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专题09 竖直面内的圆周运动模型
目录
一．一般圆周运动的动力学分析 1
二．竖直面内“绳、杆（单、双轨道）”模型对比分析 1
三．竖直面内圆周运动常见问题与二级结论 2
三. 过拱凹形桥模型 13

一．一般圆周运动的动力学分析
如图所示，做圆周运动的物体，所受合外力与速度成一般夹角时，可将合外力沿速度和垂直速度分解，则由牛顿第二定律，有：

，aτ改变速度v的大小
，an改变速度v的方向，
作一般曲线运动的物体，处理轨迹线上某一点的动力学时，可先以该点附近的一小段曲线为圆周的一部分作曲率圆，然后即可按一般圆周运动动力学处理。

，aτ改变速度v的大小
，an改变速度v的方向，，ρ为曲率圆半径。
二．竖直面内“绳、杆（单、双轨道）”模型对比分析
轻绳模型（没有支撑） 轻杆模型（有支撑）
常见
类型
过最高点的临界条件 由mg＝m得v临＝ 由小球能运动即可得v临＝0
对应最低点速度v低≥ 对应最低点速度v低≥
绳不松不脱轨条件 v低≥或v低≤ 不脱轨
最低点弹力 F低-mg =mv低2/r
F低=mg+mv低2/r，向上拉力 F低-mg =mv低2/r
F低=mg+mv低2/r，向上拉力
最高点弹力 过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN＝m-mg
向下压力 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为向上支持力
(2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN向上支持力，随v的增大而减小
(3)当v＝时，FN＝0
(4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN为向下压力并随v的增大而增大
在最高
点的FN
图线 取竖直向下为正方向 取竖直向下为正方向

三．竖直面内圆周运动常见问题与二级结论
【问题1】一个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为A和最低点记为C，与原点等高的位置记为B。圆周的半径为
要使小球做完整的圆周运动，当在最高点A 的向心力恰好等于重力时，由可得①
对应C点的速度有机械能守恒
得②
当小球在C点时给小球一个水平向左的速度若小球恰能到达与O点等高的D位置则由机械能守恒
得③
小结：(1).当时小球能通过最高点A小球在A点受轨道向内的支持力
由牛顿第二定律④
(2).当时小球恰能通过最高点A小球在A点受轨道的支持力为0
由牛顿第二定律。⑤
(3).当时小球不能通过最高点A小球在A点，上升至DA圆弧间的某一位向右做斜抛运动离开圆周，且v越大离开的位置越高，离开时轨道的支持力为0
在DA段射重力与半径方向的夹角为则、
(4).当时小球不能通过最高点A上升至CD圆弧的某一位置速度减为0之后沿圆弧返回。上升的最高点为C永不脱离轨道
【问题2】常见几种情况下物体受轨道的作用力
(1)从最高点A点静止释放的小球到达最低点C：由机械能守恒
在C点由牛顿运动定律： 得⑥
(2)从与O等高的D点（四分之一圆弧）处静止释放到达最低点C：由机械能守恒
在C点由牛顿运动定律： 得⑦
(3)从A点以初速度释放小球到达最低点
由机械能守恒
在C点由牛顿运动定律： 得⑧
【模型演练1】(2020·全国卷Ⅰ)如图所示，一同学表演荡秋千，已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg，绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为 8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为(　　)

A. 200 N B. 400 N
C. 600 N D. 800 N
【答案】B　
【解析】：秋千运动至最低点时，重力和绳子的拉力的合力提供该同学做圆周运动所需的向心力。设每根绳子的拉力为FT，则2FT－mg＝m，代入数据解得FT＝410 N。故选B。
【模型演练2】(2021·东营模拟)如图所示，轻杆一端与一质量为m的小球相连，另一端连在光滑固定轴上，轻杆可在竖直平面内自由转动。现使小球在竖直平面内做完整的圆周运动，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)

A. 小球在运动过程中的任何位置对轻杆的作用力都不可能为0
B. 当轻杆运动到水平位置时，轻杆对小球的拉力大小不可能等于mg
C. 小球运动到最低点时，对轻杆的拉力可能等于4mg
D. 小球运动到最低点时，对轻杆的拉力一定不小于6mg
【答案】B　
【解析】：小球在轻杆的作用下做圆周运动，在最高点时，若mg＝Fn，则小球对轻杆的作用力为0，A错误；假设当轻杆运动到水平位置时，轻杆对小球的拉力等于重力，则有mg＝m，此时小球的动能为 mv＝mgr，由机械能守恒定律可知，小球不可能运动到最高点，不能完成完整的圆周运动，假设不成立，B正确；若小球恰能完成完整的圆周运动，则在最高点时，小球的速度为0，在最低点时，小球的动能为2mgr，则F－mg＝m＝4mg，由牛顿第三定律，可知小球对轻杆的作用力最小为5mg，C、D错误。
【模型演练3】．(2020·重庆模拟)如图甲所示，陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”。它可等效为一质点在圆轨道外侧运动的模型，如图乙所示。在竖直平面内固定的强磁性圆轨道半径为R，A、B两点分别为轨道的最高点与最低点。质点沿轨道外侧做完整的圆周运动，所受圆轨道的强磁性引力始终指向圆心O且大小恒为F，当质点以速率v＝ 通过A点时，对轨道的压力为其重力的8倍，不计摩擦和空气阻力，质点质量为m，重力加速度为g，则(　　)

