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[!--downpath--]极化恒方程速解一类平面向量问题极化恒方程是学院物理基础课程《泛函剖析》（）中的知识，经过简单的变型就可转化为如下平面向量基本关系式，对于向量a,b，通过恒等变型可得DCab2O1ab(ab)2，再经过几何延展，如图所示，对于平422行四边形ABCD，满足AB，这样极化恒方程就AB将平面向量的数目积（亦称为点积）关系转化为了两个平面向量的厚度关系，使不可测度的向量数目积关系转化为可测度、可估算的数目关系，其意义不同凡响．若能依靠于极化恒方程那就可以速解一类有关平面向量数目积的问题，下边分四类例析：一．数目积与线性问题例1．（2014上海市摸拟试卷）已知向量a,b满足2a3b1，则ab最大值为剖析：此题主要是通过给出平面向量的线性条件，来求解平面向量数目积的最大值，问题设置简约漂亮，但考生化解破费脑劲，缘由是此题突破的思路看似好多，但走上去都要费一翻工夫，之后若能利用于平面向量的极化恒方程，那破解上去堪称事半功倍．解析1：（多项式构造法）构造多项式2(2a3b)224ab2a3b则ab(2a3b)2(2a3b)21(2a3b)21，当且仅当2a3b，且a1时，上式等号创立．解法2：（不方程法）对于条件2a3b1，则有1，又因b，则12ab112ab，3b0，则有4a2因而ab最大值为124解法3：（极化恒方程法）设2aOA，3bOB，取AB的中点为M，B1OAB，因BOA可以变化，当BOA趋于于0度时，MBOM，对于M211-01，趋于于0，而OM2a3b22，则OAOBOM－因而ab最大值为124点评：破解这种问题，因涉及的路径入口较多，技巧也是层出不穷．构造法和不方程法在破解时虽也是简约明了，但由于要想到这类方式的突破口较为困难，对好多中学生而言，理解尚可，把握就较为困难了；而若能利用于极化恒方程，只要能画出线性图形，结合几何意义，问题的突破就有一种水到渠成的快感．二．数目积与三角形问题例2．（2013山东，7）设ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B1AB，且对于边AB上任一点P，4恒有PBPCPBPC，则（）00A．B．C．ABACD．ACBC剖析：此题若采用普通的方式，只能通过一个一个的检验，对不满足条件的情况进行排除，对满足条件的情况进行论证；而若能采用极化恒方程进行突破，结合三角形的特征，就可将问题转化为点到直线的距离最小问题，使复杂多变的几何问题显得单一和直观，破解效率其实大大提升解析：（函数法）选项A,B,C均可通过特殊值排除，而对于ACBC的情况，ABC为等边三角形，C点P0是斜边的四分之一点，如图所示，P0B1AB，4P0BPC0为PBPC的最小值，不妨作CMAB，∴AMMB；不妨设AB4,BPx,MP0P0B1，MPx2,根据向量数量积的定义，∴PBPC(x2)xx22x(x1)211，当x1时极化恒等式几何形式，即P在P0处时，P0BPC0为PBPC的最小A值，因而有P0B0cP0oCs0P因而满足条件PBPCP0BPC0．宜选D解析：（利用于极化恒方程）如图所示，设D为BC的22中点，由极化恒等式得PBPCPDBD，PBPC2222PDBD，则由PBPCPBPC，00000即PD2P0D2，得PDP0D，故P0DAB，所以有ACBC，宜选D点评：在三角形问题中运用极化恒方程，可使复杂问题简单化，综合问题单一化，具象问题具体化，更易于考生化解和突破三、数量积与圆问题A例3．已知过点A0,1，且斜率为k的直线l与圆C：22(y3)21相交于M,N两点．AMAN的值．剖析：这类向量点积问题若采用普通方式也可以化解，将要平面向量问题座标化突破求解，但是若能结合极化恒方程点积值的求解可事半功倍，运算速率可用急速形容．yMNG解析：（普通方式）设直线l与圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2)，则AM(x1,y11),AN(x2,y21)，由直线yk1x与圆22x2y(3)联立得2x24(1k)x70，因而有,x1x24(1k)，y1，(x1x2)，因而可得y2(y1y2)11k2712k21解析：（利用于极化恒方程）y如图所示，取MN的中点为G，则CGMN，N2222MG由极化恒方程可得AM(MCCG)点评：采用普通方式运算向量点积值的估算求解运算量大，也容易出错，若能结合极化恒方程能够化繁为简，数形结合疗效好．四．数目积与圆柱曲线问题例4．（2014年苏州市期终试卷）已知A,B为双曲线x2y21上经过原点的一条动弦，M为圆C：164x2(y2)21上的一个动点极化恒等式几何形式，则MAMB的最大值为（）A．15B．9C．7D．6剖析：圆柱曲线中的向量关系的运算求解若采用普通的方式通常就是运用座标法结合韦达定律进行运算求解，此法运算量大，须要考生有扎实的运算功力，若能采用极化恒方程，结合图形，那运算就直观、简捷高效．解析：（普通方式）设Mx,y，满足x02(y02)21；00设Ax1,y1,B(x1,y1)，满足2MA(x1x0,y1y0)，MB(x1x0,y1y0)，)AO因而MAMB(x1y11(y02)[x1(1)4]14y0x1，164因而MAMB的最大值为14474解析：（利用于极化恒方程）如图所示，O为A,B的中点，yMAMB2222C2由极化恒方程可得MOOA，M21)而MOmax(29，OAmin，，宜选C因而MAMB的最大值为MOmaxOAmin点评：极化恒方程的运用，在圆柱曲线中若能结合其规律特征那运用疗效是十分不错的，既作为工具的极化恒等的应用之美，也彰显了物理的几何之美．注：此文发表于《中学语文教学参考》2014年第12期，并在2015年《人大报刊打印资料》转载
