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[!--downpath--]想象一下，在重力的作用下，一个物体从地面轻轻上升到高度h。
在有限高度内，重力可以视为常数mg。 不随身高变化。
因此，重力对物体所做的功是-mgh。 （重力与位移方向相反，所以功为负）
重力是保守力，保守力所做的功+保守力的势能=常数。
为此，重力势能的表达式为 mgh。 （以地面为势能零点）
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对于弹性系统，弹性恢复力F=-kx。
（k为弹性恢复系数，x表示距平衡位置的距离）。
与重力不同，弹性恢复力不是恒定的，而是随位移 x 变化。
因此，本题需要有微积分知识基础。
当距平衡位置的距离为x时，恢复力F=-kx，负号表示恢复力的方向指向平衡位置。 其中 k 是弹性恢复系数。
从平衡位置到x位置，恢复力所做的功是恢复力与从0到x的位移乘积的定积分。此时
W=∫F*dx=∫-kx*dx=-kx^2/2（从0到x）=-kx^2/2-0=-kx^/2
恢复力属于弹性系统的内力，与重力一样也属于保守力。
保守力所做的功 = 保守势能变化的负值
以平衡位置为势能零参考点弹片弹力的计算公式，于是
弹性势能E=-W=kx^2/2
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做F---x关系曲线。 从该线的起点和终点绘制与 x 轴垂直的线。
这样，一个封闭的图形就被这两条垂直线、x轴和F--x曲线包围起来。
该图的面积就是力F所做的功W。
你在学校接触过里面提到的这段话吗？ 如果不是，那就承认吧。 对于知识储备不足、无法证明的理论，我们就直接承认吧。 这也是一种常见的学习技巧。
对于这个话题，
以弹力F=-kx为y轴，
以膨胀量x为x轴
F--x“曲线”是通过坐标原点的直线。
从直线的起点和终点投影到x轴后弹片弹力的计算公式，得到第二维的三角形。
三角形的面积是
S=底部*高度/2=(x-0)*kx/2=kx^2/2
因为力的方向与位移的方向相反（并且因为它在x轴下方），所以F所做的功就是面积的负值，即
W=-S=-kx^2/2
弹性势能是
E=-W=kx^2/2
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为什么说图像的面积就是弹簧的弹性势能呢？
弹性势能公式是高中时特别“基础”的数学公式，但其推演过程在课本上却看不到。 原因在于它的推演过程超出了学生的知识范围。
求知欲旺盛的中学生总是希望知道自己的推演过程。 而给出推演过程后，由于知识基础不够，所以看不懂，就会形成各种疑惑。 当这种疑问无法解决时，希望不要心急，因为你的知识储备不足。
简单解答一下你的疑惑。
作为自变量 x 函数的因变量 F 曲线下的面积是 F 所做的功。这是物理推论。
你可以想象，假设F是一个常数。 这样，位移x-x0后，F所做的功就是F*(x-x0)。 现在就把这个推论语言文化！ 还是做Fx函数图像。 那么图像就是一条平行于x轴的直线。 直线到x轴的距离为F。因此，功F(x-x0)对应函数图像上圆的面积，圆是从起点和终点投影生成的F 线到 x 轴的点。
在前面的讨论中，F 是一个常数。 因此，F 所做的功的表达式非常简单。 而当函数图像不再平行于x轴时，F所做的功就等于F对x的积分。 而“整合”这个物理概念小学里还没有接触过，所以你会很难理解。 在物理学中，“积分”的结果仍然是函数曲线向x轴的投影所围成的图形面积。