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专题强化二十六　气体实验定律的综合应用
目标要求 　1.理解理想气体状态方程并会应用解题.2.掌握“玻璃管液封模型”和“汽缸活塞类模型”的处理方法.3.会处理“变质量气体模型”问题.
题型一　玻璃管液封模型
1.气体实验定律及理想气体状态方程
理想气体状态方程：pVT＝C
p1V1T1＝p2V2T2当T一定时，p1V1＝p2V2当p一定时，V1T1＝V2T2当V一定时，p1T1＝p2T2
2.玻璃管液封模型
求液柱封闭的气体压强时，一般以液柱为研究对象分析受力、列平衡方程，要注意：
(1)液体因重力产生的压强为p＝ρgh(其中h为液体的竖直高度)；
(2)不要漏掉大气压强，同时又要尽可能平衡掉某些大气的压力；
(3)有时可直接应用连通器原理——连通器内静止的液体，同种液体在同一水平面上各处压强相等；
(4)当液体为水银时，可灵活应用压强单位“cmHg”等，使计算过程简捷.

　　　　 单独气体

例1 　(2019·全国卷Ⅲ·33(2))如图1，一粗细均匀的细管开口向上竖直放置，管内有一段高度为2.0 cm的水银柱，水银柱下密封了一定量的理想气体，水银柱上表面到管口的距离为
2.0 cm.若将细管倒置，水银柱下表面恰好位于管口处，且无水银滴落，管内气体温度与环境温度相同.已知大气压强为76 cmHg，环境温度为296 K.

图1

(1)求细管的长度；
(2)若在倒置前，缓慢加热管内被密封的气体，直到水银柱的上表面恰好与管口平齐为止，求此时密封气体的温度.
答案　(1)41 cm　(2)312 K
解析　(1)设细管的长度为L，横截面的面积为S，水银柱高度为h；初始时，设水银柱上表面到管口的距离为h1，被密封气体的体积为V，压强为p；细管倒置时，被密封气体的体积为V1，压强为p1.由玻意耳定律有
pV＝p1V1①
由力的平衡条件有
p＝p0＋ρgh②
p1＝p0－ρgh③
式中，ρ、g分别为水银的密度和重力加速度的大小，p0为大气压强.由题意有
V＝S(L－h1－h)④
V1＝S(L－h)⑤
由①②③④⑤式和题给条件得
L＝41 cm⑥
(2)设气体被加热前后的温度分别为T0和T，由盖－吕萨克定律有
VT0＝V1T⑦
由④⑤⑥⑦式和题给数据得T＝312 K.

　　　　 关联气体

例2 　一U形玻璃管竖直放置，左端开口，右端封闭，左端上部有一光滑的轻活塞.初始时，管内水银柱及空气柱长度如图2所示.用力向下缓慢推活塞，直到管内两边水银柱高度相等时为止.求此时右侧管内空气的压强和活塞向下移动的距离.已知玻璃管的横截面积处处相同；在活塞向下移动的过程中，没有发生气体泄漏；大气压强p0＝75.0 cmHg.环境温度不变.

图2
答案　144 cmHg　9.42 cm
解析　设初始时，右管中空气柱的压强为p1，长度为l1；
左管中空气柱的压强为p2＝p0，长度为l2.
活塞被下推h后管内两边水银柱高度相等，右管中空气柱的压强为p1′，长度为l1′；
左管中空气柱的压强为p2′，长度为l2′.
以cmHg为压强单位，由题给条件得p1＝p2＋(20.0－5.00) cmHg＝90.0 cmHg，①
l1＝20.0 cm②
l1′＝20.0 cm－20.0－5.002 cm＝12.5 cm③
设玻璃管的横截面积为S，
由玻意耳定律得p1l1S＝p1′l1′S④
联立①②③④式得p1′＝144 cmHg⑤
由题意得p2′＝p1′⑥
l2′＝4.00 cm＋20.0－5.002 cm－h⑦
由玻意耳定律得p2l2S＝p2′l2′S⑧
联立⑤⑥⑦⑧式和题给条件得h≈9.42 cm

1.(液封两段密封气体)(2020·云南大理市模拟)竖直放置的一粗细均匀的U形细玻璃管中，两边分别灌有水银，水平部分有一空气柱，各部分长度如图3所示，单位为cm.现将管的右端封闭，从左管口缓慢倒入水银，恰好使水平部分右端的水银全部进入右管中.已知大气压强p0＝75 cmHg，环境温度不变，左管足够长.求：

