免费下载！
[!--downpath--]中考中经常出现的数学模型中，斜面问题、叠加体模型、含弹簧的关节体、传送带模型在中考中非常重要，而与弹簧相关的数学试卷占据了相当大的比例。 中考的提出者常常以弹簧为载体来设计各种试卷。 这类试题涉及静力学问题、动力学问题、动量守恒和能量守恒问题、振动问题、泛函问题等，几乎贯穿了整个热学知识体系。
对于弹簧来说，从受力的角度来看，弹簧上的弹力是变力； 从能量的角度来看，弹簧是一种能量储存装置。 。
1.静力学中的弹簧问题
(1)胡克定律：F=kx，ΔF=k·Δx。
（2）对弹簧秤两端施加不同的拉力（沿轴向），弹簧秤的示值必须等于吊钩上的拉力。
●例4 如图9-12A所示，两个铁块A、B的质量分别为m1、m2，两个轻弹簧的刚度系数分别为k1、k2。 两个弹簧分别连接A、B。整个系统处于平衡状态。 现在将铁块A轻轻向下提起，直至下方弹簧对地面的压力恰好为零，在此过程中A、B的重力势能减小（）
【分析】以A、B以及它们之间的弹簧组成的整体为研究对象，那么当下弹簧对地面的压力为零时，将A抬起的力F正好为：
F=(m1+m2)g
假设在此过程中前部和底部弹簧分别伸长x1和x2，如图9-12B所示，由胡克定律得到：
因此，A和B的约简重力势能为：
．
【答案】D
【点评】①计算内弹簧的伸长率时，很多同学会先估计原始压缩，再估计后来的伸长，然后将两者相乘，但不如前面分析中直接用Δx=ΔF/估计 k 更快更方便。
②通过比较可以看出，重力势能的减少并不等于向下的力所做的功
．
2.弹簧动力学问题
（1）瞬时加速度问题（与光绳、光杆不同）：弹簧一端固定，另一端连接物体，变形不会突然变化，弹力也不会突然变化。
(2)如图9-13所示，当A、B被压下，去除外力后，当弹簧恢复到原来的长度时，B、A开始分离。
图9-13
●例5：弹簧秤秤盘的质量为m1=1.5kg，秤盘内放置质量为m2=10.5kg的物体P。 弹簧的质量不计算，其刚度系数k=800N/m。 整个系统处于静态状态，如图9-14所示。
现在对 P 施加垂直向下的力 F，使 P 从静止状态开始以匀加速直线向下运动。 已知F在前0.2s内变化，0.2s后保持恒定。 求F值的最大值和最小值。 （取g=10m/s2）
【分析】弹簧初始时刻的压缩量为：
x0=((m1+m2)g/k=0.15m
当秤盘提升高度为x时，P与秤盘分离，分离时间为：
从题意来看，对于P在0~0.2s内的运动：
1/2)at2=x
解：x=0.12m，a=6m/s2
因此，在平衡位置，拉力有最小值Fmin=(m1+m2)a=72N
分离瞬间，拉力达到最大值Fmax=m2g+m2a=168N。
[答案]
【点评】对于本例描述的化学过程，需要注意的是，分离瞬间m1和m2之间的弹力减为零，以及弹簧弹力形成的加速度下一时刻秤盘的重力将大于a，因此秤盘与重物分离。
3.与动量和能量有关的弹簧问题
与动量、能量有关的弹簧题在高中试卷中频繁出现，且常以估算题的形式出现。 以下两个推论的应用在分析过程中非常重要：
(1)当弹簧压缩和伸长的变形量相同时物理弹簧弹力公式，弹簧的弹性势能相等；
(2)当弹簧连接两个物体做变速运动时，弹簧原始长度时两个物体的相对速度最大，弹簧变形时两个物体的相对速度相等是最大的。
●例6 如图9-15所示，用轻弹簧连接质量为m=1kg的物体A、B，固定在空中，弹簧处于原长度状态，求A距物体的高度。地面为h1=0.90 m。 同时释放两个木块，A与地面碰撞后速度立即为零，因为B压缩弹簧后会下降，这样A就可以离开地面（但不能继续上升）。 若将B块换成质量为2m的C块（图中未示出），仍与A固定在空中，且弹簧处于原来的长度，则从A的高度h2释放到同时着地，C被压缩，弹簧落下后，A刚好离开地面。 给定弹簧刚度系数k=100N/m，求h2的大小。
【分析】假设当A块落地时，B块的速度为v1，则：