A. 强磁性引力的大小F＝7mg
B. 质点在A点对轨道的压力小于在B点对轨道的压力
C. 只要质点能做完整的圆周运动，则质点对A、B两点的压力差恒为5mg
D. 若强磁性引力大小恒为2F，为确保质点做完整的圆周运动，则质点通过B点的最大速率为
【答案】D　
【解析】：在A点，对质点由牛顿第二定律有F＋mg－FA＝m，根据牛顿第三定律有FA＝FA′＝8mg，联立解得F＝8mg，故A错误；质点能完成完整的圆周运动，在A点根据牛顿第二定律有F＋mg－NA＝m，根据牛顿第三定律有NA＝N′A，在B点根据牛顿第二定律有F－mg－NB＝m，根据牛顿第三定律有NB＝N′B，质点从A点运动到B点的过程中，根据机械能守恒定律有mg·2R＝mv－mv，联立解得N′A－N′B＝6mg，故B、C错误；若强磁性引力大小恒为2F，在B点根据牛顿第二定律有2F－mg－FB＝m，当FB＝0时，质点速度最大，联立解得 v′B＝，故D正确。
【模型演练4】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，其FN－v2图象如图乙所示．则(　　)

A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．v2＝c时，在最高点杆对小球的弹力方向向上
D．v2＝2b时，在最高点杆对小球的弹力大小为2a
【答案】　A
【解析】　由题图乙可知当小球运动到最高点时，若v2＝b，则FN＝0，轻杆既不向上推小球也不向下拉小球，这时由小球受到的重力提供向心力，即mg＝，得v2＝gR＝b，故g＝，B错误；当v2>b时，轻杆向下拉小球，C错误；当v2＝0时，轻杆对小球弹力的大小等于小球重力，即a＝mg，代入g＝得小球的质量m＝，A正确；当v2＝2b时，由向心力公式得FN＋mg＝，得杆的弹力大小FN＝mg，故FN＝a，D错误．
【模型演练5】(2020·云南昆明市高三“三诊一模”测试)如图所示，竖直平面内的光滑固定轨道由一个半径为R的圆弧AB和另一个圆弧BC组成，两者在最低点B平滑连接．一小球(可视为质点)从A点由静止开始沿轨道下滑，恰好能通过C点，则BC弧的半径为(　　)

A.R B.R C.R D.R
【答案】　A
【解析】　设BC弧的半径为r.
小球恰好能通过C点时，仅由重力提供向心力，
则有：mg＝m
小球从A到C的过程，以C点所在水平面为参考平面，根据机械能守恒定律得：
mg(R－2r)＝mvC2
联立解得：r＝R，
故选A.
【模型演练6】(2020·江西南昌二中模拟)如图甲所示，质量相等大小可忽略的a、b两小球用不可伸长的等长轻质细线悬挂起来，使小球a在竖直平面内来回摆动，小球b在水平面内做匀速圆周运动，连接小球b的绳子与竖直方向的夹角和小球a摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为θ，运动过程中两绳子拉力大小随时间变化的关系如图乙中c、d所示．则下列说法正确的是(　　)

A．图乙中直线d表示绳子对小球a的拉力大小随时间变化的关系
B．图乙中曲线c表示绳子对小球a的拉力大小随时间变化的关系
C．θ＝45°
D．θ＝60°
【答案】BD
【解析】　小球a做单摆运动，其拉力随时间做周期性变化，而小球b做匀速圆周运动，根据矢量三角形可得Fbcos θ＝mg即Fb＝，恒定不变，故图乙中直线d表示绳子对小球b的拉力大小随时间变化的关系，直线c表示绳子对小球a的拉力大小随时间变化的关系，A错误B正确；a球只有重力对其做功，机械能守恒，故mgL(1－cos θ)＝mv2，在最低点重力和拉力的合力充当向心力，故有Fa－mg＝m，联立解得Fa＝mg(3－2cos θ)，当对a球来说，当夹角为θ时，拉力最大，从图中可知a球受到的最大拉力和b球的拉力相等，所以有mg(3－2cos θ)＝，解得θ＝60°，故C错误D正确．
【模型演练7】（2021·福建省福清西山学校高三上学期12月月考）一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图甲所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径。将圆周运动的半径换成曲率半径后，质点在曲线上某点的向心加速度可根据圆周运动的向心加速度表达式求出，向心加速度方向沿曲率圆的半径方向。已知重力加速度为g。现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度抛出，如图乙所示，则在其抛出点P处的曲率半径是（　　）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
物体的加速度为向下的g，在点P处时沿曲率半径方向的分加速度大小为gcosα，在P点，由向心力的公式得