图3

(1)此时右管封闭气体的压强；
(2)左管中需要倒入水银柱的长度.
答案　(1)90 cmHg　(2)27 cm
解析　(1)设玻璃管的横截面积为S，对右管中的气体，
初态：p1＝75 cmHg，V1＝30 cm·S
末态：V2＝(30 cm－5 cm)·S
由玻意耳定律有：p1V1＝p2V2
解得：p2＝90 cmHg
(2)对水平管中的空气柱，
初态：p＝p0＋15 cmHg＝90 cmHg，V＝11 cm·S
末态：p′＝p2＋20 cmHg＝110 cmHg
根据玻意耳定律：pV＝p′V′
解得V′＝9 cm·S，则水平管中的空气柱长度变为9 cm，
此时原来左侧竖直管中15 cm水银柱已有7 cm进入到水平管中，所以左侧管中倒入水银柱的长度应该是110 cm－75 cm－(15－7) cm＝27 cm.
题型二　汽缸活塞类模型
1.解题的一般思路
(1)确定研究对象
研究对象分两类：①热学研究对象(一定质量的理想气体)；②力学研究对象(汽缸、活塞或某系统).
(2)分析物理过程
①对热学研究对象分析清楚初、末状态及状态变化过程，依据气体实验定律列出方程；
②对力学研究对象要正确地进行受力分析，依据力学规律列出方程.
(3)挖掘题目的隐含条件，如几何关系等，列出辅助方程.
(4)多个方程联立求解.对求解的结果注意检验它们的合理性.
2.两个或多个汽缸封闭着几部分气体，并且汽缸之间相互关联的问题，解答时应分别研究各部分气体，找出它们各自遵循的规律，并写出相应的方程，还要写出各部分气体之间压强或体积的关系式，最后联立求解.

　　　　 单独气体

例3 　(2020·江西上饶市重点中学六校第一次联考)如图4(a)所示，一导热性能良好、内壁光滑的汽缸水平放置，横截面积为S＝1×10－4 m2、质量为m＝0.2 kg且厚度不计的活塞与汽缸底部之间封闭了一部分气体，此时活塞与汽缸底部之间的距离为24 cm，在活塞的右侧
12 cm处有一对与汽缸固定连接的卡环，气体的温度为300 K，大气压强p0＝1.0×105 Pa.现将汽缸竖直放置，如图(b)所示，取g＝10 m/s2.求：

图4
(1)活塞与汽缸底部之间的距离；
(2)将缸内气体加热到675 K时封闭气体的压强.
答案　(1)20 cm　(2)1.5×105 Pa
解析　(1)汽缸水平放置时，活塞与汽缸底部之间的距离L1＝24 cm，
气体压强p1＝1.0×105 Pa，气体体积V1＝L1S；
汽缸竖直放置时，活塞与汽缸底部之间的距离为L2，
气体压强p2＝p0＋mgS＝(1.0×105＋0.2×101×10－4) Pa＝1.2×105 Pa，
气体体积V2＝L2S；
气体等温变化，根据玻意耳定律p1V1＝p2V2
得活塞与汽缸底部之间的距离L2＝p1p2L1＝20 cm.
(2)活塞到达卡环前是等压变化，到达卡环后是等容变化，应分两个阶段来处理.
气体初状态压强p2＝1.2×105 Pa，体积V2＝L2S，温度T2＝300 K
活塞刚好到达卡环时，气体压强p3＝p2＝1.2×105 Pa，体积V3＝L3S，温度为T3，其中L3＝36 cm，气体等压变化，根据盖—吕萨克定律有V2T2＝V3T3
得此时气体温度T3＝L3L2T2＝540 K<675 K
则活塞到达卡环后，温度继续上升，气体等容变化，
p3＝1.2×105 Pa，T3＝540 K，
T4＝675 K，
根据查理定律有p3T3＝p4T4
解得加热到675 K时封闭气体的压强p4＝T4T3p3＝1.5×105 Pa.

