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[!--downpath--]1、第六节简单的三角恒等变换,五年6考中考指数:能运用两角和与差的余弦、余弦、正切公式以及二倍角的余弦、余弦和余弦公式进行简单的恒等变换(包括导入积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).,1.借助公式变换,进行三角函数式的通分是中考考查的热点.2.常与实际应用问题、函数等结合命题.3.中考主要以解答题的方式进行考查.,1.全角公式,【即时应用】(1)思索：你能用sin、cos表示吗？提示：,(2)判定下述公式及其变型是否正确(请在括弧中填写“”或“”)()()()【解析】根据公式可知根号下分子上应当是“+”，故错;等号左边分子上应当是“-”，故错；等
2、号左侧分子上应当是“-”，可以通分验证，故错.答案：,(3)填空：-=_.-1=_.【解析】-=cos30=-1=-cos30=答案：,2.形如asinx+bcosx的多项式的通分asinx+bcosx=_sin(x+)(其中),【即时应用】(1)把下述三角函数式化成的方式sin+=_;sin+cos=_;5sin+12cos=_.(2)估算：=_.,【解析】(1)sin+cos=5sin+12cos=(其中).(2)原式,答案：(1)(2),三角函数式的求值【方法点睛】
3、三角函数式求值的类型和思路(1)三角函数式求值的类型三角函数式求值分为直接求值和条件求值,直接求值就是直接按照所给的三角函数式选择恰当的公式通分变型求得三角函数式的值.,条件求值是要依照条件选择合适的公式进行三角恒等变换求得所须要的值，同时注意所给角的范围.(2)条件求值的通常思路先通分所求多项式或所给条件;观察已知条件与所求多项式之间的联系(从三角函数名及角入手);将已知条件代入所求多项式,通分求值.,【例1】求下述三角函数式的值(1)sin50(1+)=_.(2)若则=_.(3)已知tan(+)=2,则=_.【解题手册】(1)把切函数换成弦函数再用公式化
4、简求值，重在公式的逆用；(2)借助两角和、差的正弦公式展开求,，相除得结果；(3)按照已知条件求出tan，把所给的三角函数式变型，代入tan即可.,【规范解答】(1)原式=(2)cos(+)=-=cos(-)=+=,由解得则(3)由得于是答案：(1)1(2)(3),【互动探究】把本例(2)中的“cos(+)=cos(-)=”改为“sin(+)=sin(-)=”,怎么求？【解析】因为sin(+)=+=sin(-)=-=两式相减得sinco
5、s=两式相加得=即得,【反思感受】三角函数式求值问题的注意点(1)三角函数式求值时一定要确切地应用公式和选择恰当的思路极化恒等式在高考中的应用，否则会使求值过程冗长.(2)条件求值要求确切借助所给的条件，在此可能涉及到多项式的变型和角的变换，同时要注意所给角的范围.,【变式备选】已知求cos(2+)的值.【解析】=(cos2-sin2),又cos(+)=0,故可知,因而cos2=sin(2+)==sin2=-cos(2+)=1-2cos2(+)=cos(2+)=(cos2-sin2)=,三角函数式的通分【方法点睛】三角函数式通分的原则、要求及技巧(1)三角
6、函数式的通分原则:一是统一角，二是统一函数名.能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分.(2),三角函数式化简的要求,能求出值的应求出值；尽量使三角函数种数最少；尽量使项数最少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数.,(3)三角函数式通分的方式主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角.【提醒】同角三角函数关系式和诱导公式在通分中常常应用，非常是“1”的代换常常用到.,【例2】化简(,2).【解题手册】利用三角函数的倍角公式凑根号下为完全平方法，化无理式为有理式，但要注意的范围.,【规范解答】2(1+cos)=原式=(,2),当即时极化恒等式在高考中的应用，原式=,当