所以在P处的曲率半径为

故BCD错误，A正确。
故选A。
【模型演练8】.（2021·黑龙江哈六中高三上学期1月期末）如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，小球直径略小于内、外侧管壁距离，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是(　　)

A. 小球通过最高点时的最小速度
B. 小球通过最高点时的最小速度
C. 小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力
D. 小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
【答案】B
【解析】
由于管子能支撑小球，所以小球能够通过最高点时的最小速度为vmin=0；故A错误，B正确．小球在水平线ab以下的管道中运动时，受到的合外力向上，则主要应是外侧管壁提供作用力，故内侧管壁对小球一定无作用力；故C错误；小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球不一定有作用力．如速度较小时，重力与下管壁的合力充当向心力，故D错误．故选B．
【模型演练9】（2021·福建省福州市八县市一中高三上学期11月期中）如图所示，半径为R的金属环竖直放置，环上套有一质量为m的小球，小球开始时静止于最低点，现使小球以初速度沿环上滑，小环运动到环的最高点时与环恰无作用力，则小球从最低点运动到最高点的过程中（   ）

A. 小球机械能守恒
B. 小球在最低点时对金属环的压力是6mg
C. 小球在最高点时，重力的功率是
D. 小球机械能不守恒，且克服摩擦力所做的功是0.5mgR
【答案】D
【解析】
AD．小球在最高点与环作用力恰为0时，设速度为v，则

解得

从最低点到最高点，由动能定理得
-mg•2R-W克=mv2-mv02
又
v0=
解得
W克=05mgR
所以机械能不守恒，且克服摩擦力所做的功是0.5mgR，故A错误，D正确；
B．在最低点，根据向心力公式得

解得
N=7mg
则由牛顿第三定律知，小球在最低点时对金属环的压力是7mg，故B错误；
C．小球在最高点时，重力方向与速度方向垂直，重力的功率为零，故C错误。
故选D。
【模型演练10】(2020·福建龙岩市期末质量检查)如图甲所示，轻绳一端固定在O点，另一端固定一小球(可看成质点)，让小球在竖直平面内做圆周运动．改变小球通过最高点时的速度大小v，测得相应的轻绳弹力大小F，得到F－v2图象如图乙所示，已知图线的延长线与纵轴交点坐标为(0，－b)，斜率为k.不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)

A．该小球的质量为bg
B．小球运动的轨迹半径为
C．图线与横轴的交点表示小球所受的合外力为零
D．当v2＝a时，小球的向心加速度为g
【答案】　B
【解析】　小球在最高点时受到的拉力为F，则有：
F＋mg＝，
解得：F＝m－mg
结合题图乙可知：mg＝b，即m＝，斜率为k＝＝
解得：R＝＝，故A错误，B正确；
图线与横轴的交点表示小球所受的拉力为零，即合外力等于重力时的情况，故C错误；根据向心加速度公式可知a′＝＝＝＝2g，故D错误．
【模型演练11】(多选)(2020·资阳一诊)如图甲所示，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v，此时绳子的拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系图象如图乙所示，图象中的数据a和b，包括重力加速度g都为已知量，则以下说法正确的是(　　)

甲　　　　　乙　
A．数据a与小球的质量无关
B．数据b与小球的质量无关
C．比值只与小球的质量有关，与圆周轨迹半径无关
D．利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨迹半径
【答案】AD　
【解析】由题图乙可知，当v2＝a时，此时绳子的拉力为零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，则由牛顿第二定律得mg＝，解得v2＝gr，故a＝gr，与小球的质量无关，故A正确；当v2＝2a时，对小球受力分析，则由牛顿第二定律得mg＋b＝，解得b＝mg，与小球的质量有关，故B错误；根据上述分析可知＝与小球的质量有关，与圆周轨迹半径也有关，故C错误；由上述可知r＝，m＝，故D正确。
【模型演练12】(2020·河北保定一模)如图所示，半径为R的细圆管(管径可忽略)内壁光滑，竖直放置，一质量为m、直径略小于管径的小球可在管内自由滑动，测得小球在管顶部时与管壁的作用力大小为mg，g为当地重力加速度，则 (　　)

