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贡献者：FFjet;addis
预备知识电路
1.定理阐明
定律1基尔霍夫电压定理
基尔霍夫电压定理又称为基尔霍夫第一定理，规定在电路中所有步入某节点的电压的总和等于所有离开这节点的电压的总和。或则说，假定步入某节点的电压为正值，离开这节点的电压为负值，则所有涉及这节点的电压的代数和等于零。以方程式抒发基尔霍夫定律怎么计算电流，对于电路的任意节点，有
begin{}sum_{k=1}^nI_k=0~.end{}
其中，$I_k$是第$k$个步入或离开这节点的电压，是流过与这节点相联接的第$k$个环路的电压，可以是实数或复数。
证明
考虑电路的某节点，跟这节点相联接有$n$个环路。假定步入这节点的电压为正值，离开这节点的电压为负值，则这节点的总电压$I$等于流过大道$k$的电压$I_k$的代数和：
begin{}I=sum_{k=1}^nI_k~.end{}
将这方程式对某段时间$[t_1,t_2]$内积分，可以得到这段时间该节点电荷的降低
begin{}q=sum_{k=1}^nq_k~.end{}
其中$q=int_{t_1}^{t_2}I(t),{d}{t}$，$q_k=int_{t_1}^{t_2}I_k(t),{d}{t}$是流过大道$k$的电荷。
若$q>0$，则说明有正电荷会累积于该节点，$q<0$表示负电荷会累积于节点。在讨论电路时，我们通常假定任意一点不存在净电荷，所以$q$和$I$都恒为零。
例1
图1：列节点多项式
各大道电压常常是未知量，它们的方向事先并不晓得。这时，可以先给每位大道电压假定一个方向，并根据这一方向列举多项式。求解多项式后，假如求得某大道电压的数值为正，则该电压的实际方向与假定方向相同，否则相反。这个假定的电压方向称作电压的正方向。给每一支路电压假定一个正方向然后，就可用代数目描写每条环路的电压，代数目的绝对值反映电压的大小，代数目的正负则反映电压的实际方向。正方向一经选取，节点多项式节点多项式的方式（等号左右两侧应写什么电压）就完全确定。诸如，为列举中节点$A$的等式，可任意地选取与$A$有关的三个环路电压的正方向如图箭头所示，因而写出如下的节点多项式：
begin{}I_1+I_3-I_2=0~.end{}
电路中有$n$个节点的时侯，一共有$n-1$个节点多项式是独立的。这$n-1$个独立多项式构成基尔霍夫第一方程组。将它们与基尔霍夫第二等式组联立后，可以按照已知电动势及内阻求得每一支路的电压。
定律2基尔霍夫电流定理
基尔霍夫电流定理又称为基尔霍夫第二定理，表明顺着闭合回路所有器件两端的电势差（电流）的代数和等于零。或则，换句话说，顺着闭合回路的所有电动势的代数和等于所有电压降的代数和。以方程式抒发，对于电路的任意闭合回路，
begin{}sum_{k=1}^mU_k=0~.end{}
其中，$m$是此闭合回路的器件数量，$U_k$是器件两端的电流，可以是实数或复数。
证明
按照电势差的定义（）
begin{}U_{21}=V({{r}}_2)-V({{r}}_1)=-int_{{{r}}_1}^{{{r}}_2}{{E}}_0({{r}})\cdot,{d}{{{r}}}~.end{}
假如令路径起点为${{r}}_1$，终点为${{r}}_N$，中途有若干点${{r}}_2,dots,{{r}}_{N-1}$。这么有可以将路径积分界定为若干段，总电势差等与每段电势差之和
begin{}U_{N1}=U_{21}+U_{32}+dots+U_{N,N-1}~,end{}
其中$U_{j,I}=-int_{{{r}}_i}^{{{r}}_{j}}{{E}}_0({{r}})\cdot,{d}{{{r}}}$。假如取一个支路作为积分路径，起点终点相接，电势差为零。即${{r}}_1={{r}}_N$，$U_{N1}=0$。立刻可得。证毕。
例2
图2：复杂电路中的一个回路
据，由基尔霍夫电流定理可知，
begin{}U_{ML}+U_{NM}+U_{ON}+U_{PO}+U_{LP}=0~.end{}
构想有一个观察者从$L$点出发沿图中方形箭头所示的方向绕行回路一周回到$L$点，他沿途见到电势有时下降有时增加，并且升、降的总数相等。由图看出，电势从$L$到$M$下降了数值$E_1$，从$M$到$N$增加了数值$$，依次类推，于是可以表示为
begin{}{E}_{1}-I_{1}R_{1}-{E}_{2}-I_{2}R_{2}+I_{3}R_{3}=0~.end{}