　　　　 关联气体

例4 　(2019·全国卷Ⅱ·33(2))如图5，一容器由横截面积分别为2S和S的两个汽缸连通而成，容器平放在水平地面上，汽缸内壁光滑.整个容器被通过刚性杆连接的两活塞分隔成三部分，分别充有氢气、空气和氮气.平衡时，氮气的压强和体积分别为p0和V0，氢气的体积为2V0，空气的压强为p.现缓慢地将中部的空气全部抽出，抽气过程中氢气和氮气的温度保持不变，活塞没有到达两汽缸的连接处，求：

图5
(1)抽气前氢气的压强；
(2)抽气后氢气的压强和体积.
答案　(1)12(p0＋p)　(2)12p0＋14p　4p0＋pV02p0＋p
解析　(1)设抽气前氢气的压强为p10，根据力的平衡条件得(p10－p)·2S＝(p0－p)·S①
得p10＝12(p0＋p)；②
(2)设抽气后氢气的压强和体积分别为p1和V1，氮气的压强和体积分别为p2和V2，根据力的平衡条件有p2·S＝p1·2S③
抽气过程中氢气和氮气的温度保持不变，
则由玻意耳定律得p1V1＝p10·2V0④
p2V2＝p0V0⑤
由于两活塞用刚性杆连接，故
V1－2V0＝2(V0－V2)⑥
联立②③④⑤⑥式解得
p1＝12p0＋14p
V1＝4p0＋pV02p0＋p.

2.(活塞封闭两部分气体)(2020·广东省葵潭中学高三上学期第二次月考)如图6所示，水平放置的导热汽缸A和B底面积相同，长度分别为2L和L，两汽缸通过长度为L的绝热管道连接；厚度不计的绝热活塞a、b可以无摩擦地移动，a的横截面积为b的两倍.开始时A、B内都封闭有压强为p0、温度为T0的空气，活塞a在汽缸A最左端，活塞b在管道最左端.现向右缓慢推动活塞a，当活塞b恰好到管道最右端时，停止推动活塞a并将其固定，接着缓慢加热汽缸B中的空气直到活塞b回到初始位置，求：

图6
(1)活塞a向右移动的距离；
(2)活塞b回到初始位置时汽缸B中空气的温度.
答案　(1)76L　(2)125T0
解析　(1)设绝热活塞b到达管道口右端且右端面与管口齐平时，汽缸A中的活塞a向右移动x，此时A、B中气体压强为p，则根据玻意耳定律，
对A中气体：p0·2LS＝p[(2L－x)S＋12LS]
对B中气体：p0(LS＋12LS)＝pLS
联立解得p＝32p0，x＝76L.
(2)设汽缸B中空气的温度为T，压强为p′时绝热活塞b回到初始位置，
对B中气体，由理想气体状态方程可得：pLST0＝p′LS＋12LST
对A中气体，由玻意耳定律可得：p[(2L－x)S＋12LS]＝p′(2L－x)S
联立解得T＝125T0.
题型三　变质量气体模型
1.充气问题
选择原有气体和即将充入的气体整体作为研究对象，就可把充气过程中气体质量变化问题转化为定质量气体问题.
2.抽气问题
选择每次抽气过程中抽出的气体和剩余气体整体作为研究对象，抽气过程可以看成质量不变的等温膨胀过程.
3.灌气分装
把大容器中的剩余气体和多个小容器中的气体整体作为研究对象，可将变质量问题转化为定质量问题.
4.漏气问题
选容器内剩余气体和漏出气体整体作为研究对象，便可使漏气过程中气体质量变化问题转化为定质量气体问题.

　　　　 充气问题

例5 　某自行车轮胎的容积为V，里面已有压强为p0的空气，现在要使轮胎内的气压增大到p，设充气过程为等温过程，空气可看作理想气体，轮胎容积保持不变，则还要向轮胎充入温度相同、压强也是p0的空气的体积为(　　)
A.p0pV B.pp0V
C.(pp0－1)V D.(pp0＋1)V
答案　C
解析　设需再充入体积为Vx的空气，把轮胎里体积为V的空气和外面体积为Vx的空气当作一定质量的气体，充气过程为等温过程，有p0(V＋Vx)＝pV，得到Vx＝(pp0－1)V，C正确.

　　　　 灌气分装

例6 　(2020·山东泰安市模拟)现有一个容积为400 L的医用氧气罐，内部气体可视为理想气体，压强为15 MPa，为了使用方便，用一批相同规格的小型氧气瓶(瓶内视为真空)进行分装，发现恰好能装满40个小氧气瓶，分装完成后原医用氧气罐及每个小氧气瓶内气体的压强均为3 MPa，不考虑分装过程中温度的变化，则每个小氧气瓶的容积为(　　)
A.20 L B.40 L
C.50 L D.60 L
答案　B
解析　设每个小氧气瓶的容积为V0，以医用氧气罐中所有氧气为研究对象，初态：p1＝15 MPa，V1＝400 L；末态：p2＝3 MPa，V2＝40V0＋400 L；因为不考虑温度变化，由玻意耳定律有：p1V1＝p2V2，代入数据得V0＝40 L，B正确.
课时精练
1.(2020·河南南阳市高三上学期期末)如图1所示，圆柱形汽缸在水平面上，容积为V，圆柱内面积为S的活塞(质量和厚度可忽略不计)将汽缸分成体积比为3∶1的上下两部分，一轻质弹簧上下两端分别固定于活塞和汽缸底部，此时弹簧处于压缩状态，活塞上部分气体压强为p0，弹簧弹力大小为p0S4，活塞处于静止状态.要使活塞移动到汽缸正中间并能保持平衡，可通过打气筒向汽缸中活塞下部分注入压强为p0的气体(汽缸下部有接口).已知活塞处于正中间时弹簧恰好恢复原长，外界温度恒定，汽缸和活塞导热性能良好，不计活塞与汽缸的摩擦，求：

