我系卢海舟院长课题组近来在非线性霍尔效应理论方面取得进展，在法国数学学会《物理评论快报》()发表文章，第一作者为博士后杜宗正博士，武汉学院谢心澄教授是合作者。她们也参与了日本麻省理工大学实验组的最新实验工作，早已在美国《自然》杂志在线刊载。
具有时间反演的非线性霍尔效应是一个全新的研究方向。本文将介绍哪些是非线性霍尔效应以及最新理论进展。
霍尔效应
我们在小学就学习过霍尔效应。在磁场中三维量子霍尔效应，电压I感遭到垂直于磁场和运动方向的洛伦兹力，发生偏转，并在两端产生电势差V，这一现象称为霍尔效应(如图1所示)。
图1霍尔效应。
霍尔效应仍然是汇聚态化学研究的一个主流方向。迄今为止，早已有4次诺贝尔化学学奖和霍尔效应有关(图2)，分别是1985年的量子霍尔效应，1998年的分数量子霍尔效应，2016年的拓扑物相和拓扑相变，2010年诺奖石墨烯的重要实验证据也是半整数量子霍尔效应。
图2和霍尔效应有关的诺贝尔化学学奖。
几何相位
霍尔效应最重要的意义在于对其来源的几何理解，对这个理解的推广形成了好多新数学。我们学习量子热学的时侯都学过几何相位。几何相位听上去名子很神秘。虽然我们视察博物馆的时侯常常会看到的傅科摆()就是几何相位的反例。傅科摆是根据美国化学学家莱昂•傅科的名子命名的，是证明月球自转的一种简单设备。这个实验的装置包括一个高大的、在任意垂直平面上振荡的单摆(图3上）。单摆摆动的方向会由于月球自转而改变(图3下左)，每晚改变的角度只和傅科摆所在的维度θ0有关，大小为360o(1-θ0)。这个角度可以证明恰好等于傅科摆每晚随月球自转走过的路径所覆盖的面积乘以月球直径的平方。球体上面积减去直径的平方就是空间角的定义。傅科摆三天变化的角度居然等于单摆随月球自转所覆盖的空间角，实在是神奇。这是几何相位在精典系统中最直观的反例。
图3上:上海天文馆的傅科摆.下左:圆环代表傅科摆随着月球自转一圈走过的路径。θ0是傅科摆所在的维度。圆环所覆盖的面积乘以月球直径的平方等于傅科摆每晚摆动方向改变的角度。下右:量子热学精典例题“电子载流子磁矩在绝热转动的外磁场B中积累的几何相位”
量子几何相位
1984年的时侯日本化学学家Berry撰写了一篇文章，阐述了量子热学系统中的几何相位问题。他的文章中举了一个反例，电子载流子磁矩在绝热转动的外磁场中积累的几何相位(图3下右)。载流子是电子携带的角动量。角动量是描述转动的一个数学量，简单地说，同一个物体旋转的快慢就是用角动量的大小来描述。带电的粒子，例如电子，自转的时侯会形成一个磁矩，如同环型电压形成磁场一样。假如再施加一个外磁场，电子的载流子磁矩会顺着磁场的方向极化。电动机就是类似的原理。简单地说，假如外加一个磁场，磁场转动的足够慢，电子的载流子会仍然跟随磁场的方向转动，但是会积累一个量子热学“相位”。
相位是描述波的概念。例如水面上的水波，我们可以用震动频度，震动幅度，和震动的相位来描述。量子热学主要就是把微观粒子用波来描述。Berry的文章强调，电子的载流子磁矩方向被磁场拉着转一圈之后会多出一个相位，大小为1/2个空间角，和傅科摆类似。非常是，这个相位可以用一个优美的面积分抒发下来(前方高能,物理较多)
其中,
就是转动的磁场在单位圆上划出的面积，
是面积微分元，被积分函数
被称为Berry曲率(Berry)，其定义为
其中，
是载流子顺着磁场方向的某个瞬时本征量子态(依据顺着或则反着磁场方向，也称载流子上或则载流子下)，
，
是关于磁场的三维矢量的微分算符。
霍尔效应的几何来源
讲了如此多，物理早已听到双眼发黑。这个几何相位和霍尔效应有哪些关系呢？由于，当不考虑无序的时侯，霍尔浊度的主要贡献可以写成类似的对Berry曲率的积分
其中e是电子电荷，h是普朗克常数，对N求和表示有多少能带被电子填充。等1982年发表文章发觉了这件事情[6]。她们发觉，当这个积分包裹整个球面的时侯(借助图3去想像下)，这个积分
给出的是1/2个球体的空间角,也就是
,这样霍尔浊度就量子化为
其中
被定义为量子浊度,n是个整数，由积分
描述，这个包裹球面的积分实际上是一个拓扑数，叫做拓扑陈数，“陈”代表知名物理家陈省(fú三声)身。这是拓扑这门语文和汇聚态化学学的一次优美的合作。
