1.基本概念
1. 任意角度
（1）角的概念：角是射线在平面内绕其端点旋转所形成的图形。
（2）角的表示：（角的要素有：顶点、始边、终边）
顶点：射线 O 的端点
起始边：射线OA的起始位置
终边：射线的终点位置 OB
（3）角度的分类：
① 零角度：当射线不旋转时，起始边与终止边在同一直线上，且彼此之间没有角度，即角度为0度。
② 正角：射线逆时针旋转所形成的角度。
③负角：射线按顺时针方向旋转所形成的角。
（4）端边相同的角：
一般把两个角的终边落在同一条射线上称为同终边角。设任意两个角分别为α和α'，则α=α'+360°K，K∈Z。
2. 角度制和弧度制
（1）角度系统：
① 圆周的1/360称为1度
② 1度的1/60为1分，1分的1/60为1秒。度、分、秒的符号分别为“°”、“”、” 。
（2）弧度：
① 长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
②设半径为r的圆的圆心角α所对应的圆弧长为L，则角α的弧度为|α|=L/r。
（3）弧度与角度的换算公式：
①1°=W/180弧度
②1弧度=（180/W）°≈57.3°
3.弧长公式与扇形面积公式（α以度为单位，|α|以弧度为单位）
（1）弧长公式：
① 角度系统：L = α × π × r / 180°
② 弧度：L = |α| × r
（2）扇形面积公式：
① 角度系统：S = α × π × r^2/360°
② 弧度：S = 1/2 × L × r = 1/2 × |α| × r^2
（证明省略，请参考初中数学中的圆）
4.象限角
(1)概念：如果一个角的终边不通过坐标轴（即落在坐标轴之间），这个角称为象限角。
（2）分类：（k∈Z）
①第一象限：0°+k×360°＜α＜90°+k×360°
②第二象限：90°+k×360°＜α＜180°+k×360°
③第三象限：180°+k×360°＜α＜270°+k×360°
④第四象限：270°+k×360°＜α＜360°+k×360°
5. 边界角
（1）极限角的概念：如果一个角的终边落在坐标轴上，则这个角称为极限角。
（2）边界角的分类：（k∈Z）
①X轴正半轴：α=0°+k×360°
②X轴负半轴：α=180°+k×360°
③ y轴正半轴：α=90°+k×360°
④ y轴负半轴：α=270°+k×360°
总结一下：
①x轴：α=K×180°，K∈Z。当K为偶数时，α位于非负半轴上；当K为奇数时，α位于非正半轴上。
②y轴：α=90°+K×180°，K∈Z。当K为偶数时，α位于非负半轴上；当K为奇数时，α位于非正半轴上。
总结：x,y轴：α=K×90°，K∈Z。当K为偶数时，α在x轴上；当K为奇数时，α在y轴上。
2. 任意角的三角函数
1.三角函数的定义
设平面直角坐标系中任意角α为顶点与原点重合、始边与x轴正方向重合，P(xy)为角α终边上的任意一点，该点到原点的距离为r（r=√x^2+y^2 >0）高中物理 三角函数，则sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=sinα/cosα=y/x（x≠0）网校头条，cotα=cosα/sinα=1/tanα=x/y（y≠0）分别称为角α的正弦、余弦、正切和余切。
特殊角的三角函数值如下：
2. 单位圆
半径为1的圆称为单位圆，如图：
假设单位圆的圆心与坐标系原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为A(1,0)和A'(-1,0)，与y轴的交点分别为B(0,1)和B'(0,-1)。
设角α的顶点为圆O的圆心，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点P与x轴垂直于点M作PM。则根据三角函数定义，
点P的坐标为（cosα，sinα），即α的终边与单位圆的交点P的横坐标x等于cosα=x/r，纵坐标y等于sinα=y/r。
3. 等角三角函数的基本关系及推导公式
1. 同角三角函数
证明省略：可以根据三角函数的定义。
2. 归纳公式
