“所有模型都是错误的，但有些模型是有用的。” — EP Box，统计学家
欢迎朋友们来到粒子物理的世界。 在这篇文章中，我们将探讨粒子物理标准模型（模型）所给出的世界图景，以及标准模型的框架和部分：我们将看到构成世界的基本粒子，它们各自的特性以及他们如何相互作用； 经过少量的数学准备，我们还将介绍基本粒子的一个重要物理量——衰变率。
在旅程正式开始之前，我们不妨回顾一下物理学的使命和标准模型。 迄今为止的任何物理模型都只是真实自然的近似，标准模型也不例外。 没有一个模型“等于”现实，但我们总能找到最能解释当前观察到的现象的物理模型。 标准模型是这些“最佳近似”中最低的模型，它在最微观的层面上解释了物质的组成和相互作用。
1. 基本框架
标准模型描述的内容分为两部分：61种基本粒子和3种粒子间相互作用力。 我们一般可以将前者理解为构建物质世界的“砖”和“粘合剂”，而后者则是砖之间通过粘合剂连接组合的不同方式。 从基本粒子的砖块和相互作用力的粘合剂中，大自然构建了质子、原子、分子、所有无机和有机物质、生命、行星、恒星。 就像玩积木时，我们先用几个小积木搭建组件，然后用几个组件搭建更大的零件，比如手臂、轮子，最后完成整个模型的搭建。 就像编程时一样，编写者首先使用基本函数来实现一些简单的功能，然后使用这些函数来完成更复杂的功能，最后实现整个程序的功能。 从前向后看是通过基本粒子认识宏观世界的建构视角，从后向前看是寻求基本原理的还原视角。 越靠前的对象就越“基础”，因为后面的对象依赖于前面的对象来构造。 标准模型讨论了最基本的对象：基本粒子及其相互作用。
我们先来了解一下基本粒子。 根据功能不同，粒子可分为两大类：构成物质的“费米子”（）和传递相互作用的“玻色子”（玻色子）。 图 1 总结了它们。
图1 标准模型中的基本粒子[1]
费米子分为夸克和轻子，分别对应图1中的紫色和绿色部分，起到“砖头”的作用。 举几个我们熟悉的例子，它们都是由费米子组成的：中子由一个上夸克（u）和两个下夸克（d）组成，质子由两个上夸克和一个下夸克组成； 电子（e）由以下组成： 它本身是轻子家族的成员。 我们所知道的物质可以还原为分子或原子，分子本身可以还原为原子，原子可以还原为质子、中子和电子，现在我们知道它们也可以还原为夸克和轻子。 因此，标准模型中的费米子从当前还原论的角度来看是物质的极限，我们将其视为自然界最基本的物质成分。
进一步看图1中的I、II、III三列，数字的含义是：夸克和轻子都分为“三代”。 各代的物理性质相似，唯一的区别是质量：质量随着代数的增加而显着增加。 由于质量较大的粒子不稳定，II、III代粒子会很快衰变成I代粒子，所以自然界常见的稳定物质都是由I代费米子组成。
每个夸克又分为三种“颜色”（这里的颜色不是我们日常所说的视觉颜色，它只是一种标识，为了避免混淆，可以粗略地理解为粒子所附着的“数字”），其中是不同的。 除了颜色之外，色夸克具有相同的属性。 那么为什么要引入变量“颜色”呢？ 引入颜色（术语是“色荷”， color ）的目的是为了解释几个表面是“相同的”（即，除了我们还没有添加的新变量“色荷”）动量守恒定律典型模型，而不违反泡利定律。排除原则。 ，其他性质相同）为什么夸克可以一起形成强子。 泡利不相容原理指出两个相同的费米子不能处于相同的量子态。 读者不必被术语所困惑。 我们可以将引入色荷的动机简化如下：由于在实验中发现两个“相同”的费米子具有相同的量子态，这与泡利不相容原理相矛盾，此时，我们要么放弃泡利不相容原理（a具有许多重要应用的基本结论），或者认为实验中“相同”的粒子并不相同——换句话说，通过引入新的变量，原理仍然成立。 这个新变量称为色荷。 这种“通过引入新的量来维持原有定律或原理的建立”的过程在科学史上并不少见，是科学发展的重要方法。 更为人们所熟知的能量守恒定律就是一个典型的例子。 读者可以在《费曼物理讲座》的能量守恒部分找到类似的过程，它通过巧妙的积木隐喻来表达。