图1
(1)初始状态活塞下部分气体的压强；
(2)需要注入的压强为p0的气体的体积.
答案　(1)34p0　(2)916V
解析　(1)初始状态对活塞受力分析得：
p0S＝p1S＋p0S4
解得p1＝34p0
(2)设当活塞处于正中间时，上部分气体的压强为p2，则：
p03V4＝p2V2
又弹簧处于原长，则下部分气体的压强也为p2，则：
p1V4＋p0Vx＝p2V2
联立解得：Vx＝916V.
2.(2020·全国卷Ⅰ·33(2))甲、乙两个储气罐储存有同种气体(可视为理想气体).甲罐的容积为V，罐中气体的压强为p；乙罐的容积为2V，罐中气体的压强为12p.现通过连接两罐的细管把甲罐中的部分气体调配到乙罐中去，两罐中气体温度相同且在调配过程中保持不变，调配后两罐中气体的压强相等.求调配后：
(1)两罐中气体的压强；
(2)甲罐中气体的质量与甲罐中原有气体的质量之比.
答案　(1)23p　(2)23
解析　(1)假设乙罐中的气体被压缩到压强为p，其体积变为V1，由玻意耳定律有
12p(2V)＝pV1①
两罐气体压强均为p时，总体积为(V＋V1).
设调配后两罐中气体的压强为p′，由玻意耳定律有p(V＋V1)＝p′(V＋2V)②
联立①②式可得p′＝23p③
(2)若调配后甲罐中的气体再被压缩到原来的压强p时，体积为V2，由玻意耳定律有
p′V＝pV2④
设调配后甲罐中气体的质量与甲罐中原有气体的质量之比为k，则k＝ρV2ρV＝V2V⑤
联立③④⑤式可得k＝23.
3.(2018·全国卷Ⅱ·33(2))如图2，一竖直放置的汽缸上端开口，汽缸壁内有卡口a和b，a、b间距为h，a距缸底的高度为H；活塞只能在a、b间移动，其下方密封有一定质量的理想气体.已知活塞质量为m，面积为S，厚度可忽略；活塞和汽缸壁均绝热，不计它们之间的摩擦.开始时活塞处于静止状态，上、下方气体压强均为p0，温度均为T0.现用电热丝缓慢加热汽缸中的气体，直至活塞刚好到达b处.求此时汽缸内气体的温度以及在此过程中气体对外所做的功.(重力加速度大小为g)

图2
答案　1＋hH1＋mgp0ST0　(p0S＋mg)h
解析　开始时活塞位于a处，加热后，汽缸中的气体先经历等容过程，直至活塞开始运动.设此时汽缸中气体的温度为T1，压强为p1，根据查理定律有
p0T0＝p1T1①
根据力的平衡条件有
p1S＝p0S＋mg②
联立①②式可得
T1＝1＋mgp0ST0③
此后，汽缸中的气体经历等压过程，直至活塞刚好到达b处，设此时汽缸中气体的温度为T2；活塞位于a处和b处时气体的体积分别为V1和V2.根据盖—吕萨克定律有
V1T1＝V2T2④
式中
V1＝SH⑤
V2＝S(H＋h)⑥
联立③④⑤⑥式解得
T2＝1＋hH1＋mgp0ST0⑦
从开始加热到活塞到达b处的过程中，汽缸中的气体对外做的功为
W＝(p0S＋mg)h.
4.(2020·华中科技大学第一附中模拟)一个特殊的气体温度计由两个装有理想气体的导热容器组装而成，将两个导热容器分别放入甲、乙两个水槽中，如图3所示.用水银压强计测量两容器的压强差.导热容器的体积恒定且远大于连接管的体积.当两个水槽的温度都为0 ℃(273 K)时，没有压强差.当水槽乙处于0 ℃而水槽甲处于100 ℃时，压强差为120 mmHg.

