轻杆模型的解释和例题
- 轻杆模型是什么意思
**轻杆模型是指不计质量且受到外力时发生形变的杆子** 。它是一种理想化的物理模型，实际上，轻杆在受力时还是会发生形变的^[2]^。
轻杆模型在遇到相关问题时，可以将轻杆作为弹簧来处理。但与弹簧不同的是，轻杆受到外力作用时，形变时产生的弹力可以作用到各个方向上^[1]^。
【题目】
在光滑水平面上有一个轻杆一端固定一个质量为m的小球，另一端连接一个轻质弹簧。小球被拉伸到与初始位置相距L时释放，小球在弹簧的作用下做简谐运动。已知弹簧的劲度系数为k，振幅为A，求：
（1）小球做简谐运动的周期；
（2）小球在平衡位置时对轻杆的作用力。
【分析】
（1）根据简谐运动的周期公式$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$，可求得小球做简谐运动的周期。
（2）小球在平衡位置时，弹簧的弹力为零，此时轻杆对小球的作用力与小球的位移成正比。根据牛顿第三定律，小球对轻杆的作用力与轻杆对小球的作用力大小相等、方向相反。
【解答】
（1）由$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$可得，小球做简谐运动的周期为$T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k}{m}}} = \frac{2\pi\sqrt{mk}}{L}$。
（2）小球在平衡位置时，弹簧的弹力为零，此时轻杆对小球的作用力与小球的位移成正比。根据牛顿第三定律，小球对轻杆的作用力与轻杆对小球的作用力大小相等、方向相反。因此，小球对轻杆的作用力大小为$F = kA = \frac{m}{\pi^{2}}L^{2}\sin(\frac{\pi}{L}x)$，其中$x$为小球的位移。
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