接下来我们看看传递相互作用力的规范玻色子（图 1 中的红色部分）。 规范玻色子扮演着“粘合剂”的角色，是多种力的媒介粒子。 三种相互作用（电磁力、强力、弱力）是通过规范玻色子的传递来实现的。 其中，电磁力是通过光子的交换来传递的（除了重力之外，我们日常生活中几乎所有的机械现象都是电磁力的表现）。 电磁力与重力一样，是一种长程力。 强力是通过胶子的交换来传递的。 它的射程很短，并且仅限于细胞核内。 它克服电磁斥力并将核子结合在一起形成原子核。 是四大势力中最强的。 小说《三体》中的“水滴”飞行器的设计初衷就是用强度来建造，以解释其极高的表面坚固性。 弱力由Z玻色子和正负W玻色子传递。 力的范围也极短，也仅限于原子核内部。 它是放射性现象（衰变）的根源。 图 2 从强到弱总结了这些基本力。 从图2中我们可以看到，自然界中有四种基本的相互作用力，标准模型无法解释重力。 将几种基本力统一成一个更基本的模型是当今物理理论发展的目标之一。
图2 标准模型中三种相互作用力与重力的强度关系[2]
光子是传播电磁力的介质粒子。 我们在高中物理课上了解到，在经典电磁学中，固定电荷通过电场产生排斥或吸引相互作用。 移动的电荷（电流）会激发磁场，磁场会对移动的电荷（电流）施加力。 从标准模型的角度来看，带电基本粒子通过交换光子相互作用。 这两种解释兼容吗？ 其实这里的光子是量子化的电磁波，也可以理解为光的波粒二象性的粒子性。 夸克和三种类型的轻子（电子、μ子和τ子）携带电荷并参与电磁相互作用。
胶子被认为是“双色的”：具有一种颜色和一种反色，总共八种。 这与夸克的“颜色”有关。 夸克有三种颜色，反夸克有三种反颜色。 为什么不是九种包含一种颜色和一种反色的胶子，而是八种？ 这是因为三对颜色及其反色的总和始终是无色的。 这一限制减少了一种类型的胶子，仅留下八个独立的胶子。 当带有颜色的夸克（色荷）通过胶子传递强相互作用时，夸克的颜色也会发生变化。 相比之下，夸克也带有电荷，但当光子携带电磁相互作用时，它们的电荷不会改变。 由于轻子不携带色荷，因此它们不参与强相互作用。
Z 玻色子和正负 W 玻色子传递弱相互作用。 我们每天接触到的最弱的物质是放射性。 一个典型的例子是β衰变，其中质子通过正W玻色子变成中子、反电子和中微子。 在β衰变中，元素中的质子数减少，中子数增加，从一种元素变为另一种元素，并伴随着反电子的发射，表明该元素具有放射性。 在标准模型中，β衰变的本质是上夸克衰变为下夸克、反电子和中微子。 注意到前面提到的质子和中子的夸克组成，这个解释与β衰变中质子转化为中子是一致的。 此外，正向费米子和反向费米子可以通过交换Z玻色子而相互转换。 简而言之，弱相互作用改变了费米子的类型。 所有夸克和轻子都参与弱相互作用，第三代中微子只参与弱相互作用。
最后是希格斯玻色子（图1中的黄色标记），这是一种非常特殊的玻色子。 它是标准模型的“最后一块拼图”，直到 2012 年才在欧洲核研究组织 (CERN) [3] 得到实验证实，距其提出已近半个世纪。 规范玻色子和费米子都通过与希格斯粒子相互作用而获得质量。 因此，希格斯玻色子也被昵称为“上帝粒子”。 希格斯粒子的神奇之处，除了“赋予”其他基本粒子质量外，还在于希格斯粒子具有自相互作用，这一点与规范玻色子完全不同。 希格斯粒子的自相互作用不属于上述四种相互作用力中的任何一种，而是一种全新的“力”。 这也是粒子物理学家希望建造新型正负电子对撞机——希格斯工厂，进一步研究希格斯粒子的原因之一。
细心的读者可能会注意到，图1中的粒子类型数量并没有达到61种。这里提醒读者：每个夸克有三种颜色，胶子有八种颜色； 还应该指出的是，每个费米子都有其反粒子，正好有 61 个基本粒子。 关于反粒子，我们还要说一件事：它们在电矩和磁矩上与正电子粒子相反，但具有相同的其他性质。 反粒子相遇并湮灭产生电磁辐射，它们也可以通过电磁辐射成对诞生。
我们对基本粒子及其相互作用的介绍到此结束。 正是这些基本粒子相互作用，形成了我们所熟悉的日常生活世界和各种自然现象。 它们是目前被认为是物质的最小结构，并且是所有物质的基石。
2. 衰减率的计算
