牛顿发现二项式定理的故事有很多，以下列举几个：
1. 在牛顿之前，一些数学家已经发现了二项式定理，但是他们并没有用理论证明它。牛顿在研究级数和差分时，发现了这个定理。他通过观察和推导，得出了二项式定理的公式。
2. 牛顿在研究如何利用无穷级数计算幂的时候，发现了二项式定理。他观察到，任何连续的二次方运算（如加、减、乘、除）都可以表示为一个多项式和某个变量的乘积之和。这个变量通常被称为“无穷级数”的“余项”。
3. 一天傍晚，牛顿一边散步一边思考如何计算幂的问题。他突然想到可以用正整数乘以一个固定的常数来表示这个结果。这个想法让他得到了二项式定理的一般形式，即多项式可以表示为两个因式乘积的和。
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牛顿发现二项式定理的故事：
有一天，牛顿正在思考问题，走到苹果树下，看见一个苹果落在地上。他觉得苹果从树上掉下来，是因为地球对苹果有吸引力。同时，他观察到当苹果的树枝是水平方向时，苹果并没有从树枝上掉下来。这使他想到，苹果树在生长时受到地球引力影响，而苹果也受到树枝的牵制作用，所以苹果只在树枝下生长。
在思考这个问题时，牛顿突然想到一个数学问题：如果有一个物体A和一个物体B互相吸引，那么物体A在物体B的引力作用下，将如何运动呢？他随即用数学方法进行研究。他发现，如果物体A和物体B之间的引力是恒定的，而且物体A有一定的初速度，那么物体A将在物体B的引力作用下做匀速直线运动。
在这个过程中，牛顿又联想到了另一个数学问题：如果有一个物体在两个互相垂直的方向上受到两个大小相等、方向相反的力作用，那么这个物体将如何运动呢？他又用数学方法进行研究，并发现这个物体将在两个力的合力作用下做匀加速直线运动。
这两个数学问题的解决方法，使牛顿意识到这可能是个重要的数学定理。于是他开始用数学公式进行推导证明，最终得出了著名的二项式定理。
例题：假设有一个边长为a的正方形，其中一边受到一个大小为F、方向沿该边向内的力作用，另一边受到一个大小也为F、方向沿该边向外的力作用。这两个力是恒定的，大小相等、方向相反。那么这个正方形将会如何运动呢？
根据牛顿的二项式定理，正方形将会做匀加速直线运动。我们可以使用牛顿第二定律来求解这个问题：F=ma，其中F是作用在正方形上的力，m是正方形的质量（即正方形的边长），a是正方形运动的加速度。由于两个力都是恒定的，所以正方形将会做匀加速直线运动。
