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[!--downpath--]第九章第九章内积空间和希尔伯特内积空间和希尔伯特()()空间空间9。19。1内积空间的基本概念内积空间的基本概念教学目标:1、掌握内积空间和希尔伯特空间的定义,运用定义就能证明;2、掌握施瓦茨不方程与极化恒方程,并能熟练运用;3、培养中学生具象、理解、概括、归纳能力和迁移能力;教学重点:理解内积空间和希尔伯特空间的定义。教学难点:证明过程及运用。在复欧氏空间中极化恒等式图片,向量不仅有厚度的概念外,还定义了两个向量的内积的运算,即若则a与b的内积定义为:其中表示的复共轭,但是内积与向量a的宽度有以下关系由内积定义,可知两个向量a与b正交等价于。其实,在有限维复欧氏空间中,由(1)定义的内积具有下列性质:在复欧氏空间的欧几里得几何学中所用到内积的性质主要是前面三条,因而借助这三条性质,我们也在通常的线性空间中引入内积的的概念。为复数其中定义1设是复线性空间,假如对中任何在两个向量一复数与之对应,但是满足下述条件:的内积,称为内积空间。假如是实的线性空间,则条件3就改为从内积的定义,立刻可以得到下边的方程为复数其中是内积空间,令这么上的范数。事实上,由内积定义(2)式,不难证明为了证明范数不方程,我们首先证明施瓦茨()不方程:引理1(不方程)按内积成为内积空间,则对中任意向量创立不方程线性相关时,不方程(4)中等号才创立。
证明:假如,易知对一切因此(4)式创立。若,则对每位复数,由内积条件1,有两侧除以,但是开方,即可得到要证的不方程线性相关,通过直接估算,易知(4)式中等号创立,反之,若(4)式中等号创立,假设线性相关。证毕。由不方程,立刻可知满足范数不方程。事实上所以。称由(3)式定义的范数为由内积导入的范数,所以内积空间是一种特殊的赋范空间。若按(3)式中范数完备,则称为空间。是由内积导入的范数,通过估算,不难证明对中任何两个向量,创立平行四边形公式它是平面上平行四边形公式在内积空间中的推广。反之可以证明,中任何向量,满足平行四边形公式(5)极化恒等式图片,这么一定可在中定义内积就是由内积导入的范数。因而,(5)式是内积空间中范数的特点性质。下边举一些内积空间的事例中任意向量,定义即为第七章第８节例４中当时所定义的范数,因而由第七章不成为内积空间．事实上,令,所以不满足平行四边形公式(5),这说明中范数不能由内积导入,因此不是内积空间。不成为内积空间。事实上,令所以为此不满足平行四边形公式,这就证明了不是内积空间。为内积空间,由(3)给出了上的范数,反之,通过直接估算可以证明,内积与范数之间组建如下不方程为实内积空间时,极化恒方程变为由不方程,立刻可知内积是两个变元的连续函数,即当收敛,故有界,所以当时,里面不方程右端趋向０,因本节小结理解内积空间和希尔伯特空间的概念,把握施瓦茨不方程与极化恒方程,并能熟练运用。作业教材P264习题1、２．