(1) α+2K(K∈Z)的导出公式：
①cos(α+2K)=cosα
②sin(α+2K)=sinα
③tan(α+2K)=tanα
（2）-α诱导公式：
①cos(-α)=cosα
②sin(-α)=-sinα
③tan(-α)=-tanα
证明：如图所示，若α的终边在第一象限，且与单位圆相交于点P，并画出终边关于x轴的对称边，与单位圆O相交于点P'，则P'(cos(-α),sin(-α))。
因此，cos(-α)=cosα，sin(-α)=-sinα，tan(-α)=-tanα。
类似地，任何非 x 轴角的终边和其对角的终边必定关于 x 轴对称。当 α 的终边在 x 轴上时，公式成立。因此，cos(-α)=cosα，sin(-α)=-sinα，tan(-α)=-tanα（当 α 在 y 轴上时，该值不存在）。
(3) α±α的导出公式：
①cos(α+α)=-cosα
②sin(α+α)=-sinα
③tan(α+π)=tanα
证明：若α的终边在第一象限，延长终边的起点与单位圆交于P''，则P''（过圆心的直线为直径，是P关于圆心的对称点），直线PP''的角为平角，因此优弧AOP''的圆心角为α+兀。
因此，cos(α+π)=-cosα，sin(α+π)=-sinα，tan(α+π)=tanα
同理，任何角α的终边和角α+π的终边都必须关于原点对称。
因此，cos(α+兀)=-cosα，sin(α+兀)=-sinα，tan(α+兀)=tanα（当α在y轴上时该值不存在）。
④cos(α)=-cosα
⑤sin(W-α)=sinα
⑥tan(α)=-tanα
证明：若α的终边在第一象限，则延长角-α的终边与单位圆O相交于P'''。因OP'是角-α的终边，故OP'''也是角-α的终边，且P'''(-cos(-α), -sin(-α))=(-cosα, sinα)。
类似地，任何非 y 轴角 α 的终边和角 -α 的终边必定关于 y 轴对称。当 α 的终边在 y 轴上时，tanα 不存在。
因此，cos(W-α)=-cosα，sin(W-α)=sinα，tan(W-α)=-tanα（当α在y轴上时该值不存在）
(4) α/2±α的诱导公式：
证明：（1）设α的终边在第一象限，且与单位圆相交于P点，设P点坐标为（x，y），OP=r，在Rt△POM中，OP=r，OM=x，PM=y，∠α+∠OPM=90°，cosα=sin∠OPM=x/r，sinα=cos∠OPM=y/r。故sin（π/2-α）=cosα，cos（π/2-α）=sinα，tan（π/2-α）=1/tanα。 由此可以推出：sin(π/2+α)=-sin(-π/2-α)=sin(π/2-α)=sin(π/2-α)=cosα、cos(π/2+α)=cos(-π/2-α)=-cos(π/2-α)=-cos(π/2-α)=-sinα、tan(π/2+α)=-1/tanα。
（2） （思路：作两个角，它们的终边在第一象限，角和为 兀/2）若α的终边在第二象限，则 兀-α的终边在第一象限；α- 兀/2的终边也在第一象限。
因此，sin(π-α)=cos(α-π/2)，sin(α-π/2)=cos(π-α)，经过化简整理，可得sin(π/2-α)=cosα，cos(π/2-α)=sinα，tan(π/2-α)=1/tanα，sin(π/2+α)=cosα，cos(π/2+α)=-sinα，tan(π/2+α)=- 1/tanα。
（3）同样，如果 α 的端边在第三象限，则构造角 α-W 和 W+W/2-α 将得到相同的结果。
（4）如果 α 的终边在第四象限，则构造角 π/2+α-2π 和 2π-α，它们的结果相同。
（5）若α的终边在边界上，则该公式也满足。
4. 三角函数的和、差、倍数和半数公式
证明1：如图所示，设在单位圆O内，向量OP与向量OQ是两个起点相同、位于第一象限的向量，它们与x轴正半轴的夹角分别为α和α'（变了）高中物理 三角函数，P=（cosα，sinα），Q=（cosα'，sinα'），故有向量OP=（cosα，sinα），向量OQ=（cosα'，sinα'），且|向量OP|=|向量OQ|=1，两向量间的夹角为α-α'。