在第一部分中，我们研究了粒子物理标准模型的整个框架。 这使得我们能够快速建立对某个领域的直观认识，这无疑是重要且有益的。 但这样做有一个危险：它可能会误导一些读者，认为物理学的工作就是想出各种很酷的模型来解释宇宙，而通常在鸟瞰图下，这个模型的解释只是定性的。 因此，有些朋友可能无需进一步系统研究，就开始构建自己的“比较全面”的“宇宙理论”，并且能够解释一些现象。 但这是亚里士多德式的傲慢，而不是现代科学理论。 现代科学诞生于实验，是定量的、可证伪的。 现代科学的语言是数学。 我认为热爱真理从来不需要准备，但寻找真理却需要准备。 在这一部分中，我们将一起进行这样的准备，希望读者能够认识到现代科学理论的数量特征。
我们对标准模型理论的框架有了一个概述，但为了检验该理论，我们必须将实验数据与理论预期进行比较。 探测基本粒子的实验中的原始信息几乎总是来自三种现象：散射、衰变和束缚态（两个或多个粒子的复合物）。 这里我们简单介绍一下如何使用标准模型来预测衰变现象。 [4]
为了预测一种现象，我们必须首先明确我们要计算或测量的物理量。 对于衰变，我们关心的是粒子的寿命。 粒子的衰变过程可以用以下公式描述：
(1)
N(t)表示某一时刻t的粒子数。 方程（1）描述了在dt时间dN内减少的粒子数量，并且还定义了衰减率Г：单位时间内粒子衰减的概率。 那么平均粒子寿命 τ 可以定义为衰变率 Γ 的倒数：
(2)
为了得到我们关心的粒子寿命τ，我们只需要计算衰变率γ即可。 下面给出计算衰减率的方法，这是费米黄金法则的相对论版本[5]：
(3)
利用这个公式可以计算出我们想要的物理量Γ。如果你不想理解式(3)的物理意义，我们的旅程可以到这里结束
。 由于看上去有点复杂，本节将尝试解释一下公式的组成以及各部分的作用。 公式的推导超出了本节的范围； 我们把它留给正式的粒子物理课程。 以下部分假设读者至少具有高中数学能力，并且最好了解矩阵运算（下面只会使用矩阵来简化表达式，所以即使你不理解它们，也可以将相应的表达式视为简写符号）和积分运算（用到的地方很少，不会也不妨碍一般理解）。
公式（3）依赖于两个对象：幅度M和相位空间（公式中没有很多M，它指定了可能的衰减空间）。 相空间的物理图像是什么样的？ 在实验上，我们可以控制初始粒子的能量和动量（即下面介绍的四个能量动量向量），但是量子力学告诉我们最终状态出现了哪些粒子以及这些粒子的能量和动量是可能性。 相空间是最终粒子的能量和动量所能承受的范围，或者说它们所形成的空间。 振幅M的平方模|M|2代表产生某些特定终态粒子的概率密度。 相同初态和不同终态的物理过程的幅值M不同，意味着不同终态的概率密度不同。 然后概率密度在相空间上积分以获得特定物理过程的概率。 费米黄金法则（3）表达了由振幅M表示的特定衰变过程的概率。
我们首先分析相空间部分，然后使用费曼法则来确定振幅M。为了理解定义相空间的方程，我们需要简要回顾一下相对论的一些方面。 为了理解费曼规则，我们需要理解费曼图。
(1)了解相空间的局限性
狭义相对论中有洛伦兹变换：
(4)
在
(5)
不了解狭义相对论的读者可以在任何介绍现代物理的教科书中找到相关材料（例如，老师可能跳过了高中物理课本中选修3-4的相对论部分）。 相信我，最初熟悉它并不困难。
方程（4）是洛伦兹变换的常见形式。 我们将使用一些符号来使其更加对称和简洁。 先令：
(6)
则洛伦兹变换可写为：
(7)
其中 β=v/c。 现在引入矩阵Λ：
(8)
如果约定Λ加上上标和下标表示一个矩阵元素，上标表示行，下标表示列，则洛伦兹变换写为：
(9)
现在，我们继续约定“爱因斯坦求和规则”：将重复的上标和下标视为从0到3的和，则洛伦兹变换进一步缩写为：
(10)
上面我们从公式（4）-（10）知道了洛伦兹变换。 如果通过应用洛伦兹变换规则将具有四个分量的矢量从一个惯性系变换到另一个惯性系，我们将其称为“四矢量”。 洛伦兹变换 (10) 是四个时间和位置向量的示例。
下面进一步介绍几何中“线元”的概念。 我们希望“线元素”具有对于特定变换不变的特性[6]。例如，我们希望欧几里得几何中的线元素相对于伽利略变换保持不变[7]，所以我们定义线元素
