1、2013年普通中考数学科一轮备考精品教案第24讲三角恒等变型及应用一课标要求：1经历用向量的数目积推导入两角差的正弦公式的过程，进一步感受向量方式的作用；2能从两角差的正弦公式导入两角和与差的余弦、余弦、正切公式，二倍角的余弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导入积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。二命题迈向从近几年的中考考察的方向来看，这部份的中考题以选择、解答题出现的机会较多，有时侯也以填空题的方式出现，它们常常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考察，主要题型有三角函数求值，通过三角式的变换研究三角函数的性质。本讲内容是中考备考j1K物理好资源网(原物理ok网)

2、的重点之一，三角函数的通分、求值及三角恒方程的证明是三角变换的基本问题。历年中考中，在考察三角公式的把握和运用的同时，还着重考察思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和综合剖析能力。三要点精讲1两角和与差的三角函数；。2二倍角公式；。3三角函数式的通分常用方式：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同角；三角公式的逆用等。（2）通分要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数。（1）降幂公式；。（2）辅助角公式，。4三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：通常所给出的角都是非特殊角j1K物理好资源网(原物理ok网)

3、，要观察所给角与特殊角间的关系，借助三角变换消掉非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出个别角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的多项式表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。5三角方程的证明（1）三角恒方程的证题思路是按照方程两端的特点，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方式，使方程两端化“异”为“同”；（2）三角条件方程的证题思路是通过观察，发觉已知条件和待证方程间的关系，采用代入法、消参法或剖析法进行证明j1K物理好资源网(原物理ok网)

4、。四典例解析题型1：两角和与差的三角函数例1已知，求cos。剖析：由于既可看成是看作是的倍角，因此可得到下边的两种解法。解法一：由已知sin+sin=1，cos+cos=0，22得2+2cos；cos。22得cos2+cos2+2cos（）=1，即2cos（）=1。解法二：由得由得得点评：此题是给出单角的三角函数多项式，求复角的正弦值，易犯错误是借助等式组解sin、cos、sin、cos，但未知数有四个，即便前景并不豁达，其错误的缘由在于没有注意到所求式与已知式的关系本题关键在于化和为积促转化，“整体对应”巧应用。例2已知求。剖析：由韦达定律可得到因而可以求出的值，再将所求值的三角j1K物理好资源网(原物理ok网)

5、函数式用tan表示便可知其值。解法一：由韦达定律得tan，所以tan解法二：由韦达定律得tan，所以tan，。点评：（1）本例解法二比解法一要简捷，好的解法来始于熟练地把握知识的系统结构，进而找寻解答本题的知识“最近发展区”。（2）运用两角和与差角三角函数公式的关键是熟记公式，我们除了要记住公式，更重要的是紧抓公式的特点，如角的关系，次数关系，三角函数名等抓住公式的结构特点对提升记忆公式的效率起到至关重要的作用，并且捉住了公式的结构特点，有利于在解题时观察剖析题设和推论等三角函数式中所具有的相像性的结构特点，联想到相应的公式，因而找到解题的切入点。（3）对公式的逆用公式，变型式也要熟悉，如题型j1K物理好资源网(原物理ok网)

6、2：二倍角公式例3通分下述各色：（1），（2）。剖析：（1）若注意到通分式是开平方根和2以及其范围不难找到解题的突破口；（2）因为分子是一个平方差，分母中的角，若注意到这两大特点，不难得到解题的切入点。解析：（1）由于，又因，所以，原式=。（2）原式==。点评：（1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，除了限于2是的二倍，要熟悉多种方式的两个角的倍数关系，同时还要注意三个角的内在联系的作用，是常用的三角变换。（2）通分题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次，消元，切割化弦，异名化同名，异角化同角是常用的通分方法。（3）公式变型，。例4若。剖析：注意的两变换，就有以下的两种解法。解法一：j1K物理好资源网(原物理ok网)

7、由，解法二：，点评：此题若将的右侧展开成再求cosx，sinx的值，就很冗长，把，并注意角的变换2运用二倍角公式，问题就公难为易，化繁为简所以在解答有条件限制的求值问题时，要擅于发觉所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，通常方式是拼角与拆角，如，等。题型3：辅助角公式例5已知正实数a,b满足。剖析：从多项式的观点考虑，假如给方程右边的分子、分母同时乘以a，则已知方程可化为关于程，因而可求出由，若注意到方程右边的分子、分母都具有的结构，可考虑引入辅助角求解。解法一：由题设得解法二：解法三：点评：以上解法中，技巧一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模式联想，引入辅助角，方法性较强j1K物理好资源网(原物理ok网)

8、，但辅助角公式，或在历年中考中使用频度是相当高的，应加以关注；解法三利用了换元法，但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点，所以解法三最佳。例6已知函数，xR.（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图像可由ysinx（xR）的图像经过如何的平移和伸缩变换得到?（理）（1）解析：（）（）（）sin（2x）y取得最大值必须且只需2x2k，kZ，即xk，kZ。所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为x|xk，kZ。（2）将函数ysij1K物理好资源网(原物理ok网)

