生活中，我们经常用一些单位来描述物理量：长度、质量、时间、力、功率、能量、压力……我们如何确定哪些物理量是最基本的呢？ 例如力，牛顿第二定律规定，粒子所受的合力等于其质量乘以加速度，而质量的单位是千克，加速度的单位是米每平方秒，所以力的单位是千克米每秒。 秒的 2 次方。 经典力学中的所有结论均源自牛顿定律量纲法高中物理，而牛顿定律中出现的物理量只有长度、质量和时间。 因此，我们可以说经典力学中所有物理量的单位都可以用米、千克、秒这三者来表示。
1960年，第十一届国际计量会议公布了国际单位制（SI，Système d'unités），建立了长度、质量、时间、电流强度、热力学温度、发光强度六个基本物理量，对应于六种标准单位：米（m，米）、（kg、公斤）、（s、秒）、安培（A，安培）、（K、开尔文）、（cd、坎德拉）。 1971年增加了一个新的基本物理量：物质的量，单位为摩尔（mol，摩尔）。 所有已知物理量的单位都是这七个标准单位的组合。 这七个最基本的物理量就像苹果、梨、香蕉、桃子一样。 虽然都是水果，但却是完全不相干的水果。
现在，我们将长度、质量、时间、电流强度、热力学温度、物质量和发光强度分别缩写为L、M、T、I、θ、N、J，并将它们视为一组线性空间基，任何物理量的量纲都是这组基的线性组合。 我们将物理量x的量纲记为[x]。 下面将用几个简单的例子来详细说明这一点。
示例1
速度的单位为{mcdot s^{-1}}，则其维度为[v]=LT^{-1}；
力的单位为{N}={kgcdot mcdot s^{-2}}，其中{N}指的是（牛顿）。 其维度为[F]=LMT^{-2}；
功的单位是焦耳 ({J}, Joule)，定义为 W=int_gamma vec{F}cdot dvec{x}=int_gamma omega^1_F(x) ，其单位为J={Ncdot m}={kgcdot m^2cdot s^{-2}}，维度为[W]=L^2MT^{-2 };
电阻的单位是欧姆（Ω，欧姆）。 根据欧姆定律W=I^2Rt推论，电阻的单位为Omega={kgcdot m^2cdot s^{-3}cdot A ^{-2}}，尺寸为[R]=L^2MT^{-3}I^{-2}；
弧度的单位是{rad}。 根据定义，角度对应的弧长就是它的弧度，即theta=frac{intomega }{2pi r}，其中r是圆的半径。 , intomega 是圆的光滑流形上的线积分。 因此，弧度的单位应为{rad}={mcdot m^{-1}}，即其维度为L^0M^0T^0I^0Theta^0 N^0J^0 。
我们把物理量维度对应的向量(d_1,d_2)放入L^{d_1}M^{d_2}T^{d_3}I^{d_4}Theta^{d_5} N^{d_6}J^ {d_7} ,cdots,d_7) 称为物理量的维向量。 诸如弧度之类的量纲向量为零的物理量称为无量纲。 当物理量的单位发生指数变化时，该物理量的值也会发生相应的变化。 如果测量单位分别变为,cdots,倍，则物理量的值变为^{-d_1}cdots^{-d_7}倍。 例如密度的定义为rho=frac{m}{V}，标准单位为千克每立方米{kgcdot m^{-3}}，维度为L^{-3 }M； 如果将单位改为克每立方厘米{gcdot cm^{-3}}。 由于 1{kg}=1000{g} 和 1{m}=100{cm}，则 {kg cdot m^{-3}}=1000times (100)^{-3} {gcdot cm^{-3}} =(1000)^{-1}{gcdot cm^{ -3}} 。
一个物理量x相对于另一个物理量t的导数frac{dx}{dt}的维向量应该是x的维向量减去t的维向量。 这可以从导数 x(t+h)-x(t)=frac{dx}{dt}h+(h) 的定义看出： 由于 x(t+h) 和 x(t) 具有相同的性质维度 ，因此可以将两者相减； h 的维度与 t 的维度相同，并且 frac{dx}{dt}h 应该与 x 的维度相同。 例如，速度的量纲为[v]=LT^{-1}，时间的量纲为[t]=T，则加速度a=frac{dv}{dt}的量纲为LT^{- 2}。
如果两个物理量对应的维度向量线性无关，我们就说它们是独立的。
实施例2
速度、加速度和力是独立的物理量。 因为在LMT下，速度的维度向量(1,0,-1)、加速度的维度向量(1,0,-2)和力的维度向量(1,1,-2)是线性无关的。
由于速度、加速度和力的量纲向量是线性无关的，因此经典力学中所有其他物理量的单位都可以用这三者的组合来表示。
公理 如果有两个相同维度的物理量 y_1=f(x_1,cdots,x_m) 和 y_2=f(bar x_1,cdots,bar x_m)，则它们都仅取决于有限个基本数物理量，且这组物理量只有一维（即 x_1,cdots,x_m 和 bar x_1,cdots,bar x_m 都只有长度维度，或者只有时间维度等），那么当该维度的单位大小变化alpha倍时，比率frac {f(x_1,cdots,x_m)}{f(bar x_1,cdots,bar x_m)}=frac{f (alpha x_1,cdots,alpha x_m)}{f(alpha bar x_1,cdots,alpha bar x_m)} 保持不变。
这是维度理论的基本假设。 我们举个例子来说明一下。
实施例3
三角形的面积是其三边长度的函数。 当长度单位的大小发生变化时，面积的数值发生变化，但两个三角形的面积之比显然保持不变。