。 很容易验证dl2满足伽利略变换下不变性的要求。 现在考虑 Min 几何中的线元素，它需要相对于洛伦兹变换保持不变。定义
。 容易验证ds2满足洛伦兹变换下不变的要求。 由此我们可以定义不变量（相对于洛伦兹变换的不变量）：
(11)
如果引入矩阵g：
(12)
用gμv表示矩阵g的μ行、v列元素，则：
(13)
上式中的第二个等号利用了爱因斯坦求和规则的约定。我们称之为
(14)
是协变四向量（μ在下标），对应的xμ称为逆变四向量（μ在上标）。 那么 I 最简洁的表达就是：
(15)
利用式(15)定义的“线元”和式(10)定义的“四向量”，对于两个四向量aμ和bμ，我们定义标量积：
(16)
还有：
(17)
那么标量积运算为：
(18)
(19)
上式中的粗体字母代表三维空间向量。 请读者注意，我们从式（4）到式（19）得到的结论是a2是式（16）定义下的洛伦兹变换不变量，例如振幅的平方模|M|2。
接下来，我们将四个向量的标量积应用于能量和动量。
为了便于后续处理，定义了一个新概念“原速度”η，即静止系统的位移除以运动系统的持续时间：
(20)
其中，粗体的eta和x是三维的，
（21）
原始速度 η 可以被视为四向量 ημ（最后三个分量）的一部分[8]：
（22）
有了原始速度和相应的四个向量，我们就可以定义动量的四向量形式。 首先将相对论下的三维动量定义为质量乘以原始速度：
（23）
（24）
因此，四个动量向量定义为：
(25)
它的第一个组成部分是：
(26)
我们继续在相对论的情况下定义能量：
(27)
这样，式（25）中的四个向量就可以用相对论下的能量和动量符号来表示，称为能量动量四向量：
(28)
它的“平方”，即标量积：
(29)
我们再次强调，这是洛伦兹变换下的不变量（这正是我们在（18）和（19）中发现的）并且完全源自我们的定义。 上面提到的公式（4）-（29）都是为了理解标量积不是普通的平方，而是根据公式（29）计算的，“仅此而已”。立即我们可以在费米黄金中看到它的身影规则（3）（经过这么长时间的准备
）。
在我们回到方程（3）之前，读者可能会对上面提到的一些“不自然”的定义感到困惑。 我觉得有必要做一些解释，以便于理解。 （作者小心思：考虑到读者读完很多数学公式后可能会想睡觉，此时插入一个叙述、例子或类比，有提神醒脑的作用，让我们为下一步做好准备。每次我看到教科书的作者花时间添加一个笑话或例子，我会感谢他/她让我放松了心情，不知道读者是否也会感谢我。
。 ）
让我们看一个来自力学的例子[9]。 想象一下两个相同物体之间发生轻微爆炸。 对称性告诉我们，一个将以速度 v 向左移动，另一个将以速度 v 向右移动。现在使用两个具有相同质量的物体（材料和其他属性可能不同），我们发现它们的速率仍然是平等的。 也就是说，我们可以通过测量两个物体的速度来判断它们的质量是否相等，从而用“实验中两个物体的速度相等”来定义两个物体的“质量相同”。 现在实验中，一定尺寸的铅块与一定尺寸的铝块的速度相等，同样的铅块也与一定尺寸的金块具有相同的速度。 问：铝块和金块的速度相同吗？ 实验表明它们是平等的。 因此根据定义，铅和金的质量相等。 这条定律是“如果两个物体与第三个物体具有相同的质量动量守恒定律典型模型，则这两个物体具有相同的质量”。 读者可能会认为这太明显了，不能被视为规律，但这就是我们通过“偶然”选择相同质量的定义而得到的。 直观的“显而易见”并不能替代合理的推理和实验。 这里，正是为了推导“同质量的传递性”，我们选择了定义[10]。 用费曼的话说，“看似只是一个定义，实际上却包含着一定的规律。” 就本文的主题而言，可以理解，正是为了得出式（29）的重要结论，我们才选择这样的定义。 一个有趣的题外话：数学中有一个类似的思维过程：选择不同强度的公理集，以得出数学家感兴趣的不同结论[11]。 正如此处所定义的那样，以便得出必要的结论。
现在终于到了回到费米黄金法则 (3) 本身的时候了。 注意等式 (3) 中的两个 delta 函数：
(30)
(31)
δ函数的定义：当且仅当自变量值为0时，函数值为1，否则函数值为0。两个δ函数从两点定义相空间：
