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专题4 带电粒子在叠加场中的运动问题的分析
一、单项选择题
1.如图所示，匀强磁场方向水平向里，匀强电场方向竖直向下，有一正离子恰能沿直线从左向右水平飞越此区域，则（　　）

A．若电子以同样大小的速度从右向左飞入，电子也沿直线运动
B．若电子以同样大小的速度从右向左飞入，电子将向上偏转
C．若电子以同样大小的速度从右向左飞入，电子将向下偏转
D．若电子以同样大小的速度从左向右飞入，电子将向上偏转
【答案】B
【解析】ABC．若电子以同样大小的速度从右向左飞入，电场力向上，洛伦兹力也向上，所以向上偏，故AC错误，B正确；
D．若电子以同样大小的速度从左向右飞入，电场力向上，洛伦兹力向下．由题意知电子受力平衡将做匀速直线运动，故D错误。
故选B。
2.在磁感应强度为B0、方向竖直向上的匀强磁场中，水平放置一根长通电直导线，电流的方向垂直于纸面向里。如图所示，a、b、c、d是以直导线为圆心的同一圆周上的四点，在这四点中（　　）

A．b、d两点的磁感应强度相同 B．a、b两点的磁感应强度相等
C．c点的磁感应强度的值最小 D．b点的磁感应强度的值最大
【答案】C
【解析】D．用右手螺旋定则判断通电直导线在a点由向上的磁场，还有电流产生的向上的磁场，根据磁场叠加原理，磁感应强度的值最大，方向向上，故D错误；
AB．b点由向上的磁场，还有电流产生的水平向左的磁场，叠加后，方向向左上，d点磁场叠加后磁场方向为右上，故AB错误；
C．c点两个磁场方向相反，叠加后，磁感应强度变小，故c点磁感应强度的值最小，故C正确。
故选C。
3．（2021·湖南邵阳市·高三一模）如图所示，有一混合正离子束从静止通过同一加速电场后，进入相互正交的匀强电场和匀强磁场区域I，如果这束正离子束在区域I中不偏转，不计离子的重力。则说明这些正离子在区域I中运动时一定相同的物理量是（　　）

A．动能 B．质量 C．电荷 D．比荷
【答案】D
【解析】设加速电场的电压为U，则


设正交电场的场强为E，匀强磁场的磁感应强度为B，由于粒子在区域里不发生偏转，则


得

可知

其中E、B、U为相同值，正离子的比荷相等。
故选D。

4．（2021·山东枣庄市·高三二模）如图所示，虚线右侧有竖直向下的电场强度的匀强电场及垂直于电场向外的磁感应强度的匀强磁场。在光滑绝缘的水平面上有两个等大的金属小球A、B，小球A不带电，其质量，紧贴虚线静置的小球B带电量，其质量。小球A以速度水平向右与小球B发生正碰，碰后小球B垂直于电、磁场直接进入正交电、磁场中。刚进入正交电、磁场的瞬间，小球B竖直方向的加速度恰好为零。设小球A、B碰撞瞬间电荷均分，取。则下列说法正确的是（　　）

A．碰后瞬间，小球A的速度大小为
B．小球A在刚进入正交电、磁场后的短时间内，其电势能减少
C．过程中，小球A对小球B做的功为
D．小球A、B之间的碰撞为弹性碰撞
【答案】C
【解析】A．小球A、B碰撞瞬间电荷均分，则两小球电荷量的绝对值均为

且小球B刚进入正交电、磁场的瞬间，竖直方向的加速度恰好为零，则有

解得碰后B球的速度为

小球A、B碰撞过程中，由动量守恒定律可得

解得，碰后瞬间小球A速度为

故A错误；
B．小球A刚进入正交电、磁场后，由于

所以小球A向下偏，则电场力做负功，故其电势能增大，故B错误；
C．根据动能定理，可知小球A对小球B做的功为

故C正确；
D．由于碰撞前A、B系统机械能为

碰后系统机械能为

则，机械能不守恒，故小球A、B之间的碰撞为非弹性碰撞，故D错误。
故选C。
5.如图所示，带电小球P绕O点在竖直平面内做圆周运动，a、b连线为该圆竖直直径。已知该空间匀强电场的方向竖直向下，匀强磁场方向垂直纸面向里，则小球在做圆周运动过程中，下列判断正确的是（　　）