7、即时，原式(其中),原式=,【反思感受】本题借助了“1”的逆代方法，即化1为是欲擒故纵原则.通常地有,【变式训练】化简【解析】原式=,【变式备选】化简：【解析】方法一:原式=,方式二：原式=,三角恒方程的证明【方法点睛】三角恒方程证明的方式及切入点(1)证明恒方程的方式：从左到右；从右到左；从两侧化到同一多项式.原则上是化繁为简，必要时也可用剖析法.(2)三角恒方程证明的切入点：看角：剖析角的差别,去除差别,向结果中的角转化;看函数:统一函数,向结果中的函数转化.,【例3】证明：(1)(2)【解题手册】(1)从等号的左侧开始证明先弄成相同的角，再借助公式推
8、导；(2)从等号的右侧证明，主要是借助同角三角函数关系式，注意“1”的代换.,【规范解答】(1)右边==sin(-2x)=cos2x=右侧，原题得证.(2)右边===一侧，原题得证.,【互动探究】把本例(2)中等号左侧改为“”,左边不变，试证明.【证明】左边==右侧.所以原方程创立.,【反思感受】1.三角函数式的通分与证明的类型及思路(1)对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；(2)对三角的多项式，基本思路是分子与分母通分和逆用公式，最终弄成多项式或数值；(3)对二次根式，则须要运用倍角公式的变型方式.2.通分与证明的过程中彰显了化归的思想，是一个“化异为
9、同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”、“单角化复角”，“复角化单角”、“复角化复角”等具体手段.,【变式备选】若tan2=2tan2+1，求证：sin2=2sin2-1.【证明】由已知得即即即sin2-=sin2+1-sin2-.sin2=2sin2-1，即方程创立.,的应用【方法点睛】三角函数性质的讨论(1)三角函数性质的讨论，可通过变型为asin+bcos=(其中)的方式去讨论.这样的变型，主要是角的确定.(2)通过恒等变型，可以将较为复杂的函数方式转化为较为简约的函数方式，有利于更好地讨论
10、三角函数的性质，但要注意是恒等变型，由于在个别情形下，变型会造成定义域的变化，进而影响函数的值域和周期等性质.,【提醒】该公式是逆用两角和的余弦公式得到的.当为特殊角即的值为1或时要熟练把握.对是非特殊角时,只要求会求最值即可.,【例4】已知函数(0)的最小正周期为.(1)求的值;(2)求函数f(x)在区间上的取值范围.【解题手册】先借助三角恒等变换把f(x)化成f(x)=Asin(x+)+b的方式，求周期得到,再讨论三角函数的性质.,【规范解答】(1)f(x)=由于函数f(x)的最小正周期为,且0，所以解得=1.(2)由(1)得f(x)=由于所以,所以由于
11、所以f(x)在区间上的取值范围为,【反思感受】此题第(1)问主要是要求正确的恒等变型，第(2)问要注意这样的范围能够具体求出，再求f(x)的取值范围.,【变式训练】已知函数(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在上的值域.【解析】(1)f(x)的最小正周期,(2)所以f(x)在上的值域为,【满分指导】三角函数性质综合题的规范解答【典例】(12分)(2011成都中考)已知函数f(x)=sin(x+xR.(1)求f(x)的最小正周期和最小值;(2)已知0求证：f()2-2=0.,【解题手册】(1)把f(x)化成的方式；(2)借助两角和与
12、差的正弦公式展开，两式相减可得=0，结合可得因而问题得证.【规范解答】(1)3分f(x)的最小正周期T=2，f(x)的最小值为-2.5分,(2)由已知得+=-=两式相减得=0.8分0f()2-2=12分,【阅卷人点拨】通过中考中的阅卷数据剖析与总结，我们可以得到以下失分警示和复习建议：,1.(2011大纲版全省卷)已知则tan2=_.【解析】由得答案：,2.(2011上海中考)已知sin=+cos,且(0,),则的值为_.【解析】由题意知sin-cos=两侧平方可得所
13、以(sin+cos)2=1+sin2=又(0,),所以sin+cos=,答案：,3.(2011安徽中考)设函数f()=sin+cos，其中，角的顶点与座标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0.(1)若点P的座标为求f()的值；(2)若点P(x，y)为平面区域：上的一个动点，试确定角的取值范围，并求函数f()的最小值和最大值.,【解析】(1)由点P的座标和三角函数的定义可得于是f()=(2)做出平面区域(即阴影部份)如图所示，其中A(1，0)，B(1，1)，C(0，1).,于是0又f()=sin+cos=2sin(+)，且故当即=时，f()取得最大值，且最大值等于2；当即=0时，f()取得最小值，且最小值等于1.,