另外，式（3）还有一个θ函数（当自变量x0时该函数值为1），这就提出了第三个限制：
通过上述分析，我们推导出相空间的约束条件。
(2) 振幅M的计算方法——费曼法则
下面对费米黄金法则的式(3)中的振幅M进行说明。 首先介绍一下费曼图，例如：
它描述了费曼图，其中电子 (e) 进入，与光子 (γ) 相互作用，然后离开。 时间从左向右向前推进。 这种相互作用的“角”是费曼图的基本结构。 复杂的过程是由这样的顶角组合组成的，例如：
倒箭头代表反粒子。 画面开头和结尾的线条称为内线，代表“虚拟粒子”。 您也可以将它们称为“传播者”，因为它们正在传输交互。 上图所示的物理过程是正电子和反电子相互作用产生“虚光子”，进一步生成一对正电子和反电子，其中反电子发射出光子。 实验只能观察到外部线条（从左侧进入、从右侧退出的线条），代表粒子的初始状态和最终状态。 换句话说，外线是物理过程的初始状态和最终状态，内线是初始状态和最终状态之间的相互作用“机制”。 上图是从两个物体的初始状态到三个物体的最终状态的物理过程。 此外，费曼图中还可能出现一些闭“环”图。 例如上面的物理过程可以经过如下图的三角环图这样的中间过程：
圆引入了新的动量，原则上可以从负无穷大变为正无穷大。 利用三角圆图每个“顶点”的动量守恒可以得出这个结论。 有兴趣的读者可以尝试一下。
现在我们了解了费曼图，让我们看看费曼规则。 为了简单地讨论费曼规则并避免涉及自旋（这是质量、电荷和色荷等基本粒子的属性之一，它会使描述费曼规则变得复杂），我们使用 David Si 提出的一个玩具模型作为目的。
想象一个由三个不同质量的粒子 A、B 和 C 组成的世界。 它们是自己的反粒子，因此下面的费曼图中不需要箭头。 这是一个基本的顶角：
它描述了粒子 A 与两个粒子 B 和 C 的相互作用。
在上面定义的交互框架下，我们获取某个物理过程的幅值M的一般方法是：
1、标出外侧动量pi和内侧动量qj，例如
图中仅示出了外部的线条，虚线内部代表了由基本顶角组成的各种相互作用机制。
2.对于每个顶角，写一个因子“-ig”，g是耦合常数，代表A、B、C之间相互作用的强度。
3. 对于每个内部传播器，写一个因子
qj 和 mj 分别是虚拟粒子的四个动量和质量。 请注意，虚拟粒子不满足方程（29），否则内传播器公式的分母将为零。
4. 对于每个顶角，编写一个 delta 函数：
ki 表示进入顶角的动量（即上面标记的 pi 或 qj）。 如果要离开，则需要一个负值来确保建立动量保护方程（33）。
5.为每个周期图中引入的附加动量QJ写一个因素：
我们需要整合从负小度到正无穷大的环图中引入的自由动量QJ，因为动量保护不能在环图中对自由动量的任何限制。
结合上面步骤2-5中获得的结果，并将它们乘以虚拟数I给出了振幅M。具有编程经验的读者可以将上述规则类似于程序中的功能。 在操作期间，只要调用“ 规则”函数并输入所需的参数，就可以获得所需的输出值M。 实际上，我们已经有一个完整的程序，该程序具有内置标准模型的所有规则。 您只需要输入特定的物理过程（初始状态和最终状态粒子），该程序将输出重要的物理量，例如相应过程的振幅，甚至衰减率。
在考虑循环图的计算过程中，我们遇到了一些不同的（数学上无限）积分。 要解决此问题，需要“重新归一化”。 该技术相对复杂，并且是粒子物理学研究生研究的一部分，因此无需进一步详细说明。 我们认为，上述定义，规则和数学操作足以让读者意识到粒子物理的标准模型是一种准确的物理模型，不仅具有物理图像，而且还具有严格的数学定义和计算。探索物理科学的“一些数学准备”
。
总而言之，我们了解相空间的局限性以及如何找到振幅M，因此对Fermi （3）有了更深入的了解，而费米黄金公式（3）一开始似乎不可能开始。 从现在开始，我们可以通过实验预测和测试粒子衰减。 我们的旅程也结束了。 如果本文可以使您对标准模型有一点了解，对粒子物理产生一点兴趣或发现一些有趣的物理场所，那么您看到的物理模型不仅是练习中的长期模型。 董事会和小滑块，然后实现了本文的目的。
[1]图片来自互联网。