由以上讨论不难看中每项后面的正、负号应由以下规则确定：任意选取一个绕行回路的方向（称作绕行方向），当绕行方向从正极步入电源时（如$E_1$），其电动势前写$+$号，否则写$-$号（如$$）；当绕行方向与内阻的电压正方向相同时（如$R_1$和$R_3$），该内阻的$IR$项前写$-$号，否则写$+$号（如$R_2$）。再度指出电压可正可负，正电压表示与正方向形同，负电压则相反，所以$IR$也可正可负。
一个电路可以包含许多回路，但它们的等式并非都是独立的。如右图电路所示：$$、$$及$$。
图3：独立回路
前两个回路的等式似乎独立，由于每位回路都包含一条另一回路所不包含的环路。但第三个回路的多项式就不独立，它可由前两个等式推出。电路中所有独立的回路多项式构成基尔霍夫第二等式组。为了列举独立的回路等式，可以选择这样的回路，其中每位起码包含一条其他回路所不包含的支路。一个完整电路的环路数$b$、节点数$n$和独立回路数$m$之间的关系为
begin{}b=m+n-1~.end{}
假如全部电动势及内阻皆已知，则电路共有$b$个未知的大道电压。另一方面，由前述可知，这个电路必有$n-1$个独立的节点多项式及$m$个独立的回路多项式，即共有$m+n-1$个独立多项式，恰与未知量个数$b$相等，因而可惟一地解出各大道电压。其实，除东路电压外，电动势或内阻也可作为未知量，只要未知量个数为$b$，同样可以求解。可见基尔霍夫等式组原则上可以解决一切线性直流电路的估算问题。
当电动势是待求量并且连电源的极性也未知时，可以任意地给电动势选取一个正方向（即假定一对正、负极，电动势的正方向是指从假定的正极到负极的方向），并把电动势作为代数目列举基氏第二多项式，等式中$E$前的$+$、$-$号应按照绕行方向是否步入假定的正极来决定。求解后，假如$E>0$，则实际极性与假定极性相同，否则相反。
2.定理应用
首先，按照上节所述，可以总结出用基尔霍夫等式组解题的步骤如下：
任意选取各大道电压的正方向；数出节点数$n$，任取其中$n-1$个写出$n-1$个节点多项式；数出西路数$b$，选取$m=b-n+1$个独立回路，任意指定每位回路的绕行方向，列举$m$个回路多项式；对所列的$(n-1)+(b-n+1)=b$个等式联立求解；按照所得电压值的正负判定各电压的实际方向。
下边来看几道具体的电路例题。
例3
中，已知${E}_{1}=32{V},{E}_{2}=24{V},R_{1}=5{Omega},R_{2}=6{Omega},R_{3}=54{Omega}$，求各大道的电压。
选取$I_1$、$I_2$、$I_3$的正方向如图实箭头所示，虚箭头则代表实际方向，待求解后方可确定。观察知，节点数$n=2$，所以只有一个节点多项式：
begin{}I_{3}-I_{1}-I_{2}=0~.end{}
又因大道数$b=3$，故独立回路数$m=b-n+1=2$.选图中$rmI$、$rmII$两个独立回路，约定其绕行方向如图方形箭头所示，列举回路多项式：
begin{}begin{}text{回路}{I}:&&{E}_{1}-I_{1}R_{1}+I_{2}R_{2}-{E}_{2}=0~,\text{回路}{II}:&&{E}_{2}-I_{2}R_{2}-I_{3}R_{3}=0~.end{}end{}
联立、，解得：
begin{}begin{cases}I_{1}=1{A}\I_{2}=-0.5{A}\I_{3}=0.5{A}end{cases}~.end{}
可见$I_1$、$I_3$的实际方向与假定的正方向相同基尔霍夫定律怎么计算电流，$I_2$的实际方向与正方向相反。三个电压的实际方向在图中用虚箭头标出。
例4桥式电路
已知中$R_{1}=50Omega$，$R_{2}=40Omega$，$R_{3}=15Omega$，$R_{4}=26Omega$，$R_{5}=10Omega$，求$A$、$B$之间的总内阻。
图4：桥式电路
构想在$A$、$B$之间接入端电流为$U$的无电阻电源使成完整的电路，用基尔霍夫等式组求出从$A$流进的电压$I$，则比值$U/I$便是$A$、$B$之间的总阻值。把惠斯通电桥中的$I_{G}$、$R_{G}$分别改为$I_5,R_5$，即可得出答案。求解可得$I=U/32Omega$，即$A$、$B$之间的总内阻为$32Omega$。
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