假设A刚离开地面时，弹簧的变形量为x，对于A块：
毫克=kx
从A落地到A刚刚离开地面的过程中，对于A、B和弹簧组成的系统机械能守恒，则：
1/2·mv12=mgx+ΔEp
改为C后，设A落地时C的速度为v2，则：
1/2·＝2mgh2
从A落地到A刚刚离开地面的过程中，A、C和弹簧组成的系统机械能守恒，则：
联立解：h2=0.5m。
【答】0.5m
【点评】由于中学数学并不要求弹性势能的表达，因此中考几次考弹簧问题时必须使用上述推论“①”。
●例7、用轻弹簧连接的两个质量为2kg的木块A、B在光滑的水平地面上以v=6m/s的速度移动。 弹簧处于原来的长度，质量为4kg的C块处于静止状态。 正面，如图9-16A所示，B和C碰撞后，两者粘在一起并移动，则在后续的移动中：
(1) 当弹簧的弹性势能最大时，物体A的速度是多少？
(2) 弹簧的弹性势能的最大值是多少？
(3) A 的速度方向是否有可能向左？ 为什么？
【分析】（1）当A、B、C速度相等时（设为vA′），弹簧的弹性势能最大，因为A、B、C组成的系统的动量是守恒的，则：
(mA+mB)v=(mA+mB+mC)vA'
解决方案必须：
(2) 当B和C碰撞时，B和C组成的系统动量守恒。 设B、C碰撞后的速度为v′，则：
mBv=(mB+mC)v'
解：v'=
当A的速率为vA′时，弹簧的弹性势能最大，其值为Ep，根据能量守恒原理：
．
(3)方法1A不能向左移动。
根据系统动量守恒：(mA+mB)v=mAvA+(mB+mC)vB
让A向左走，则vA<0,vB>4m/s
那么B和C碰撞后，A、B、C的动能之和为：
事实上，系统的机械能为：
根据能量守恒定律，E′>E是不可能的，所以A不能向左移动。
模态2 B、C碰撞后系统的运动可以看作是整体向右匀速运动与A、B、C相对振动的合成（即相当于相对振动）车厢中的两个物体以匀速运动）
由(1)可知整体匀速运动的速度v0=vA'=3m/s
以匀速运动v0=3m/s的物体为参考系，可以看出，当弹簧处于原始长度时，A、B、C的相对振动速度分别最大：
vAO=v-v0=3m/s
vBO=|v′－v0|=1m/s
由此，我们可以画出A、B、C的速度随时间变化的图像，如图9-16B所示，因此A没有向左移动的时刻。
【答案】（1）3m/s（2）12J（3）不可能，原因省略
【点评】①需要清晰地想象和理解研究对象的运动过程：相当于以3m/s等速运行的车厢中A、B、C相对于某一点的简谐振动弹簧上最大振动速度分别为3m/s、1m/s。
②当弹簧受压恢复到原来长度时，A最有可能向左移动，但此时A的速度为零。
●例8 在探究某笔的弹跳问题时，将笔分为三个部分：轻弹簧、内芯、外壳。 内核和外壳的质量分别为m和4m。 笔的弹跳过程分为三个阶段：
①将笔直立放在水平硬桌上，向下压外壳，使其上端接触桌面（如图9-17A所示）；
②从静止状态释放，当壳体从台面左端垂直上升到高度h1时，与静止内芯碰撞（如图9-17B所示）；
③接触后，内核和外壳以共同的速度一起上升，直至外壳上端距桌面最大高度h2（如图9-17C所示）。
假设内芯与外壳之间的冲击力远小于笔的重力，忽略摩擦力和空气阻力，重力加速度为g。 求：
(1) 壳与内核碰撞后的关节速度。
(2)从弹壳离开台面到碰撞前一刻弹簧所做的功。
(3)从表壳上端离开桌面到上升到h2时笔所损失的机械能。
【分析】设v1为壳层上升到h1时的速度，壳层与内核碰撞后的共同速度为v2。
(1) 对于壳层和内核，从撞击后达到共同速度到上升到h2物理弹簧弹力公式，动能定律给出：
解决方案必须：
．
(2) 壳层与内核碰撞过程中动量守恒，即：
4mv1=(4m+m)v2
将 v2 代入：
(3) 由于壳层与内核达到共同速度后上升到高度 h2 的过程中机械能守恒，因此仅在壳层与内核碰撞时发生能量损失，损失的能量
将v1和v2代入得到：E损失=5/4mg(h2-h1)。
[回答]