图3
(1)0 ℃时导热容器内气体的压强多大？
(2)当水槽乙处于0 ℃而水槽甲处于未知的待测温度(高于0 ℃)时，压强差为90 mmHg，此未知待测温度是多少？
答案　(1)327.6 mmHg　(2)348 K(或75 ℃)
解析　(1)设0 ℃时，水槽甲中导热容器内气体的压强为p0，T0＝273 K.
100 ℃即T1＝(273＋100) K＝373 K时，水槽甲中导热容器内气体的压强为p1＝p0＋120 mmHg
水槽甲中导热容器内气体做等容变化，有p0T0＝p1T1
解得p0＝327.6 mmHg
(2)设未知待测温度为T2，p2＝p0＋90 mmHg
有p0T0＝p2T2
解得T2＝348 K(或t2＝75 ℃)
5.(2020·湖北武汉武昌区调研试题)如图4所示，一定质量的理想气体封闭在体积为V0的绝热容器中，初始状态阀门K关闭，容器内温度与室温相同，为T0＝300 K，有一光滑绝热活塞C(体积可忽略)将容器分成A、B两室，B室的体积是A室的2倍，A室容器上连接有一U形管(管内气体的体积可忽略)，左管水银面比右管水银面高76 cm.已知外界大气压强p0＝76 cmHg.则：

图4
(1)将阀门K打开使B室与外界相通，稳定后，A室的体积变化量是多少？
(2)打开阀门K稳定后，再关闭阀门K，接着对B室气体缓慢加热，而A室气体温度始终等于室温，当加热到U形管左管水银面比右管水银面高19 cm时，B室内温度是多少？
答案　(1)V03　(2)525 K
解析　(1)将阀门打开，A室气体等温变化，则有
2p0V03＝p0(V03＋ΔV)
得ΔV＝V03
(2)打开阀门K稳定后，再关闭阀门K，U形管两边水银面的高度差为19 cm时，pA＝pB＝(76＋19) cmHg＝95 cmHg
A室气体变化过程：p0、2V03、T0→pA、VA、T0
由玻意耳定律得p02V03＝pAVA
解得VA＝815V0
B室气体变化过程：p0、V03、T0→pB、V0－VA、TB
由理想气体状态方程得p0V03T0＝pBV0－VATB
解得TB＝525 K.
6.(2020·山东卷·15)中医拔罐的物理原理是利用玻璃罐内外的气压差使罐吸附在人体穴位上，进而治疗某些疾病.常见拔罐有两种，如图5所示，左侧为火罐，下端开口；右侧为抽气拔罐，下端开口，上端留有抽气阀门.使用火罐时，先加热罐中气体，然后迅速按到皮肤上，自然降温后火罐内部气压低于外部大气压，使火罐紧紧吸附在皮肤上.抽气拔罐是先把罐体按在皮肤上，再通过抽气降低罐内气体压强.某次使用火罐时，罐内气体初始压强与外部大气压相同，温度为450 K，最终降到300 K，因皮肤凸起，内部气体体积变为罐容积的2021.若换用抽气拔罐，抽气后罐内剩余气体体积变为抽气拔罐容积的2021，罐内气压与火罐降温后的内部气压相同.罐内气体均可视为理想气体，忽略抽气过程中气体温度的变化.求应抽出气体的质量与抽气前罐内气体质量的比值.

图5
答案　13
解析　设火罐内气体初始状态参量分别为p1、T1、V1，温度降低后状态参量分别为p2、T2、V2，罐的容积为V0，大气压强为p0，由题意知
p1＝p0、T1＝450 K、V1＝V0、T2＝300 K、V2＝20V021①
由理想气体状态方程得p1V1T1＝p2V2T2
则有p0V0T1＝p2·2021V0T2②
代入数据得p2＝0.7p0③
对于抽气拔罐，设初态气体状态参量分别为p3、V3，末态气体状态参量分别为p4、V4，罐的容积为V0′，
由题意知p3＝p0、V3＝V0′、p4＝p2④
由玻意耳定律得p3V3＝p4V4
则有p0V0′＝p2V4⑤
联立③⑤式，代入数据得
V4＝107V0′⑥
设抽出的气体的体积为ΔV，由题意知
ΔV＝V4－2021V0′⑦
故应抽出气体的质量与抽气前罐内气体质量的比值为
Δmm＝ΔVV4⑧
联立⑥⑦⑧式，代入数据得
Δmm＝13.

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