根据矢量角公式，cos(α-α') = 矢量 OP × 矢量 OQ/(|矢量 OP| × |矢量 OQ|) = cosαcosα' + sinαsinα'，因此，cos(α+α') = cos【α-(-α'）】 = cosαcosα' - sinαsinα'。
根据推导公式，可以得到任意角度两角度之和与差的余弦公式。
证明2：根据导出公式 - sin[兀/2-(α+α')]=cos(α+α')，可以推出，对于任何角度都是如此。
证明3：同一角度的三角函数关系——tanα=sinα/cosα(cosα≠0)，可以简化并重新排列得到结果。
证明4：使用公式1和2。
证明5：如图。
5. 正弦、余弦、正切（类型）函数
1.周期：一般地，如果函数y=f(x)的定义域为D，存在一个非零常数T，当x在定义域内取任意值时，且x+T∈D，有f(x)=f(x+T)，则称函数y=f(x)为周期函数，常数T称为该函数的周期。如果三角函数的周期中存在一个最小正数，则称这个正数为该三角函数的最小正周期，或简称为周期。
2.正弦函数
（1）表达式：正弦函数的表达式为y=sinx(x∈R)。
（2）图形：通过大量的实际计算和测量，我们得出结论：正弦函数的图形可以用在特殊点处连线来构造，而每条连线都是一条光滑的曲线。这称为五点构造法（五点法）。
因此，通过用平滑曲线连接正弦函数的特殊点，我们得到下图。
（3）性质：
领域：R
范围：[-1, 1]
最大值：当x=π/2+2Kπ(K∈Z)时，y(max)=1；当x=3π/2+2Kπ(K∈Z)时，y(min)=-1。
周期性：正弦函数的周期为 2
奇偶性：奇函数 [f(-x)=-f(x)]
单调性：由图可知，当x∈[-π/2+2Kπ,π/2+2Kπ](K∈Z)时，该函数为增函数；当x∈[π/2+2Kπ,3π/2+2Kπ](K∈Z)时，该函数为减函数。
对称性：对称中心：函数图形与x轴（K∈Z）的交点，对称轴的方程：x=K∈Z++K∈Z/2(K∈Z)，（必须经过最大值，即在y轴上）
3.余弦函数
（1）表达式：余弦函数的表达式为y=cosx(x∈R)。
根据导出的公式，将正弦函数像向左平移1/2个单位即可得到余弦函数像。
（2）图像：
（3）性质：
领域：R
范围：[-1, 1]
最大值：当x=2K兀(K∈Z)时，y(max)=1； 当x=兀+2K兀(K∈Z)时，y(min)=-1。
周期性：余弦函数的周期为 2
奇偶性：偶函数 [f(-x)=f(x)]
单调性：由图可知，当x∈[-π+2Kπ,2Kπ](K∈Z)时，该函数为增函数；当x∈[2Kπ,π+2Kπ](K∈Z)时，该函数为减函数。
对称性：对称中心：函数图形与x轴（K∈Z+K∈Z/2,0）的交点（K∈Z），对称轴的方程：x=K∈Z（K∈Z）（必须经过最大值，即在x轴上）
4. 正切函数
（1）表达式：正切函数的表达式为y=tanx[x≠K∈Z+K∈Z/2(K∈Z)]
（2）图像：
（3）性质：
定义域：x≠K+Z/2(K∈Z)
范围：R
最大值：无最大值
循环：
奇偶性：奇函数 [f(-x)=-f(x)]
单调性：从图中我们可以看出，该函数在（-π/2+Kπ,π/2+Kπ）（K∈Z）上是增函数，并且没有递减区间。
对称性：对称中心：函数与 x 轴的交点（K∈Z），无对称轴
5.正弦函数
（1）概念：一般来说，形式为y=Asin（wx+u）+c（A、w、u、c为常数，且A、w≠0）的函数称为正弦函数，其定义域为R，值域为[-A,A]。
（2）周期：（与A、c无关，但与wx+u有关）
由于正弦函数的周期为 2，
设wx+u=t，y=f(x)=Asint+c(A,t≠0)，函数y的周期为2。
y=f(x)=Asint+c=Asin(t+2π)+c=Asin(wx+u+2π)+c=Asin【(2π/w+x) w+u】+c=f(x+2π/w)。由于三角函数的周期为正数，所以周期为：T=2π/|w|。
同样的，余弦函数的周期公式与上面相同，而正切函数的周期公式为T=兀/|w|。
（3）图像（正弦曲线）：
采用五点法构造图形。将wx+u视为x，然后求出x的值，依次画出各个点，然后用平滑曲线将它们连接起来。（图略）