A．小球可能带正电
B．小球在运动过程中机械能不守恒
C．小球一定沿逆时针方向做匀速圆周运动
D．小球运动到a时的电势能大于运动到b时的电势能
【答案】B
【解析】A．小球做圆周运动，则电场力与重力平衡，所以电场力竖直向上，因为电场竖直向下，所以小球带负电，故A错误；
B．小球在运动过程中电场力做功，所以机械能不守恒，故B正确；
C．小球运动过程中，洛伦兹力提供向心力，所以根据左手定则，小球沿顺时针方向运动，因为小球运动半径不变，所以小球的线速度大小不变，即小球做匀速圆周运动，故C错误；
D．从a到b，电场力做负功，电势能增加，所以小球运动到a时的电势能小于运动到b时的电势能，故D错误。
故选B。
6.如图甲所示，一个带负电的物块由静止开始从斜面上点下滑，滑到水平面上的点停下来，已知物块与斜面及水平面间的动摩擦因数相同，且不计物块经过处时的机械能损失。若在空间加竖直向下的匀强电场（电场力小于重力）如图乙，仍让物块从点由静止开始下滑，结果物块在水平面上的点停下来．若在空间加向里的匀强磁场如图丙，再次让物块从点由静止开始下滑结果物块沿斜面滑下并在水平面上的点停下来，则以下说法中正确的是（　　）

A．点一定在点左侧
B．点一定与点重合
C．点一定在点右侧
D．点一定与点重合
【答案】B
【解析】AB．设物体的电量为q，电场强度大小为E，斜面的倾角为θ，动摩擦因数为μ，不加电场时，根据动能定理得
①
加电场时，根据动能定理有
②
将①②两式对比得可得

则D′点一定与D点重合，选项A错误，B正确；
CD．在ABC所在空间加水平向里的匀强磁场后，洛伦兹力垂直于接触面向下，加磁场时，根据动能定理可得
③
比较①③两式可知，正压力变大，摩擦力变大，重力做的功不变，所以点一定在D点左侧，即

选项CD错误。
故选B。
7.如图所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做匀速圆周运动，其轨道半径为已知电场的电场强度为E，方向竖直向下；磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，不计空气阻力，设重力加速度为g，则（　　）

A．液滴带正电 B．液滴荷质比
C．液滴顺时针运动 D．液滴运动速度大小
【答案】C
【解析】A．液滴在重力场、匀强电场和匀强磁场组成的复合场中做匀速圆周运动，液滴受到的重力和电场力是一对平衡力，故液滴受到的电场力方向竖直向上，与电场方向相反，可知液滴带负电，故A错误；
B．由


解得


故B错误；
C．磁场方向垂直向里，洛伦兹力的方向始终指向圆心，由左手定则可以判断出液滴顺时针运动，故C正确；
D．液滴所受的洛伦兹力提供液滴做圆周运动的向心力，即


又


联立解得


故D错误。
故选C。
8.质量为、电荷量为的微粒以速度与水平方向成角从点进入方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场区，该微粒在静电力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿直线运动到A，下列说法中正确的是（　　）

A．该微粒可能是正电荷
B．微粒从到A的运动可能是匀变速运动
C．该磁场的磁感应强度大小为
D．该电场的场强为
【答案】C
【解析】AB．若微粒带正电荷，它受竖直向下的重力，向左的电场力和斜向右下方的洛伦兹力，此时合力不可能为零，则洛伦兹力会因速度大小改变而改变，故可知微粒不能做直线运动，据此可知微粒应带负电荷，且只能做匀速运动，故AB错误；
CD．由题意可得微粒受力情况如下图所示


