免费下载！
[!--downpath--]专题23极化恒方程【方法点拨】极化恒方程：。说明：（1）极化恒方程的几何意义是：设点是△ABC边的中点，则，即：向量的数目积可转化为中线长与半斜边长的平方差．（2）具有三角几何背景的物理问题借助极化恒方程考虑尤为简单，让“秒杀”向量数目积问题成为一种可能，此恒方程的精妙之处在于构建向量与几何宽度(数目)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合。（3）遇见共起点的两向量的数目积问题，常取第三边的中点，进而运用极化恒方程加以解决。【典型例题】例1如图，在中，是的中点，是上两个三等分点，，，则的值是．【解析】设，由极化恒方程得极化恒等式推导过程，解之得可得，，为此，，为此．21*cnjy*co点评：紧紧掌握极化恒方程使用条件，三次使用极化恒方程求解。例2已知是周长为2的等腰三角形，是平面内一点，则的最小值为．【答案】本题的难点在于怎样将“二合一”？注意到两向量共起点且其系数和为3，可借助三点共线的方式将其“二合一”，之后使用极化恒方程。【解析】设，则，在上所以如图，取中点为，由极化恒方程得在，由正弦定律得所以当，即为中点时，所以的最小值，此时为中点。例3如图所示，方形ABCD的边AB=4，AD=2，以点C为圆心，CB为直径的圆与CD交于点E，若点P是弧形(含端点B、E)上的一点，则eqo(PA,sup6(→))·eqo(PB,sup6(→))的取值范围是。
【答案】取AB的中点设为O，则，之后借助平几知识确定PO的取值范围，代入即可。【解析】取AB的中点设为O，则，当O、P、C共线时，PO取得最小值为；当P与B（或E）重合时，PO取得最大值为PO=2，所以的取值范围是。例4直径为2的圆O上有三点A，B，C，满足，点是圆内一点，则的取值范围是（）A。B。C。D。【答案】A直接两次使用极化恒方程即可。【解析】由得在平行四边形中，，故易知四边形是矩形，且设四边形对角线的交点为E由极化恒方程得所以由于是圆内一点，所以所以，即，选A。例5在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN＝1，若的最小值为，则cos∠ACB＝．【答案】取MN的中点P，由极化恒方程将“的最小值为”转化为AB边上的高CH=1，之后借助两角差的的正弦公式求解。【解析】取MN的中点P，则由极化恒方程得∵的最小值为∴由平几知识知：当CP⊥AB时，CP最小。如图，作CH⊥AB，H为垂足，则CH=1又AC＝2BC＝4，所以∠B＝30o，sinA=所以cos∠ACB＝cos（150o－A）=。例6已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设中点为，则，又由于，所以，故选：D。
【巩固练习】如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5。若eqo(AB,sup7(―→))·eqo(AD,sup7(―→))＝－7，则eqo(BC,sup7(―→))·eqo(DC,sup7(―→))＝。2．方形中，为圆形所在平面内一点，,菱形对角线，则值为。3。若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值为。4。已知平面向量a，b，e满足|e|＝1，a·e＝1，b·e＝－2，|a＋b|＝2，这么a·b的最大值为．5。在中，已知，，则面积的最大值是．6。已知单位向量，，满足，则的值为（）A．B．C．D．17。已知，且向量与的倾角为120°，又，则的取值范围为（）A．B．C．D．8。已知平面向量满足，，，，这么的最小值为．9。已知锐角的外接圆的直径为1，，则的取值范围为．10。在中，，若是所在平面内的一点，且，则的最大值为_____。11。已知点是周长为的正三角形内切圆上的一点，则的取值范围为_____。12。已知正矩形ABCD的周长为1，中心为O，直线l经过中心O，交AB于点M，交CD于点N，P为平面上一点，若2eqo(OP,sup6(→))＝λeqo(OB,sup6(→))＋(1－λ)eqo(OC,sup6(→))，则eqo(PM,sup6(→))·eqo(PN,sup6(→))的最小值为。
13。设点P为正三角形△ABC的边BC上的一个动点，当eqo(PA,sup6(→))·eqo(PC,sup6(→))取得最小值时，sin∠PAC的值为．14。在平面直角座标系xOy中，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上联通，AB＝2，若点P满足eqo(PA,sup6(→))·eqo(PB,sup6(→))＝2，则OP的取值范围为．15。在△ABC中，E，F分别是线段AB，AC的中点，点P在直线EF上，若△ABC的面积为2，则eqo(PB,sup6(→))·eqo(PC,sup6(→))＋eqo(BC,sup6(→))2的最小值是．16。在直径为1的扇形AOB中，若∠AOB＝60°，C为弧AB上的动点，AB与OC交于点P，则eqo(OP,sup14(→))·eqo(BP,sup14(→))的最小值是．【答案与提示】1。【答案】9【提示】两次使用极化恒方程，由得，。2。【答案】【提示】设方形的对角线交点为O，由，得，。3。【答案】【解析】根据极化恒方程得：，故，所以的最小值为．4。
【答案】－5【提示】由a·e＝1，b·e＝－2得:a·e－b·e＝3，即（a－b）·e＝3，|a－b|cos?＝3a·b=14[|a＋b|2－|a－b|2]≤－5。【答案】【提示】取BC的中点为D，则，所以由于BC边上的高线长不小于中线长，当中线就是高线时，面积最大，故面积的最大值．6。【答案】A【解析】∵，∴，如图，设中点为，则，且，∴三点共线，，，，∴为等边三角形，∴，∴。故选：A。7。【答案】C【解析】连结，则设的中点为，由，易知，所以故，故选：C8。【答案】【解析】由，得极化恒等式推导过程，即又（其中为向量与的倾角）所以所以。9。【答案】10。【答案】【提示】方法同上。11。【答案】12。【答案】13。【答案】14。【答案】15。【答案】16。【解析】如图，取OB的中点D，联接PD，则eqo(OP,sup14(→))·eqo(BP,sup14(→))＝PD2－OD2＝PD2－eqf(1,4)，即求PD的最小值．由图可知，当PD⊥OB时，PDmin＝eqf(r(3),4)，则eqo(OP,sup14(→))·eqo(BP,sup14(→))的最小值是－eqf(1,16)。