（4）图像平移和缩放：
平移：不改变函数图形和大小，只改变图形的位置。
上下平移：将函数图形上下移动，横轴不变，只增加函数值。 上加下减：若函数y向上平移k（k>0）个单位，则y+k；若函数y向下平移k个单位，则yk。
左右平移：横坐标发生变化，但是函数值不变。
左加右减：若函数y向左平移k个单位，则y=Asin(wx+kw+u)+c(A,w≠0)；若函数y向右平移k个单位，则y=Asin(wx-kw+u)+c(A,w≠0)
缩放：扩大或缩小水平轴和垂直轴。
若横坐标不变，纵坐标放大k倍或缩小1/k倍（k≠0），则y×k；若纵坐标不变，横坐标放大k倍或缩小1/k倍，则y=Asin(wkx+u)+c(A,w≠0)
正弦函数的五个点：(-u/w, 0) (-u/w + T/4, A) (-u/w + T/2, 0) (-u/w + 3T/4, -A) (-u/w + T, 0)
（5）物理学中，正弦函数y=Asin（wx+u）（A、w、u为常数且A、w>0）表示振动量，x表示振动时间，y表示偏离平衡位置的位移，A称为振动的振幅，周期为T=2wu/w，频率为f=1/T=w/2wu，wx+u称为相位，当x=0时，u称为初相位。
（6）辅助角公式（两角和与差的正弦公式的逆推）：
一般来说，要将函数y=asinx+bcosx(a,b≠0)转化为正弦函数，可以先假设点(a,b)为角α的终边点，sinα=b/√(a^2+b^2)，cosα=a/√(a^2+b^2)，tanα=b/a。证明可参考三角函数的定义。
所以 y=asinx+bcosx=√(a^2+b^2)α+sinαcosx=√(a^2+b^2)sin(x+α)。
要研究余弦和正切函数的方法和理论，可以参考正弦函数。
6.正弦定理和余弦定理
（1）正弦定理：
① 在直角三角形ABC中，若角C为直角，则sinA=a/c，sinB=b/c，sinC=1，a/sinA=c，b/sinB=c，c/sinC=c，所以，a/sinA=b/sinB=c/sinC。
②在锐角三角形ABC中，过点C作垂直线至AB，与AB交于点D。设CD=h，则sinA=h/b，sinB=h/a，a/sinA=b/sinB。同理，以BC为底，以高为高，有c/sinC=b/sinB，所以a/sinA=b/sinB=c/sinC。
③在钝角三角形ABC中，角C为钝角。过点C向AB作垂直线，与AB交于点D。令CD=h。则sinA=h/b，sinB=h/a，a/sinA=b/sinB=ab/h，sinC=sin（∠ACD+∠BDC）=ch/ab，c/sinC=ab/h。所以，a/sinA=b/sinB=c/sinC。
正弦定理：三角形中，每条边的正弦值与其所对角的比值相等。即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（外接圆直径，见下图2证明）。
（2）余弦定理：（已知三角形的两条边和它们之间的角，求第三条边。显然，在直角三角形中这道题比较容易，因此我们只研究锐角三角形和钝角三角形。）
若在锐角三角形ABC中，过点C向AB作一条垂直线，交于点D，设CD=h，AD=m，BD=n（h，m，n＞0）。
a^2=n^2+h^2=b^2-m^2+n^2=b^2+(nm)(n+m)=b^2+c(n-2m+m)=b^2+c^2-2mc=b^2+c^2-，
类似地，b^2= a^2+c^2-，c^2=a^2+b^2-。
对上述公式进行变换，我们得到：
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc，cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab。
（3）面积公式：（三角形中，给定两条边及其夹角，求面积）（只研究锐角和钝角三角形）
如图所示，若在锐角三角形ABC中，已知sinA，b，c，CD⊥AB，令CD=h，则面积S=1/2hc=c/2×sinA×b=/2。
类似地，S=/2=/2。
因此，任何三角形的面积公式为：S=/2=/2=/2。
三角函数可以帮助人类解决很多问题