根据平衡条件可得


故磁场的磁感应强度大小为，电场的场强为，故C正确，D错误。
故选C。

二、多项选择题
9.质量为m、电荷量为q的微粒，以与水平方向成角的速度v，从O点进入方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场区，该微粒在电场力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿直线运动到A，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）

A．该微粒一定带负电荷
B．微粒从O到A的运动可能是匀变速运动
C．该磁场的磁感应强度大小为
D．该电场的场强为
【答案】AD
【解析】AB．若微粒带正电，它受竖直向下的重力mg、水平向左的电场力qE和斜向右下的洛伦兹力qvB，微粒不能做直线运动，据此可知微粒应带负电，它受竖直向下的重力mg、水平向右的电场力qE和斜向左。上的洛伦兹力qvB，又知微粒恰好沿直线运动到A，可知微粒应该做匀速直线运动，故A正确，B错误；
CD．由平衡条件可知
，
得磁场的磁感应强度

电场的场强

故C错误，D正确。
故选AD。
10.如图所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，匀强电场方向竖直向下，有一正离子恰能沿直线从左向右水平飞越此区域。不计重力，则（　　）

A．若电子从右向左以相同速率飞入，电子也沿直线运动
B．若电子从右向左以相同速率飞入，电子将向上偏转
C．若电子从左向右以相同速率飞入，电子将向下偏转
D．若电子从左向右以相同速率飞入，电子也沿直线运动
【答案】BD
【解析】AB．若电子从右向左飞入，电场力向上，洛伦兹力也向上，所以向上偏，故A错误，B正确；
CD．若电子从左向右飞入，电场力向上，洛伦兹力向下，由题意知电子受力平衡将做匀速直线运动，故C错误，D正确。
故选BD。
11．（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考）如图，空间存在方向垂直于纸面（xOy平面）向里的磁场。在x≥0区域，磁感应强度的大小为B0；x<0区域，磁感应强度的大小为3B0。一质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子以速度v0沿与x轴正向成60°角射入磁场，并垂直于y轴进入第二象限，当粒子的速度方向第一次沿x轴正向时，不计粒子重力，则粒子运动的时间t和粒子与O点间的距离d分别为（　　）


A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】AB．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，所以在x>0区域有

在x<0区域有

解得
，
在x>0区域运动时间

在x<0区域运动时间

故粒子运动的时间

A正确，B错误；
CD．粒子与O点间的距离

C正确，D错误；
故选AC。
12.如图是一个速度选择器的示意图，在一对相距为d、板间电压为U的平行金属板间，加有磁感应强度大小为B、方向与板间匀强电场垂直的匀强磁场。则从P孔射入的粒子能够沿直线从Q孔射出的是（不计粒子重力）（　　）

A．速度为的带正电粒子
B．速度为的带正电粒子
C．速度为的带负电粒子
D．速度为的带负电粒子
【答案】BD
【解析】若粒子带正电，受到电场力向下，洛伦兹力向上，若粒子带负电，受到电场力向上，洛伦兹力向下，故只要满足两个力大小相等即可沿虚线PQ运动，即

可得，带正电、负电均可以。
故选BD。

三、非选择题
13．（2021·济南市历城第二中学高三月考）如图所示，在xoy平面x轴上方存在垂直平面向里的匀强磁场，x轴下方有与x轴成角的匀强电场，带电粒子从原点O以与x轴负向成的初速度射入磁场中，经时间t从点通过x轴进入电场中，偏转后恰由原点O第一次从电场进入磁场。已知匀强磁场的磁感应强度大小为B，不计带电粒子重力，。求：
（1）带电粒子的比荷；
（2）匀强电场的场强E；
（3）带电粒子第一次从电场进入磁场时的速度v。

【答案】（1）；（2）；（3），与轴负方向成角
【解析】（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图，设轨道半径为，则

