度如何变化？
分析：本题主要考查数学在天文学中的应用。
【讨论与评价】这也是一道信息题，了解题中的信息，明确变量，充分利用几种数学方法，寻找极值来思考问题，用函数的思想来解决问题，这些都很重要。
【案例十二】“宇宙飞船”与能源问题
飞船即将与在轨运行的空间站对接。 （1）飞船应采取什么措施追上在轨运行的空间站？ （2）飞船脱离原定轨道返回大气层时，重力势能如何变化？动能如何变化？机械能如何变化？
分析：本题主要考察航天器运行过程中的能源问题。
随着航天器距地面的高度逐渐减小，航天器的重力势能减小；由于航天器做功需要克服大气阻力和制动力，所以航天器的机械能减小。
【讨论与评价】航天器在空间轨道上的运动，是靠地球引力产生的向心加速度来维持的。如果轨道固定，速度就固定。如果它想向外轨道运动，就要加速，使它做离心运动；如果它想向内轨道运动，就要减速，使它做向心运动。研究航天器的能量问题，要从功的角度去考虑，从实用的角度去研究，要抓住矛盾的主要方面去分析。
万有引力在天文学中的应用还有很多，这里就不一一研究了。不管是什么问题，只要我们认真审题，理清物体运动的物理图景，知道物体的状态参数，理解应用的物理规律，勇于探索，善于总结规律机械能守恒定律典型例题，就一定能学好高中物理。
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