9、nx依次进行如下变换：把函数ysinx的图像向左平移，得到函数ysin（x）的图像；把得到的图像上各点横座标减短到原先的倍（纵座标不变），得到函数ysin（2x）的图像；把得到的图像上各点纵座标减短到原先的倍（横座标不变），得到函数ysin（2x）的图像；把得到的图像向下平移个单位宽度，得到函数ysin（2x）的图像；综上得到函数的图像。点评：本题主要考查三角函数的图像和性质，考查借助三角公式进行恒等变型的技能以及运算能力。题型4：三角函数式通分例7求50的值。解析：原式（）（）（j1K物理好资源网(原物理ok网)

10、0）1（）。点评：本题考查三角恒方程和运算能力。例8已知函数.（）求的定义域；（）设的第四灵限的角，且，求的值。解析：（）由得，故在定义域为（）由于，且是第四灵限的角,所以a故。题型5：三角函数求值例9设函数f(x)=++a(其中0,aR),且f(x)的图像在y轴右边的第一个低点的横座标为。（）求的值；（）假如f(x)在区间上的最小值为，求a的值。解析：（I）依题意得（II）由（I）知，。又当时，故，因而在区间上的最小值为，故例10求函数2的值域和最小正周期。解析：yj1K物理好资源网(原物理ok网)

11、=cos(x+)cos(x)+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+)，函数y=cos(x+)cos(x)+sin2x的值域是2,2,最小正周期是。题型6：三角函数综合问题例11已知向量（I）若求（II）求的最大值。解析：（1）；当=1时有最大值,此时，最大值为。点评：本题主要考察以下知识点：1、向量垂直转化为数目积为0；2，特殊角的三角函数值；3、三角函数的基本关系以及三角函数的有界性；4.已知向量的座标表示求模，难度中等，估算量不大。例12设0，曲线x2sin+y2cos=1和=1有4个不同的交点。（1）求的取值范围；（2）证明这4个交点共圆，并求圆半j1K物理好资源网(原物理ok网)

12、径的取值范围。解析：（1）解多项式组，得；故两条已知曲线有四个不同的交点的充要条件为，（0）0。（2）设四个交点的座标为（xi，yi）（i=1，2，3，4），则：xi2+yi2=2cos（，2）（i=1，2，3，4）。故四个交点共圆，而且这个圆的直径r=cos（）.点评：本题重视考查应用解多项式组法处理曲线交点问题，这也是曲线与多项式的基本技巧，同时本题也突出了对三角不等关系的考查。题型7：三角函数的应用例13有一块扇形铁板，直径为R，圆心角为60，从这个扇形中切割下一个内接圆形，即圆形的各个顶点都在扇形的直径或弧上，求这个内接圆形的最大面积剖析：本题入手要解决好两个问题，（1）内接圆形的放置有两种j1K物理好资源网(原物理ok网)

13、情况，如图2-19所示，应当分别给以处理；（2）求最大值问题这儿应构造函数，如何选择以便借以抒发方形面积的自变量。解析：如图2-19(1)设FOA=，则，。又设圆形EFGH的面积为S极化恒等式在高考中的应用，这么又060，故当cos(260)1，即=30时，如图2-19(2)，设FOA，则(30)，在OFG中，设圆形的面积为S这么(30-)(230)cos30又030，故当cos(230)1。五思维总结从近些年中考的考查方向来看，这部份经常以选择题和填空题的方式出现，有时也以大题的方式出现，分值约占5%因而能够把握好本重点内容，在一定的程度j1K物理好资源网(原物理ok网)

14、上阻碍着在中考中成功与否。1两角和与两角差的余弦、余弦、正切公式，二倍角的余弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点：（1）除了对公式的正用逆用要熟悉，并且对公式的变型应用也要熟悉；（2）擅于拆角、拼角如，等；（3）注意倍角的相对性（4）要时时注意角的范围（5）通分要求熟悉常用的技巧与方法，如切化弦，异名化同名，异角化同角等。2证明三角方程的思路和技巧。（1）思路：借助三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使方程两侧化为同一方式。（2）证明三角不方程的方式：比较法、配方式、反证法、分析法，借助函数的单调性，借助正、余弦函数的有界性，借助单位圆三角函数线及判断法等。3解答三角中考题的策略。（1）j1K物理好资源网(原物理ok网)

15、发现差别：观察角、函数运算间的差别，即进行所谓的“差异剖析”。（2）找寻联系：运用相关公式，找出差别之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，使得差别的转化。4强化三角函数应用意识的训练因为考生对三角函数的概念认识做作，不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间构建联系，导致思维障碍，思路遇阻.实际上，三角函数是以角为自变量的函数，也是以实数为自变量的函数，它形成于生产实践，是客观实际的具象，同时又广泛地应用于客观实际，故应培养实践第一的观点.反正，三角部份的考查保持了内容稳定，难度稳定，题量稳定，题型稳定，考查的重点是三角函数的概念、性质和图像，三角函数的求值问题以及三角变换的方式。5变为主线、抓好训练变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换，三角函数名的变换，三角函数次数的变换，三角函数式抒发方式的变换等比比皆是，在训练中，加强变意识是关键，但题目不可太难，较特殊方法的题目不做，立足课本，把握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行归类，并进行剖析比较，找寻解题规律。针对中考中题目看极化恒等式在高考中的应用，还要加强变角训练，常常注意搜集角间关系的观察剖析方式.另外怎样把一个富含不同名或不同角的三角函数式化为只富含一个三角函数关系式的训练也要加大，这也是中考的重点.同时应把握三角函数与二次函数相结合的题目。j1K物理好资源网(原物理ok网)