1、辅助角公式()在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化为一个角的一个三角函数的方式，从而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学asin和把握这些题型的解答方式，班主任们总结出公式bcos=sin()或asinbcos=cos(),让中学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违，半个,让中学生掌握辅助学期不到，大部份中学生都忘了，班主任不得不重推一遍.到了初三一轮备考，再度忘记,班主任还得重推！本文致力通过辅助角公式的另一种自然的推论，彰显一种解决问题的过程与方式，减少中学生的记忆负担；同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方式,I0A物理好资源网(原物理ok网)

2、帮助中学生澄清一些认识；另外通过事例说明辅助角公式的灵活应用，优化解题过程与技巧；最后通过事例说明辅助公式在实际中的应用角与原生角的范围关系，以更好地把握和使用公式.一.教学中常见的的推论方式教学中常见的推论过程与方式如下1.引例例1求证：Vssin+cos=2sin(+)=2cos(6其证法是从右往左展开证明，也可以从左向右“凑”，使方程得到证明，并得出推论：可见，J3sin+cos可以化为一个角的三角函数方式.通常地,asin+bcos是否可以化为一个角的三角函数方式呢？2.辅助角公式的推论例2化asinbcos为一个角的一个三角函数的方式.解：asin+I0A物理好资源网(原物理ok网)

3、bcos=b2(a.i-+了cos),令?ab=cos,亠=sin70=bsin(+),(其中tan=b)a贝Uasin+bcos=b2(+cossin)精选文库ab令f=sin,1==cos,贝yb2cos(asin+bcos=b2(sinsin+coscos)=Ta2),(其中tan=a)b其中的大小可以由sin、cos的符号确定的象限极化恒等式三角公式，再由tan的值求I*出.或由tan=和(a,b)所在的象限来确定.a推论以后，是配套的例题和大量的练习.并且这些推论方式有两个问题：一是为何要令b,1==sinI0A物理好资源网(原物理ok网)

4、va易错！af二=cosva导,中学生难记易忘、?让中学生吃惊.二是这些“规定”式的推所以asin+bcos=Ab2+va2b2sincos3=n()来得更自然?这是我多少年来始终思索的问题.=r,r=,由三角函数的定义知bcos早已是一个角的一个三角二.让辅助角公式asinbcos能够让让辅助角公式来得更自然些年春.我又一次代2008级中学生时,总算想出一种与三角函数的定义衔接又浅显易懂的教学推论方式.首先要说明，若a=0或b=0时，asin函数的方式，无需通分.故有abM0.1.在平面直角座标系中，以a为横坐标,b为纵座标I0A物理好资源网(原物理ok网)

5、描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角，它的终边经过点P.设bsin=racos=r).(其中tan=)a精选文库asin+bcos=Ja2b252.若在平面直角座标系中，以b为rJa2+bcos二b2COSb2cos().(其中tana=-)b例3化为一个角的一个三角函数的方式.解：在座标系中描点p(43,1),设角的终边过点P,则0P=r=J庞12=2.sin1=,=+2sincos=2sin().tan2k，二亦sin6经I0A物理好资源网(原物理ok网)

6、过多次的运用，朋友们可以在班主任的指导下cos=2sin(asin+bcos=Ja2b2-).6,总结出辅助角公式+)=Va2b2sin(),(其中tanb).或则asinb+)=Ja2b2cos(),(其中tan=b)精选文库7我想这样的推论，中学生理解上去会容易得多，并且也更容易理解b+j=22aasin+bcos凑成寸ab（,=sinb2及为何只有两种方式的结果.J3cos为一个角的一个三角函数的方式.）的道理,以sin例4化占八、（1，-员）在第四灵限.OP=2.设角cos足I0A物理好资源网(原物理ok网)

7、条件的最点.则n((2k,k/3cos)2sin(2((-灵,1)在cos2k,k/3cos2(1sin2)2cos(-65)2()2sin(I,OP=2,cos).cossin)三.关于辅助角的范围问题由asinb2sin（边过点P（a,b）的角可能有四种情况（第一象限、设满足条件的最小正角为1,则2((）中，点第二象限、)asinb2sin().P（a,b）的位置可知第三象限、第四灵限）.2k.由诱导公式（一）知)Tab2sI0A物理好资源网(原物理ok网)

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8、in(J.其精选文库13中1(0,2),tan的具体位置由sin1与cos1决定，的大小由tan1类似地,(),的终边过点P(b.a),设满足条件的最小正角为2，则22k.由诱导公式有asinb2cos(2)，其中2(0,2),tan2的位置由sin2和cos2确定,2的大小a由tan2b确定注意：通常地,2:之后没有非常说明时，角1(或2)是所求的辅助角.四.关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要目的是通分三角函数式.在实际中结果是化为余弦还是化为正弦要具体问题具体剖析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为aI0A物理好资源网(原物理ok网)

9、sin(1)2)的方式.可以借助两角和与差的正、bcosasin正弦公式灵活处理.例5化下述三角函数式为一个角的一个三角函数的方式.(1)73；(2)Zn(解：(1)cos-cos)22(sin)62sin(6)(2)在本例第（1）1），而取的是点P们可以取卩（a,sin()63721?匕sin(；7323近sin(-3372/2sin(33小题中极化恒等式三角公式，a晶()yc叫)73)亍0s()cocos(（J3,1）.也就是说,)sin31，我们并没有取点P（73,-当a、b中起码有一I0A物理好资源网(原物理ok网)

10、个是负值时.我b）,或则p（b,a）.这样确定的角（或2）是锐角,就愈加便捷.例6已知向量rra(cos(x),1),b3(cos(x3），1），2的最大值及相应的xrrc(sin(x),0)，求函数h(x)=a3的值.解：h(x)cos2(x)sin(x,21cos(2x-(2x)234242,cos(2x22cos(2x12-sin(2x)232yf2-)sin(2x32|)2h(x)max211)这时2x2k,xk.kZ.1224,并且涉及辅角的范围，在相应此处，若转化为两角和与差的余弦公式I0A物理好资源网(原物理ok网)

11、不仅麻繁，并且易错,请读者一试.五.与辅助角有关的应用题与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见范围内求三角函数的最值常常是个难点.例7如图3,记扇OAB的中心角为45,直径为1,圆形PQMr内接于这个扇形,求圆形的对角线I的最小值.解：联结0M,设/AOM=.则MQsin,OQ=cos,OP=PN：sinPQ=OQ-图3l2=sin2(cossin)21(sin2cos2)2fsin(21),其中tan1(0,),n.2n221arctan.逅I.imin2所以当111时,方形的对角线I的最小值为222I0A物理好资源网(原物理ok网)