霍尔效应须要磁场。近来15年，Berry曲率相关的这套物理描述被推广到没有磁场的本征材料体系，造成了量子载流子霍尔效应的发觉，三维拓扑绝缘体的发觉，量子反常霍尔效应的发觉，拓扑半金属的发觉，以及整个拓扑数学学的宽广领域。现今拓扑数学学是汇聚态化学的一个主要的方向，研究汇聚态化学或多或少还会涉及到拓扑的问题。这种概念也被推广到光学和原子分子化学。
Berry曲率和弯曲空间
讲了那么多，以上只是想说明发觉Berry曲率
这件事情很重要。带电粒子在处于电磁场中的固体中运动时，Berry曲率描述了动量空间的弯曲。有点类似广义相对论在描述引力场的时侯使用时空弯曲的气味(图)。大约是说固体中的Berry曲率可以弯曲动量空间，所以电子可以走偏了，形成纵向的电流和霍尔效应。更重要的是，这些弯曲可以通过好多化学效应被检测，也对发展未来电子元件有指导意义。
图4:Berry曲率和广义相对论的时空弯曲的类比。
线性霍尔效应和非线性霍尔效应
绕了如此大圈，总算快要步入明天这篇文章的主题。目前，我们所晓得的霍尔效应都是线性的(图5)。
图5各类线性霍尔效应.上：霍尔效应，载流子霍尔效应，反常霍尔效应。中：量子霍尔效应，量子载流子霍尔效应，量子反常霍尔效应。下:三维量子霍尔效应。
线性霍尔效应检测方式是，在横向施加一个电压，纵向检测电流，为了混频消除噪音，实验就会使用锁相放大器(Lock-in),意思就是说横向电压根据一个很慢的频度振荡，例如15赫兹，同时检测纵向电流的时侯只把15赫兹的讯号挑下来，这样无关的噪声就被过滤掉。非线性霍尔效应的一种检测方式是选购2外频率检测纵向电流，例如30赫兹(图6)。
图6非线性霍尔效应的检测。
对称性剖析
哪些时侯可以检测到非线性霍尔效应呢？我们又须要一点数学和对称性剖析了。
上面我们说过三维量子霍尔效应，霍尔效应是Berry曲率的积分。Berry曲率有两个对称性性质。一是在时间反演下变号，二是在空间反演下不变号。线性霍尔效应是Berry曲率的积分，假如有时间反演，积分的时侯正动量和负动量的部份会抵消。所以必须破缺时间反演能够观测到霍尔浊度，例如加磁场或则参杂磁性杂质(因而非磁性无磁场的载流子霍尔效应很难被观测到)。
不同于线性霍尔效应，麻省理工大学的和付亮以及Low发觉非线性霍尔效应反比于一个被叫做Berry曲率偶极子的量(简称Berry)
它有两种等价的抒发形式，一种是在费米面上的群速率除以Berry曲率(第一个等号)，另外一种是对费米面下所有Berry曲率的一阶行列式求和(第二个等号)。第二个等号告诉我们，非线性霍尔效应是Berry曲率的高阶效应，所以是新数学，特别特别重要。
第一个等号可以帮我们剖析哪些时侯可以观测到非线性霍尔效应(图7)。
首先，在时间反演下，速率和Berry曲率都反号，因而速率和Berry曲率的乘积不反号，这样我们在有时间反演的时侯可以也有可能观测到非线性霍尔效应，这和线性霍尔效应须要破缺时间反演很不同。
其次，在空间反演下，速率反号，Berry曲率不反号，这样速率和Berry曲率的乘积反号，积分的时侯正动量和负动量的部份会抵消。假如想观察到非线性霍尔效应，必须破缺空间反演。
图7对称性剖析.非线性霍尔效应在时间反演破缺时也可能存在.非线性霍尔效应须要破缺空间反演.
实验进展
总结一下，线性霍尔效应须要破缺时间反演能够观测到；非线性霍尔效应须要破缺空间反演能够被观察到。
近来有多个实验小组报导了具有时间反演的非线性霍尔效应的观测结果，包括MIT的Pablo组和Gedik组的单层WTe2实验(并列一作为马琼，徐苏扬，沈汇涛)，的Mak&fú实验组的多层WTe2实验等。
名星材料WTe2
等一下，又是WTe2？近来这个材料是挺火的，其二维块材是第二类的Weyl半金属,双层可能会有低温的量子载流子霍尔效应或则超导,多层的时侯有铁电性.
非线性霍尔效应的理论进展
北方科技学院卢海舟课题组和上海学院谢心澄院士也发表了相关理论121,(2018)[1]。这篇文章中她们回答了一个实验关心的问题，哪些样的能带特点可以对应强非线性霍尔讯号？她们发觉可以用二维狄拉克模型描述的倾斜的能带反交叉点或则拓扑反带的位置就会带来比较强的非线性霍尔讯号。据悉，她们的理论还和的实验的角度依赖关系进行了对比。
无序贡献的非线性霍尔效应
这些新奇的非线性霍尔效应的研究才刚才开始。实验和理论研究证明无序是反常霍尔效应主要来源。非线性霍尔效应从第一阶就强烈依赖无序，高阶效应更是Berry曲率和无序纷繁复杂作用的结果，无序对非线性霍尔效应的贡献将是一个重要的题目。
论文链接：