，，
联立解得

（2）带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，运动轨迹如上图，设运动时间为，则
，，
解得

（3）设速度大小为v，与x轴负方向成角，则沿电场方向的速度
，，
解得
，，
即带电粒子第一次从电场进入磁场时速度方向与x轴负方向成角。
14．（2021·安徽池州市·高三一模）如图所示，在xOy平面的第一、二象限内有方向与x轴负方向成θ=45°、大小为E1（未知）的匀强电场。在第三、四象限内有沿y轴正方向、大小为E2（E1=E2）的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场。坐标原点O处有一粒子源，可在xOy平面内向x轴下方各个方向连续射出大量质量为M、电荷量为＋q的同种粒子，其速率在0~v0之间。粒子在x轴下方恰好做匀速圆周运动，且到达x轴离原点O最远距离为2L。不考虑粒子间的相互作用，重力加速度为g。求：
(1)匀强磁场磁感应强度B的大小；
(2)沿y轴负方向以v0射出的粒子到达y轴正半轴的时间；
(3)若在x轴正半轴水平放置一薄板，且在x=L处开一小孔，粒子源射出的部分粒子可穿过小孔进入x轴上方电场区域，求这些粒子经过y轴正半轴最远点的坐标。（打到薄板上的粒子均被薄板吸收）


【答案】(1)；(2) ；(3)
【解析】(1)粒子在x轴下方恰好做匀速圆周运动，则有

粒子到达x轴离原点最远距离为2L，即以v0射出的粒子做匀速圆周的半径
R0=L
由洛仑磁力提供向心力有

解得

(2)沿y轴负向以v0射出的粒子在x轴下方运动的时间为t1，有

粒子在x=2L处以v0竖直向上进入x轴上方电场区域，对粒子受力分析得，粒子竖直方向受力平衡，x轴负方向加速度大小为
ax=g
设粒子在电场E1区城运动的时间为t2，由类平抛运动可知

解得

故从坐标原点到y轴正半轴的时间

(3)设方向与x轴正半轴成，大小为v的粒子能通过小孔，则有

根据洛伦兹力提供向心力，则有

联立解得

说明能通过小孔进入电场的粒子均具有相同的沿y轴方向、大小为的分速度。
当粒子以速度v0从原点射入，且与x轴正半轴成30°方向的粒子可到达y轴正半轴最远处。
此粒子进入x轴上方的电场时有

根据运动学公式有


联立解得

故最远点坐标为。
15．（2021·安徽省怀远县第一中学高二月考）在竖直平面内建立一平面直角坐标系轴沿水平方向，如图甲所示。第一象限有一竖直向下的匀强电场，第二象限内有一水平向左的匀强电场，第一象限场强大小为第二象限场强大小的一半。处在第三象限的某种发射装置（图中没有画出）竖直向上射出一个质量为m、电荷量为的带负电粒子（可视为质点），该粒子以初速度从上的A点沿y轴正方向进入第二象限，并从上的C点沿x轴正方向进入第一象限，C点粒子动能为A点粒子动能的4倍。重力加速度为g。试求：
（1）求O与C两点间的距离，以及第二象限匀强电场的电场强度E的大小；
（2）若第一象限同时存在按如图乙所示规律变化的磁场，磁场方向垂直于纸面（以垂直纸面向外的磁场方向为正方向，图中均为未知量），并且在时刻粒子由C点沿x轴正方向进入第一象限，且恰好能通过同一水平线上的D点，速度仍然沿x轴正方向，且。若粒子在第一象限中完成一个完整圆周运动的周期等于磁场变化周期，求交变磁场变化的周期的大小；
（3）若第一象限仍同时存在按如图乙所示规律变化的磁场（以垂直纸面向外的磁场方向为正方向，图中均为未知量），调整磁场变化的周期，让粒子在时刻由C点进入第一象限，且恰能沿x轴正方向通过x轴上F点，且，求交变磁场的磁感应强度的大小应满足的条件。

【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）设粒子从A点运动至C点所用时间为点速度为，根据“C点粒子动能为A点粒子动能的四倍”可得