该假设指出，比率 frac{f(alpha x_1,cdots,alpha x_m)}{f(x_1,cdots,x_m)} 只是变化因子 α 的函数。 因此，该比率可以写为(alpha)。
命题 frac{()}{()}=(frac{}{}) 。
代入定义即可验证上式。 对这个恒等式两边求导，然后令==alpha，我们得到frac{1}{(alpha)}frac{d}{dalpha}=frac{1 }{ alpha}'(1)，很容易验证初始条件(1)=1成立。 由于 (alpha)=alpha^d+C 是方程的通解，因此代入初始条件将得到 (alpha)=alpha^d。
实施例4
对于直角三角形的面积 y=(a,b,c)，其中 a 和 b 是垂直边，我们有 y=frac{1}{2}ab。 如果将标准单位{m}改为{cm}，则alpha=10，d=2量纲法高中物理，(alpha)=alpha^d=10^2。
我们可以计算多个集合的函数 y=f(x^1_1,cdots,x^1_{m_1},x^2_1,cdots,x^2_{m_2},cdots x^k_1,cdots,x变量 ^k_{m_k}) 执行类似的操作，其中每组变量 x^j_1,cdots,x^j_{m_j} 是相同类型的物理量（可以是长度、质量、力、功等） .），当然这些同类型的物理量都不是独立的物理量，但是不同的组left{ x^1 right},cdots,left{ x^k right}是独立的物理量彼此的数量。 然后，我们可以推导出(,cdots,)=^{d_1}cdots^{d_k}。 这里(d_1,cdots,d_k)是前面的维度向量，但它不一定是长度维度向量、时间维度向量等的组合，而可以是速度、加速度或力维度向量等的组合。我们说 (,cdots,) 是一个维度函数。 假设x_1,cdots,x_k是上述y的最大独立物理量组，则显然Pi:=frac{y}{x_1^{d_1}cdots x_k^{d_k}}是无量纲的。 注意，x^1前面的上标代表群，Pi定义中的x^{d}代表幂。
现在考虑一般形式 y=f(x_1,cdots,x_k,cdots,x_n)，其中 x_j 都是物理量，但只有前 k 在维度意义上是独立的。 注意第k+j个自变量x_{k+j}的维度为[x_{k+j}]=[x_1]^{d_{j1}}cdots[x_k]^{d_{jk}}，然后我们有frac{f(,cdots,,cdots,(^{d_{j1}}cdots^{d_{jk}} )x_{k+j},cdots)}{ f (x_1,cdots,x_n)}=(,cdots,) =^{d_1}cdots^{d_k} 。 如果 =x_1^{-1},cdots,=x_k^{-1}，则得到Pi=f(1,cdots,1,Pi_{1},cdots,Pi_{nk })，其中Pi_{j}=frac{x_{k+j}}{x_1^{d_{j1}}cdots x_k^{d_{jk}}}。
定理 () 取决于前 k 个独立物理量 y=f(x_1,cdots,x_k,cdots,x_n) 满足 Pi=f(1,cdots,1,Pi_{1},cdots,粉色的}）。
这个结果就是所谓的Pi定理。 将 Pi 的定义代入公式，可得 y=x_1^{d_{1}}cdots x_k^{d_{k}}f(1,cdots,1,Pi_{1},cdots, 粉色的}）。
实施例5
质量为 m 的质点在向心力 F 的作用下，做轨道半径为 r 的圆周运动。有关该运动的所有信息都包含在这三个变量中，因此我们可以写出运动周期 P 是质量、向心力的函数，轨道半径 P=f(m,F,r)。 LMT下，周期的单位为{s}，维度为T，维度向量为p=(0,0,1)。 质量维度向量为e_1=(0,1,0)，向心力维度向量为e_2=(1,1,-2)，轨道半径维度向量为e_3=(1,0,0 ）。 很容易验证它们是线性无关的，因此周期的维向量可以表示为这三个向量的线性组合，即 p=frac{e_1}{2}-frac{e_2}{ 2}+frac { e_3}{2}，那么根据Pi定理推论，我们立即可以得到 P=(frac{mr}{F})^frac{1}{2}f(1 ,1,1)。 只需再做一个实验并确定常数 f(1,1,1) 即可获得完整的关系。 当然，从牛顿第二定律F=ma出发，我们可以得到f(1,1,1)=2pi。
当时牛顿发现，两个天体之间的引力与其质量的乘积成正比，也与r负相关，即F frac{}{r^a}。 引入一个常数G，记为F=Gfrac{}{r^a}。 假设质量为m的天体绕固定质量M的天体做圆周运动，则周期平方P^2=4pi^2frac{mr}{F}=4pi^2压裂{mr}{GmM /r^a} =4pi^2压裂{r^{a+1}}{GM}。 除此之外，结合开普勒在1618年根据大量观测数据发现的定律，天体圆周运动周期的平方与轨道半径的立方的平方比是一个常数，所以a= 2.
需要注意的是，对数、指数函数等函数只能使用无量纲量作为自变量。 因为如果对此类函数执行幂级数展开，您将得到包含不同幂的项。 例如，黑体辐射公式 E(,T)=frac{8pi hnu^3}{c^3}frac{1}{e^{hnu/ kT}-1} 包含指数项，其中nu是频率，[nu]=T^{-1}，T是热力学温度，[T]=Theta，k是常数，维度 [k] =L^2MT^ {-2}Theta^{-1} 常数。 为了使 hnu/kT 成为无量纲量，h 的维数必须为 L^2MT^{-1}。