A．小球在管顶部时速度大小一定为 B．小球运动到管底部时速度大小可能为
C．小球运动到管底部时对管壁的压力可能为5mg D．小球运动到管底部时对管壁的压力一定为7mg
【答案】C
【解析】小球在管顶部时可能与外壁有作用力，也可能与内壁有作用力。如果小球与外壁有作用力，对小球受力分析可知2mg＝m，可得v＝，其由管顶部运动到管底部的过程中由机械能守恒有mv＝2mgR＋mv2，可得v1＝，小球在管底部时，由牛顿第二定律有FN1－mg＝m，解得FN1＝7mg，由牛顿第三定律知，小球对管壁的压力为7mg。如果小球与内壁有作用力，对小球受力分析可知，在最高点小球速度为零，其由管顶部运动到管底部过程中由机械能守恒有mv＝2mgR，解得v2＝2，小球在管底部时，由牛顿第二定律有FN2－mg＝m，解得FN2＝5mg，由牛顿第三定律知，小球对管壁的压力为5mg，选项C正确，A、B、D错误。
【模型演练13】（2021·八省联考广东区高三上学期1月模拟二）如图所示，竖直平面内光滑圆轨道半径R=2m，从最低点A有一质量为m=1kg的小球开始运动，初速度方向水平向右，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　）

A 若初速度，则小球将在离A点2.2m高的位置离开圆轨道
B 若初速度，则小球离开圆轨道时的速度大小为
C 小球能到达最高点B的条件是
D 若初速度，则运动过程中，小球可能会脱离圆轨道
【答案】B
【解析】、
所以小球能到达最高点B的条件是 C错D错
所以小球会脱离轨道。设小球离开圆轨道时的速度为离开时轨道的支持力为0，此时重力与半径方向的夹角为
则



即小球从1.8m高的地方离开。离开时的速度

【模型演练14】（2021·江苏省马坝高中高三上学期11月期中）如图所示，竖直放置的半圆形轨道与水平轨道平滑连接，不计一切摩擦。圆心O点正下方放置为2m的小球A，质量为m的小球B以初速度v0向左运动，与小球A发生弹性碰撞。碰后小球A在半圆形轨道运动时不脱离轨道，则小球B的初速度v0可能为

A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】A与B碰撞的过程为弹性碰撞，则碰撞的过程中动量守恒，设B的初速度方向为正方向，设碰撞后B与A的速度分别为v1和v2，则：
mv0=mv1+2mv2
由动能守恒得：

联立得： ①
1.恰好能通过最高点,说明小球到达最高点时小球的重力提供向心力,是在最高点的速度为vmin，由牛顿第二定律得：
2mg=  ②
A在碰撞后到达最高点的过程中机械能守恒，得：
③
联立①②③得：v0=，可知若小球B经过最高点，则需要：v0⩾
2.小球不能到达最高点，则小球不脱离轨道时，恰好到达与O等高处，由机械能守恒定律得：
④
联立①④得：v0=
可知若小球不脱离轨道时,需满足：v0⩽
由以上的分析可知,若小球不脱离轨道时,需满足：v0⩽或v0⩾，故AD错误，BC正确。
故选：BC
三.过拱凹形桥模型
拱形桥 圆轨外侧 凹形桥

示意图



作用力 最高点(失重)：FN＝G－mv2/R，可知：
（1）当v=0时，即汽车静止在最高点，FN=G；
（2）当汽车的速度增大到mv2/R=mg 即v= 时，FN=0，汽车在桥顶只受重力G，又具水平速度v，因此开始做平抛运动；
（3）当0≤v≤时，0≤FN≤mg，且速度v越大，FN越小；
（4）当v>时，汽车将脱离桥面，将在最高点做平抛运动，即所谓的“飞车”。 最高点(超重)：FN＝G+mv2/R可知：
（1）当v=0时，即汽车静止在最高点，FN=G；
（2）当汽车的速度v≠0时，FN>mg，且速度v越大，FN越大。

【模型演练1】（2021·江苏省扬州市高三上学期1月月考）如图所示是游乐场里的过山车，过山车运动过程中经过A、B两点（　　）

A. 在A点时对轨道压力较小 B. 在A点时所受摩擦力较大
C. 在B点时所受向心力较大 D. B点时合外力方向竖直向下
【答案】B
【解析】A．由向心力公式

解得 ，在A点时对轨道压力最大，A错误；
B．摩擦力为 ，则
在A点时所受摩擦力较大，B正确；
C．向心力为
所以 ，在A点时所受向心力较大，C错误；D．在B点人受竖直向下的重力，竖直向下的弹力，水平方向的摩擦力，合力的方向斜向下，D错误。故选B。
【模型演练2】（2021·黑龙江哈尔滨三中高三上学期11月期中）如图所示，当汽车通过拱桥顶点的速度为10m/s时，车对桥的压力为车重的，g取10m/s2，拱桥的半径为（　　）

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