竖直方向上粒子做匀减速直线运动，取竖直向上为正方向，则


水平方向有

解得

（2）由第（1）问及题干可知

因此带电粒子在第一象限将做速度为的匀速圆周运动。设运动半径为R，周期为，使粒子从C点运动到同一水平线上的D点，如图所示


则

粒子在磁场中匀速圆周运动的周期

则磁场变化的周期

（3）粒子到F点时沿x轴正方向，设粒子运动轨道半径为，如图所示




根据，则有

解得
（另一解不合题意，舍去）
所以有

结合半径公式

故交变磁场磁感应强度大小应满足的关系

16．（2021·山东潍坊市·高三月考）如图所示，第一象限内圆心为K的两个同心圆半径分别为R和3R，大圆与两坐标轴分别相切，x轴上的切点为M，MN连线与y轴平行，N点在大圆上。同心圆之间的环状区域存在着垂直纸面向里的匀强磁场，小圆内存在着垂直纸面向外的匀强磁场；两处的磁感应强度大小相等，第四象限范围内分布着沿y轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为的带电粒子从第四象限y轴上的P点沿x轴正方向以某初速度射入匀强电场，经M点时以速度进入环状区域，且的方向与MN的夹角为，已知粒子在环状磁场中的运动半径为2R，且恰好从N点射出磁场，带电粒子的重力忽略不计。求：
（1）电场强度的大小；OP间的距离；
（2）磁感应强度的大小；粒子从M到N的运动时间；
（3）若粒子从第四象限中NM延长线上的某点由静止释放，粒子进入磁场后刚好不进入小圆区域。求此次粒子的释放位置坐标。

【答案】（1），；（2），；（3）
【解析】(1)分解速度可知


在水平方向

竖直方向

联立解得

竖直方向的位移为

解得

(2)由牛顿第二定律得

解得

根据几何知识可得每段圆弧所对应圆心角均为


粒子从M运动到N点的时间

代入B可得

(3)由题意可知，此次粒子的运动轨迹与小圆相切，由几何知识得


根据几何关系

解得

由牛顿第二定律得

则有

根据动能定理

可得

所以坐标为。
17．（2021·石嘴山市第三中学高二月考）如图所示，四分之一光滑圆弧轨道底部与光滑水平面相切于B点，OB的右边区域有垂直纸面向外的匀强磁场，左边区域有水平向左的匀强电场E。一质量为m、电荷量为q的带正电的物体以速度从A点进入磁场，恰好无支持力滑向圆弧轨道底端B点，并恰好能到达圆弧最高点C，求：
(1)磁感应强度B；
(2)圆弧轨道半径R。

【答案】(1)(2)
【解析】(1)带电体从A运动到B的过程中，受重力和洛伦兹力作用，根据力的平衡条件可知

解得磁感应强度

(2)带电体到达圆弧最高点C的过程中，电场力做正功，重力做负功，由动能定理可知

解得圆弧轨道半径

18.如图，竖直平面内的平面直角坐标系xoy，x轴沿水平方向，在区域内有垂直xoy平面向外的匀强磁场和竖直向上的匀强电场。在第一象限有矩形区域OACD，，。一个带正电小球自A点沿x轴正方向以一定初速度射入第一象限，一段时间后小球经D点射入区域，且小球在区域恰沿圆轨迹运动，又经一段时间小球射出区域并回到A点，重力加速度为g。求：
(1)小球自A点射出的初速度v0为多大；
(2)小球自A点射出至再次返回A点所需的时间t为多少；
(3)若只增加小球自A点射出速度大小，小球经过一段时间可经过C点，求能使小球以最短时间从A点返回C点的初速度；

【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】(1)小球从A点做平抛运动，则


解得


(2)小球从D点进入的区域

则合速度

速度与x轴成45°角，进入下方正交场后做半径为

的匀速圆周运动，则用时间

小球出离的区域后斜向上与x轴成45°角斜上抛，由对称性可知，回到A点的时间仍为

则总时间


(3)要使小球尽快回到C点，则轨迹如图；小球进入正交场时的速度

则运动半径

而

则轨迹与x轴交点的距离

由对称性可知小球从A点到M点的水平位移为
x1=3h
则由平抛运动可知

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